高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4_3 直线与圆锥曲线的交点课件 北师大版选修2-1

第三章 4曲线与方程 4 3直线与圆锥曲线的交点 学习目标1 会求曲线的交点 2 掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定 3 理解弦长公式及其求解与应用 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一两条曲线的交点 在平面直角坐标系xOy中 给定两条曲线C1 C2 它们由如下方程确定 C1 f x y 0 C2 g x y 0 求曲线C1和C2的交点 即要求出这些交点的 设M x0 y0 是曲线C1和C2的一个交点 因为点M在曲线C1上 所以它的坐标满足方程f x y 0 因为点M在曲线C2上 所以它的坐标也满足方程g x y 0 从而 曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来 该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标 坐标 知识点二直线与椭圆的位置关系 1 直线与椭圆的三种位置关系当直线与椭圆有两个交点时 称直线与椭圆相交 当直线与椭圆只有一个交点时 称直线与椭圆相切 当直线与椭圆没有交点时 称直线与椭圆相离 2 直线与椭圆位置关系的判定直线与椭圆位置关系的判定方法和直线与圆的位置关系的判定方法相同 即可以转化为直线与椭圆的方程所组成的方程组的求解问题 从而用代数方法来判断直线与椭圆的位置关系 具体的步骤为 1 联立成方程组 2 消元 转化为一元二次方程 3 计算 b2 4ac 当 0时 直线与椭圆相交 有两个交点 当 0时 直线与椭圆相切 有且只有一个交点 当 0时 直线与椭圆相离 没有交点 知识点三直线与双曲线的位置关系 1 当直线的斜率存在时 设直线方程为y kx m 将双曲线方程与直线方程联立成方程组 消去y 整理得 b2 a2k2 x2 2mka2x a2 m2 b2 0 当b2 a2k2 0 即 k 时 若m 0 则直线与双曲线的渐近线重合 直线与双曲线无交点 若m 0 则直线与双曲线的渐近线平行 直线与双曲线只有一个公共点 2 当直线的斜率不存在时 设直线方程为x n 当 n a时 直线与双曲线的一支交于两点 当 n a时 直线与双曲线的一支切于顶点 当 n a时 直线与双曲线无交点 知识点四直线与抛物线的位置关系 1 当直线的斜率存在时 设直线l y kx b 抛物线C y2 2px p 0 由得ky2 2py 2pb 0 当k 0时 直线与x轴平行 与抛物线C只有一个交点 相交 当k 0时 若 0 则直线与抛物线只有一个公共点 相切 若 0 则直线与抛物线有两个交点 相交 若 0 则直线与抛物线没有交点 相离 2 当直线的斜率不存在时 设直线方程为x n 抛物线方程为y2 2px p 0 当n 0时 直线与抛物线相切于原点 当n 0时 直线与抛物线相离 当n 0时 直线与抛物线相交于两点 题型探究 类型一由直线与圆锥曲线的位置关系确定参数的值 例1已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m 当直线与椭圆有公共点时 求实数m的取值范围 解答 4m2 4 5 m2 1 20 16m2 直线与椭圆有公共点 0 即20 16m2 0 求解直线与圆锥曲线的位置关系问题时 常用代数法 即将直线和圆锥曲线的方程联立 消去一个未知数 得到关于x 或y 的一元二次方程 讨论其根的个数 从而知其交点的个数 反思与感悟 跟踪训练1已知直线l kx y 2 0 双曲线C x2 4y2 4 当k为何值时 1 l与C无公共点 由题意 得l y kx 2 代入双曲线C的方程并整理 得 1 4k2 x2 16kx 20 0 当1 4k2 0时 16k 2 4 1 4k2 20 16 5 4k2 解答 2 l与C有唯一公共点 解答 3 l与C有两个不同的公共点 解答 即此时l与C有两个不同的公共点 类型二直线与圆锥曲线的弦长问题 解答 求解直线与圆锥曲线的弦长问题常用以下两种方法 1 求出交点A B的坐标 利用两点间的距离公式 反思与感悟 跟踪训练2已知一顶点在坐标原点 焦点在x轴上的抛物线被直线2x y 4 0所截的弦长为3 求抛物线的方程 解答 设抛物线方程为y2 