高考数学一轮复习专题2.16定积分与微积分练习（含解析）.docx

第16讲 定积分与微积分【套路秘籍】-千里之行始于足下一定积分的概念（1）定积分的概念一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.（2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，和曲线所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分的几何意义.（3）定积分的性质由定积分的定义,可以得到定积分的如下性质：；（其中）.二微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.为了方便，我们常常把记成，即.【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一利用定积分的几何意义求曲线的面积【例1】（1）定积分011-x2的值等于。（2）已知fx是偶函数，且05fxdx=6，则-55fxdx=_.(3) xdx=。(4)cos xdx=。【答案】（1）4（2）12(3)0; (4)0【解析】（1）由y=1-x2得x2+y2=1x0,1，根据定积分的意义可知，扇形的面积S=1412=4即为所求.（2）f（x）是偶函数-55fxdx205fxdx又05fxdx6，-55fxdx12故答案为：12(3)如图，xdxA1A10.(4)如图，cos xdxA1A2A30.【套路总结】1. 利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.2.对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时，（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差.这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.3.设函数在闭区间上连续，则若是偶函数，则；若是奇函数，则.【举一反三】1定积分-aaa2-x2dx等于。【答案】12a2【解析】由题意可知定积分表示半径为a的半个圆的面积，所以S=12(a2)=12a2.2已知函数f(x)求f(x)在区间1,3上的定积分【答案】【解析】由定积分的几何意义知：f(x)x5是奇函数，故x5dx0；0(如图(1)所示)；xdx (1)(1) (如图(2)所示)f(x)dxx5dxxdxxdx3. 利用定积分的几何意义求，其中.【答案】见解析【解析】.为奇函数，.利用定积分的几何意义，如图，故.考向二微积分定理的运用【例2】计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【举一反三】1-101-2x1-3x2dx=_【答案】-12【解析】-101-2x1-3x2dx=-10(1-3x2-2x+6x3)dx=x-x3-x2+32x4|-10=-122-11（1-x2+x）dx=_【答案】2【解析】由定积分的几何意义知-111-x2dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，即-111-x2dx=2，-111-x2+xdx=-111-x2dx+-11xdx=2+x22-11=23-11（x2+1-x2)dx= _.【答案】23+2【解析】原式化为-11x2dx+-111-x2dx，-11x2=13x3|-11=23，根据定积分的几何意义可知，-111-x2等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的一半，即-111-x2=2，所以-11(x2+1-x2)dx=23+2，故答案为23+2.413(x-1x2)dx= _【答案】103【解析】13x-1x2dx=12x2+1x|13=129+13-12+1=103，故答案为：103.考点三积分在几何中的运用【例3】求由曲线与，所围成的平面图形的面积（画出图形）.【答案】1【解析】画出曲线与，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形.解方程组，可得.故平面图形的面积为=1.所以所求图形的面积为1【套路总结】（1） 定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的.（2）若图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下.【举一反三】1由直线x=-6，x=6，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为。【答案】1 【解析】题目所求封闭图形的面积为定积分-66cosxdx=sinx|-66=sin6-sin-6=12+12=1.2如图，求曲线所围成图形的面积.【解析】由解得.由解得.所以所求阴影部分的面积为.3曲线yx与直线y2x1及x轴所围成的封闭图形的面积为。【答案】512【解析】由解析式作出如图所示简图：由图像可知封闭图形面积为曲线与x轴围成曲边三角形OCB的面积与ABC的面积之差.联立两函数解析式，求出交点C的坐标为：(1,1)，则点B的坐标为：(1,0)，求出直线与x轴交点A坐标为：(0.5,0)，则曲边三角形的面积为：SOCB=01x12dx=23，ABC的面积为：SABC=12121=14，所以两线与x轴围成图形的面积为：512.