高中数学 第三章 函数的应用章末复习课课件 苏教版必修1

章末复习课 第3章指数函数 对数函数和幂函数 学习目标1 掌握基本初等函数的图象和性质 2 会借助基本初等函数的图象性质研究函数与方程问题 3 能建立函数模型解决简单的实际问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一指数函数与对数函数的性质 知识点二幂函数y x 的性质 1 所有的幂函数在 0 上都有定义 并且图象都过点 1 1 2 如果 0 则幂函数的图象过原点 并且在区间 0 上为单调增函数 3 如果 0 则幂函数的图象在区间 0 上是单调减函数 在第一象限内 当x从右边趋向于原点时 图象在y轴右方无限地逼近y轴 当x从原点趋向于 时 图象在x轴上方无限地逼近x轴 4 当 为奇数时 幂函数为奇函数 当 为偶数时 幂函数为偶函数 知识点三函数的零点与方程的根 函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么函数y f x 在 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 知识点四函数模型及其应用 解决函数应用题关键在于理解题意 提高阅读能力 一方面要加强对常见函数模型的理解 弄清其产生的实际背景 把数学问题生活化 另一方面 要不断拓宽知识面 求解函数应用问题的思路和方法 我们可以用示意图表示为 题型探究 命题角度1函数性质及应用例1已知函数f x a 2x b 3x 其中常数a b满足ab 0 1 若ab 0 判断函数f x 的单调性 类型一指数函数 对数函数 幂函数的综合应用 解答 解当a 0 b 0时 因为a 2x b 3x都单调递增 所以函数f x 单调递增 当a 0 b 0时 因为a 2x b 3x都单调递减 所以函数f x 单调递减 2 若abf x 时的x的取值范围 解f x 1 f x a 2x 2b 3x 0 解答 指数函数 对数函数 幂函数是使用频率非常高的基本初等函数 它们经过加 减 乘 除 复合 分段 构成我们以后研究的函数 使用时则通过换元 图象变换等手段化归为基本的指数函数 对数函数 幂函数来研究 反思与感悟 跟踪训练1已知函数f x loga 1 x loga x 3 0 a 1 1 求函数f x 的定义域 解答 解得 3 x 1 定义域为 3 1 2 若函数f x 的最小值为 2 求a的值 解答 解函数可化为f x loga 1 x x 3 loga x2 2x 3 loga x 1 2 4 3 x 1 0 x 1 2 4 4 0 a 1 loga x 1 2 4 loga4 命题角度2函数图象及应用例2如图 函数f x 的图象为折线ACB 则不等式f x log2 x 1 的解集是 1 1 答案 解析 解析借助函数的图象求解该不等式 令g x y log2 x 1 作出函数g x 的图象如图 结合图象知不等式f x log2 x 1 的解集为 x 1 x 1 指数函数 对数函数 幂函数的图象既是直接考查的对象 又是数形结合求交点 最值 解不等式的工具 所以要能熟练画出这三类函数图象 并会进行平移 伸缩 对称 翻折等变换 反思与感悟 跟踪训练2若函数y logax a 0 且a 1 的图象如图所示 则下列函数图象中正确的是 填序号 答案 解析 解析由题意得y logax a 0 且a 1 的图象过 3 1 点 可解得a 3 中 y 3 x x 显然图象错误 中 y x3 由幂函数图象可知正确 中 y x 3 x3 显然与所画图象不符 中 y log3 x 的图象与y log3x的图象关于y轴对称 显然不符 故填 例3已知函数f x x 2x g x x lnx h x x 1的零点分别为x1 x2 x3 则x1 x2 x3的大小关系是 类型二函数的零点与方程的根的关系及应用 x1 x2 x3 答案 解析 解析令x 2x 0 得2x x 令x lnx 0 得lnx x 在同一坐标系内画出y 2x y lnx y x的图象 如图可知x1 0 x2 1 1 函数的零点与方程的根的关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 2 确定函数零点的个数有两个基本方法 