ax a 0 将y 2x 4代入并整理 得4x2 16 a x 16 0 x1x2 4 整理 得a2 32a 144 0 a 4或a 36 故所求抛物线方程为y2 4x或y2 36x 类型三中点弦问题 1 求椭圆C2的方程 解答 设A xA yA B xB yB H xH yH 又 直线l的斜率为1 点H的坐标为 2 1 又 a2 b2 5 b2 5 a2 10 解答 设P x0 y0 M x1 y1 N x2 y2 10 4x1x2 8y1y2 10 即x1x2 2y1y2 0 解决中点弦问题主要有如下两种方法 1 根与系数的关系法 将直线方程代入圆锥曲线的方程 消元后得到一个一元二次方程 利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解 2 点差法 若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B 一般先设出交点坐标A x1 y1 B x2 y2 代入曲线方程 通过作差 构造出x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 从而建立中点坐标和斜率的关系公式 反思与感悟 跟踪训练3过椭圆 1内一点M 2 1 引一条弦AB 使AB被点M平分 求弦AB所在直线的方程 解答 设A x1 y1 B x2 y2 M 2 1 为弦AB的中点 x1 x2 4 y1 y2 2 又 A B两点在椭圆上 即x 2y 4 0 当堂训练 2 3 4 5 1 直线y kx k过点 1 0 点 1 0 在抛物线y2 2px p 0 的内部 直线与抛物线可能有一个公共点 也可能有两个公共点 答案 解析 1 已知直线y kx k及抛物线y2 2px p 0 则A 直线与抛物线有一个公共点B 直线与抛物线有两个公共点C 直线与抛物线有一个或两个公共点D 直线与抛物线可能没有公共点 2 3 4 5 1 2 设F为抛物线C y2 3x的焦点 过F且倾斜角为30 的直线交C于A B两点 则 AB 等于 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4x2 9y2 4x 0 答案 解析 2 3 4 5 1 设弦的两端点P1 x1 y1 P2 x2 y2 弦的中点是P x y 由P是线段P1P2的中点 得x1 x2 2x y1 y2 2y 代入 得4x x1 x2 9y y1 y2 0 2 3 4 5 1 整理 得4x2 9y2 4x 0 当x1 x2时 点P 1 0 的坐标也适合上式 故弦的中点的轨迹方程是4x2 9y2 4x 0 2 3 4 5 1 4 已知曲线C y2 2x 若C上存在相异两点关于直线l y m x 2 对称 则实数m的取值范围是 答案 解析 2 3 4 5 1 方法一如图 当m 0时 直线l y 0恰好是抛物线的对称轴 满足题设条件 当m 0时 设P x1 y1 Q x2 y2 是抛物线上关于直线l对称的两点 方程 有两个不相等的实根 4m2 8mb 0 即m2 2mb 0 又y1 y2 2m x1 x2 2mb m y1 y2 2mb 2m2 M mb m2 m 由点M在直线l上 得 m m mb m2 2 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 方法二 点差法 当m 0时 符合题意 当m 0时 设A x1 y1 B x2 y2 是抛物线y2 2x上关于直线l对称的两点 线段AB的中点M的坐标为 x0 y0 将两式相减 得 y1 y2 y1 y2 2 x1 x2 2 3 4 5 1 即m y0 0 又 点M在直线l上 y0 m x0 2 由 得点M的坐标为 1 m A B为抛物线上的两点 点M在抛物线的内部 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 由直线l的方程与椭圆的方程可以知道 直线l与椭圆不相交 设直线m与椭圆相切且平行于直线l 则直线m的方程可以设为4x 5y k 0 25x2 8kx k2 225 0 令 0 得64k2 4 25 k2 225 0 解得k1 25 k2 25 2 3 4 5 1 由图可知 当k 25时 直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近 规律与方法 在解决圆锥曲线上两点关于