2007-2008春季高数A试题(A卷)解答无标准_第1页
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中国农业大学2007 2008 学年春季学期高等数学A课程考试试题(A卷) 2008/06/27解答及评分标准一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内1. 1.设二元函数是由方程所定义的隐函数，则【 A 】.A. 1； B. 1； C. 2； D. 2.2设曲面是介于两平面与之间的圆柱面，则曲面积分的值是【 A 】.A. ； B. ； C. ； D. .3. 若级数收敛，则下列级数发散的是【 B 】.A. ； B. ； C. ； D. .4. 设微分方程，则函数（其中为任意常数）是【 B 】.A. 该方程的特解; B. 该方程的通解; C. 无法确定; D. 该方程的解.5. 设区域是与所围区域在第一卦限的部分，则三重积分 不等于【 C 】.A. ; B. ; C. ; D. .二、填空题(满分15分，每小题3分，共5道小题)，请将答案填在横线上1. 设二元函数，则全微分.2. 函数在点（0，0）的某邻域内有定义，且，则曲线在点的一个切向量为.3. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为，其中为独立的任意常数，则该方程为 .4. 积分的值等于 .5. 设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为 三、(10分) 设且具有二阶连续偏导数，求 解 四、(11分) 计算曲面积分 ，其中曲面为球面的外侧.解 由高斯公式有 (其中是由围成的立体) . 五、(11分) （1） 把 展开为的幂级数； （2） 证明 .解： （1） 设，由于 因此， 又 所以， 当时， ，所以， 六、(11分) 计算曲线积分，其中为在第一象限沿逆时针方向的半圆弧.解： ，由 可知该曲线积分与路径无关 因此我们可取直线上从到这一段直线段，得 七、(11分)求解线性微分方程的通解.解: 特征方程为：，有根，故对应齐次方程的通解为. 因为 故令 代入原方程比较系数得， 于是 故原方程得通解为 八、(11分) 在曲面 的第一卦限上求一点，过该点作曲面的切平面，求切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积.解: 设切点为 ，其中 过点的切平面方程为 切平面在三个坐标轴上的截距分别为 要使切平面与三个坐标面所围体积最小，只需 最小，其中满足 .构造拉格朗日函数 求解方程组 得 因驻点唯一，实际问题存在最小值
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