中考数学专题复习 利用三角形的角平分线构造全等三角形课件

三角形常见辅助线的做法 利用三角形的角平分线构造全等三角形 一 倍长中线法 遇到中线可以利用倍长中线 构造X全等 即把中线延长一倍 来构造全等三角形 如图 若AD为 ABC的中线 结论 A B C D E 1 2 延长AD到E 使DE AD 连结BE 也可连结CE ABD ECD 1 E B 2 EC AB CE AB 可以利用角平分线所在直线作对称轴 翻折三角形来构造全等三角形 二 角平分线对称全等 如图 在 ABC中 AD平分 BAC 方法一 A B C D E 必有结论 在AB上截取AE AC 连结DE ADE ADC ED CD 3 2 1 AED C ADE ADC 方法二 A B C D F 延长AC到F 使AF AB 连结DF 必有结论 ABD AFD BD FD 3 2 1 如图 在 ABC中 AD平分 BAC 可以利用角平分线所在直线作对称轴 翻折三角形来构造全等三角形 B F ADB ADF A B C D M N 方法三 作DM AB于M DN AC于N 必有结论 AMD AND DM DN 3 2 1 如图 在 ABC中 AD平分 BAC 可以利用角平分线所在直线作对称轴 翻折三角形来构造全等三角形 AM AN ADM AND 还可以用 角平分线上的点到角的两边距离相等 来证DM DN 证明 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 BD是 ABC的角平分线 AD CD 求证 A C 180 D A B C E 在BC上截取BE 使BE AB 连结DE BD是 ABC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 在 ABD和 EBD中 AB EB 已知 1 2 已证 BD BD 公共边 ABD EBD S A S 1 2 4 3 3 4 180 平角定义 A 3 已证 A C 180 等量代换 3 2 1 A 3 全等三角形的对应角相等 AD CD 已知 AD DE 已证 DE DC 等量代换 4 C 等边对等角 AD DE 全等三角形的对应边相等 证明 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 BD是 ABC的角平分线 AD CD 求证 A C 180 D A B C F 延长BA到F 使BF BC 连结DF BD是 ABC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 在 BFD和 BCD中 BF BC 已知 1 2 已证 BD BD 公共边 BFD BCD S A S 1 2 4 3 F C 已证 4 C 等量代换 3 2 1 F C 全等三角形的对应角相等 AD CD 已知 DF DC 已证 DF AD 等量代换 4 F 等边对等角 3 4 180 平角定义 A C 180 等量代换 DF DC 全等三角形的对应边相等 证明 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 BD是 ABC的角平分线 AD CD 求证 A C 180 D A B C M 作DM BC于M DN BA交BA的延长线于N BD是 ABC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 DN BA DM BC 已知 N DMB 90 垂直的定义 在 NBD和 MBD中 N DMB 已证 1 2 已证 BD BD 公共边 NBD MBD A A S 1 2 4 C 全等三角形的对应角相等 N 4 3 3 2 1 ND MD 全等三角形的对应边相等 DN BA DM BC 已知 NAD和 MCD是Rt 在Rt NAD和Rt MCD中 ND MD 已证 AD CD 已知 Rt NAD Rt MCD H L 3 4 180 平角定义 A 3 已证 A C 180 等量代换 证明 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 BD是 ABC的角平分线 AD CD 求证 A C 180 D A B C M 作DM BC于M DN BA交BA的延长线于N 1 2 N 4 3 3 2 1 BD是 ABC的角平分线 已知 DN BA DM BC 已知 ND MD 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 4 C 全等三角形的对应角相等 DN BA DM BC 已知 NAD和 MCD是Rt 在Rt NAD和Rt MCD中 ND MD 已证 AD CD 已知 Rt NAD Rt MCD H L 3 4 180 平角定义 A 3 已证 A C 180 等量代换 练习1 如图 已知 ABC中 AD是 BAC的角平分线 AB AC CD 求证 C 2 B A B C D E 1 2 2 1 证明 在AB上截取AE 使AE AC 连结DE AD是 BAC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 在 AED和 ACD中 AE AC 已知 1 2 已证 AD AD 公共边 AED ACD S A S 3 B 4 等边对等角 4 C 3 全等三角形的对应角相等 又 AB AC CD AE EB 已知 EB DC ED 等量代换 3 B 4 2 B 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 C 2 B 等量代换 ED CD 全等三角形的对应边相等 练习1 如图 已知 ABC中 AD是 BAC的角平分线 AB AC CD 求证 C 2 B A B C D F 1 2 证明 延长AC到F 使CF CD 连结DF AD是 BAC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 AB AC CD CF CD 已知 AB AC CF AF 等量代换 ACB 2 F 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 ACB 2 B 等量代换 3 2 1 在 ABD和 AFD中 AB AF 已证 1 2 已证 AD AD 公共边 ABD AFD S A S F B 全等三角形的对应角相等 CF CD 已知 B 3 等边对等角 练习2 如图 已知直线MN PQ 且AE平分 BAN BE平分 QBA DC是过E的任意线段 交MN于点D 交PQ于点C 求证 AD AB BC 证明 延长AE 交直线PQ于点F 3 0 22 21 A B C D E M N P Q 1 2 3 4 F 5 练习2 如图 已知直线MN PQ 且AE平分 BAN BE平分 QBA DC是过E的任意线段 交MN于点D 交PQ于点C 求证 AD AB BC 证明 延长BA到点G 使得AG AD 连结EG 3 0 22 21 A B C D E M N P Q 1 2 3 4 G 练习2 如图 已知直线MN PQ 且AE平分 BAN BE平分 QBA DC是过E的任意线段 交MN于点D 交PQ于点C 求证 AD AB BC 证明 延长BA到点G 使得AG AD 连结EG 3 0 22 21 A B C D E M N P Q 1 2 3 4 G 练习3 已知 如图在Rt ABC中 BAC 90 AE BC BD是 ABC的角平分线 GF BC 求证 AD FC A B C D E H 1 2 证明 过D作DH BC 垂足为H G F 3 0 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形 小结 3 作DM AB于M DN AC于N 1 在AB上截取AE AC 连结DE 2 延长AC到F 使AF AB 连结DF A B C D E F M N 必有结论 ADE ADC 必有结论 ABD AFD 必有结论 AMD AND 可以利用角平分线所在直线作