利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断 反思与感悟 跟踪训练3若函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 则实数a的取值范围是 解析显然f x 在 0 上是单调增函数 由条件可知f 1 f 2 0 即 2 2 a 4 1 a 0 即a a 3 0 解得0 a 3 答案 解析 0 3 例4已知函数f x ex 4x 3的零点所在的区间为 0 1 进行两次二分后 零点所在区间为 类型三用二分法求函数的零点或方程的近似解 解析 f x 是R上的单调增函数且图象是连续的 且f 0 e0 4 0 3 0 f 1 e 4 3 0 f x 在 0 1 内有唯一零点 答案 解析 1 根据f a0 f b0 0确定初始区间 高次方程要先确定有几个解再确定初始区间 2 初始区间的选定一般在两个整数间 不同的初始区间对应的结果是相同的 但二分的次数相差较大 3 取区间中点c 计算中点函数值f c 确定新的零点区间 直到所取区间 an bn 中 an bn与精确度要求的近似值相等 反思与感悟 跟踪训练4已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n N 则n 答案 解析 2 解析 a 2 f x logax x b在 0 上为单调增函数 且f 2 loga2 2 b f 3 loga3 3 b 2 a 3 b 4 0 loga2 1 2 2 b 1 2 loga2 2 b 0 又1 loga3 2 1 3 b 0 0 loga3 3 b 2 即f 2 0 f 3 0 又 f x 在 0 上是单调函数 f x 在 2 3 内必存在唯一零点 解答 类型四函数模型及应用 例5如图 建立平面直角坐标系xOy x轴在地平面上 y轴垂直于地平面 单位长度为1千米 某炮位于坐标原点 已知炮弹发射后的轨迹在方程y kx 1 k2 x2 k 0 表示的曲线上 其中k与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 1 求炮的最大射程 由实际意义和题设条件知x 0 k 0 所以炮的最大射程为10千米 2 设在第一象限有一飞行物 忽略其大小 其飞行高度为3 2千米 试问它的横坐标a不超过多少时 炮弹可以击中它 请说明理由 解答 解因为a 0 所以炮弹可击中目标 关于k的方程a2k2 20ak a2 64 0有正根 判别式 20a 2 4a2 a2 64 0 0 a 6 所以当它的横坐标a不超过6时 可击中目标 在建立和应用函数模型时 准确地把题目要求翻译成数学问题 如最大射程翻译成y 0时求x的最大值 非常重要 另外实际问题要注意实际意义对定义域 取值范围的影响 反思与感悟 跟踪训练5某食品的保鲜时间y 单位 小时 与储藏温度x 单位 满足函数关系y ekx b e 2 718 为自然对数的底数 k b为常数 若该食品在0 的保鲜时间是192小时 在22 的保鲜时间是48小时 则该食品在33 的保鲜时间是 小时 答案 解析 24 即该食品在33 的保鲜时间是24小时 当堂训练 2 3 4 5 1 3 答案 解析 2 如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象 若用黑点表示张大爷家的位置 则张大爷散步行走的路线可能是 2 3 4 5 1 答案 解析 解析由晨练的图象可知 总共分为三部分 前一段随着时间的增加 离家的距离增大 接着一段时间是保持离家距离不变 根据所给路线可知只有 符合 同时 最后一段是随着时间的增加 离家的距离越来越小 也符合 故填 2 3 4 5 1 3 函数f x 2x log0 5x 1与x轴交点的个数为 2 3 4 5 1 解析函数f x 2x log0 5x 1与x轴交点的个数即为函数y log0 5x 与y 图象的交点个数 答案 解析 2 在同一直角坐标系中作出函数y log0 5x y 的图象 图略 易知有2个交点 4 设函数f x log3 a在区间 1 2 内有零点 则实数a的取值范围是 答案 2 3 4 5 1 log32 1 5 已知方程2x 10 x的根x k k