孤岛疾病问题的探讨.doc

孤岛疾病问题的探讨一、 摘要建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。本文是一个孤岛疾病传播问题。首先根据孤岛的自身特征方面的条件解决问题a:列出假设1、2，问题b:根据模型建立的被感染人数X与时刻t的关系，利用matlab软件画出dX/dt关于X的图像。问题c:又假设感染的人数X10为常数：(a) 列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据？(b) 画出关于X的图形(c) 若初始被感染的人数，画出X关于t的图形；若初始被感染人数为，画出X关于t的图形。(d) 把X作为t的函数，解出前面给出的模型。(e)由(d)，当t趋于无穷时求X的极限。(f)设岛上的人口有5000人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表天数t2610被感染人数X188740874853ln(X/(N-X)-0.51.53.5问这些数据能否支持所给的模型？(g) 利用(f)的结果估计模型中的常数，并预测t=12天时被感染的人数。(h) 分析上述模型的优缺点，试给出改进方案。 二、模型假设1、人口数量N不变，因为是孤岛。2、人口分为健康人和被感染的病人，数量分别为X ,N-X。3、在规定的时刻内人口变化X取整数，因为人口为整数 三、符号定义说明X（t）：t时刻被感染的人数 S（t）：t时刻未被感染的人数 k ：常数C1、C2：皆为参数 N ：孤岛上的人口总数,即N=X（t）+S（t） 四、模型的建立与求解 4.1模型的建立依据(a) 列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据？假设1人口数量N不变，因为是孤岛。假设2人口分为健康人和被感染的病人数量分别为X ,N-X。4.2模型的建立与求解(b) 画出关于X的图形设k=0.1X=0:0.1:1;ezplot(0.1*X*(1-X),0,1);(c)若初始被感染的人数，画出X关于t的图形；若初始被感染人数为，画出X关于t的图形。1、取，则y=dsolve(Dy=0.1*y*(1-y),y(0)=0.25,x);ezplot(y,0,50);2、，则y=dsolve(Dy=0.1*y*(1-y),y(0)=0.75,x);ezplot(y,0,50);(d)把X作为t的函数，解出前面给出的模型。 syms N k:X=dsolve(DX=k*X*（N-X）) 即 (e) 由(d)，当t趋于无穷时求X的极限。(f)设岛上的人口有5000人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表天数t2610被感染人数X188740874853ln(X/(N-X)-0.51.53.5问这些数据能否支持所给的模型？由 可以看出为线性变化的，所以可以认为这些数据支持该模型。(g)利用(f)的结果估计模型中的常数，并预测t=12天时被感染的人数。 得到k=0.5再代入k值，得C2=1.5，而N=5000，当t=4+10=14时，可以解出X的值：X= 4979确定参数C1=N/X0，则有 五、模型评估及改进5.1 模型的优点（1）用假设分析、微分求导导数、线性相关等方法，解决问题，方法简单易懂，过程清晰且准确。（2）又利用matlab软件处理数据简单、准确、而且具有科学性，得到的结果更具说服力。5.2 模型的缺点（1）在问题a的问题假设1没有考虑人口的流动量(2) 在问题a的问题假设2没有考虑治愈问题等情况改进：将对象分为三类：病人，健康人与治愈的人。符号说明：s（t）：健康者在总人数N中占的比例i（t）：病人在总人数N中占的比例r（t）：病愈免疫的移出者在总人数N中占的比例模型假设：1.总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出三类，时刻t三类人在总人数N中占的比例分别记为s(t)、i(t）、r(t).2.病人的日接触率为,日治愈率为，传染期接触数为模型构成：由假设1可得知 s(t)+i(t)+r(t)=1 (1)对于病愈免疫的移出者有 (2)再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是(0)和(0)(1) 、(2) 模型的方程可以写成 (3) i(t)、s(t)图形我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。D = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1在方程（3）中消去并注意到的定义，可得 (4)所以： (5)利用积分特性容易求出方程(4)的解为： (6)在定义域D内,(5)式表示的曲线即为相轨线,如下图所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋si101DP4P3imP2S0P1S0 P1: s01/s i(t)先升后降至0 传染病蔓延P2: s01/s i(t)单调降至0 传染病不蔓延1/s阈值1.提高阈值1/s降低 s(=l/m) l , m l (日接触率) 卫生水平m(日治愈率) 医疗水平2.降低 s0提高 r0群体免疫s 的估计 参考文献：数学模型，姜启源编，高等教育出版社数学分析,陈纪修，于崇华,金路,高等教育出版社附录：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2