考向四定积分在物理中的应用【例4】设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.【答案】见解析【解析】设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，表示加在弹簧上的力(单位：N).由题意，得，且当时，即，解得，则.故将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为.【套路总结】1已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分.2利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可.【举一反三】1已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为和(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是A在t1时刻，甲车在乙车前面 Bt1时刻后，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置相同 Dt0时刻后，乙车在甲车前面【答案】A 【解析】由图可知，曲线，直线和t轴所围成图形的面积大于曲线，直线和t轴所围成图形的面积，则在t0时刻，甲车在乙车前面，故C错误；同理，在t1时刻，甲车在乙车前面，故A正确，D错误；t1时刻后，甲车会领先乙车一小段时间，但从两曲线的趋势可预测总会有某时刻乙车会超过甲车，故B错误.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行10121-x2dx=。【答案】2【解析】函数y=1-x2表示单位圆位于x轴上方的部分，结合定积分的几何意义和定积分的运算法则可得：0121-x2dx=2011-x2dx=21412=2.2若函数fx=Asinx-6A0,0的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为。【答案】2-34【解析】由图可知，A=1，T2=3-(-6)=2，即T=.=2，则f(x)=sin(2x-6).图中的阴影部分面积为S=-012sin(2x-6)dx=12cos(2x-6)120=12cos(6-6)-cos(-6)=12(1-32)=2-343从图示中的长方形区域内任取一点M，则点M取自图中阴影部分的概率为。【答案】13【解析】图中阴影部分的面积为013x2dx=x3|01=1，长方形区域的面积为133，因此，点M取自图中阴影部分的概率为134若，则的大小关系为。【答案】【解析】，所以.5.已知函数为偶函数，且，则_.【答案】16 【解析】因为函数为偶函数，所以.6.若，则实数等于_.【答案】-1 【解析】取，则，所以，解得.7物体以的速度在一直线上运动，物体在直线上，且在物体的正前方5m处，同时以的速度与同向运动，出发后物体追上物体所用时间为【答案】5s 【解析】物体A经过ts行驶的路程为，物体B经过ts行驶的路程为，则有，解得t=5.10.已知函数，则.【答案】【解析】，其中，由定积分的几何意义可知，其表示半径为的圆的面积的，即，故.故填.11如图，在边长为1的正方形内，阴影部分是由两曲线围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是，则函数的值域为_.【答案】【解析】设阴影部分的面积为S，则，又正方形的面积为1，所以.故，则的值域为.12已知函数f(x)=cosx,x-2,01-x2,x(0,1，若-21f(x)dx=_【答案】1+4【解析】由已知得-20cosxdx+011-x2dx=sinx|-20+4=1+4.13定积分e1(x-1-x2)dx的值为_.【答案】12-4【解析】01x-1-x2dx=01xdx-011-x2dx，其中011-x2dx的几何意义为函数y=1-x2与直线x=0,x=1及x轴所围成的图形的面积，即圆x2+y2=1在第一象限的部分的面积，其值为4.而01xdx=12x2|01=1212-1202=12.所以原式=12-4.故答案为：12-4.14已知定义在R上的函数fx与gx，若函数fx为偶函数，函数gx为奇函数，且0afxdx=6，则-aafx+2gxdx=_【答案】12.【解析】函数fx为偶函数，函数gx为奇函数，函数fx的图象关于y轴对称，函数gx的图象关于原点对称-aafxdx=20afxdx=12，-aagxdx=0，-aafx+2gxdx=-aafxdx+2-aagxdx=1215已知212(k+1)dx4，则实数k的取值范围是_【答案】1,3【解析】依题意得12k+1dx=k+1x|12=k+1，即2k+14，解得1k3.故k的取值范围是1,3.16-4416-x2dx+-22x3dx=_【答案】8【解析】由于y=16-x2表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分，故-4416-x2dx=1242=8.-22x3dx=x44|-22=0.故原式=8.17计算由直线y=x-4,曲线y=2x以及x轴所围图形的面积S为。【答案】403【解析】做出草图如下，解方程组y=2xy=x-4，得到交点为（8,4），直线y=x-4与x轴的交点为（4,0），因此，由y=2x与y=x-4，以及x轴所求图形面积为：042xdx+482x-x+4dx=22x04+22x-12x2+4x48=40318求-22(x2sinx+ex)dx的值。【答案】e2-1e2【解析】y=x2sinx为奇函数，-22(x2sinx)dx=0-22(