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X傅里叶级数展开的几个问题 第 14卷第 2期 达县师范高等专科学校学报自然科学版 2004年 03月Vol. 14 No. 2 Journal of Daxian Teachers College Natural Science Edition Mar. 2004X傅里叶级数展开的几个问题丁宣浩桂林电子工业学院 计算科学与应用物理系,广西 桂林 541004【摘 要】 讨论了傅里叶级数展开的三个问题 :11f x是以 2为周期的函数与 f x只定义在 - ,上的傅里叶级数展开有何区别21只给出 f x在一个周期或半个周期内的定义 ,那么函数在区间端点处的取值有什么要求;3.若 f x是以 2 l 为周期的函数 ,则 f x也是以 2 kl 为周期的函数 ,这时 , f x的傅里叶级数展开式是否与周期无关。澄清了某些现行教材中的模糊问题。【关键词】 傅里叶级数;级数展开;周期;延拓中图分类号 O174. 23 文献标识码 A 文章编号 1008 - 4886 2004 02 - 0001 - 04数一定有最小正周期吗这可不一定。例如 f x 1 是1 问题的提出以任意正数为周期的函数 ,它没有最小正周期。以上这些问题的研究既具有理论意义 ,又是傅里叶级数教学中不容在现行的微积分教材中 ,关于函数的傅里叶级数展开式主要遵循下面两个基本定理。 回避的问题。定理 1 若以 2 l 为周期的函数 f 在 - l , l上按段光2 问题的讨论1滑 ,则 f 的傅里叶级数在每一点 x 处收敛于 f x - 0 +2211 f x以 2 l 为周期与 f x只在 - l , l上定义的f x + 0 参见书 1 。区别定理 2 若以 2 l 为周期的函数 f 在 - l , l内至多有设 f x满足收敛定理的条件 ,若 f x以 2 l 为周期 ,有限多个第一类间断点和至多只有有限个极值点,则对每那么 f x的定义域为 R - , + ,如果 f x的间断1一点 x - , + , f x的傅里叶级数收敛于 f x点集为 E ,则可将 f x表示成2- 0 + f x + 0 。a 0 n x n xf x + a cos + b sin , x R - En nn 12 l lf x的傅里叶系数满足如下公式 :若 f x只在定义 - l , l上且满足收敛条件 ,那么我们首1 l n xa f x cos d x , n 0 ,1 ,2 ,3 ,n - ll l先要 将 f x 延 拓 成 以 2 l 为 周 期 的 函 数 f 1 n xlb f x sin d x , n 1 ,2 ,3 ,n - ll lf x - l x l m 1 , 2 , 3 ,若将 f x看作以 2 kl 为周期的函数 ,则 f x的傅里f x - 2 ml - l + 2 ml x l + 2 ml叶系数公式为 :1 n xkl A f x cos d x , n 0 ,1 ,2 ,3 ,n - klkl kl 这样 f 也满足收敛定理的条件。设 f 的间断点集为 E ,则 1 kl n x a0 n x n xb f x sin d x , n 1 ,2 ,3 ,n - klf + a cos + b sin , x R - En nkl kln 12 l l从形式上看 ,当把 f x看作不同周期的函数时 ,其傅其中里叶系数公式是不一样的。那么以 f x的哪个周期为准 1 n x 1 n xl la f x cos d x f x cos d xn - l - ll l l l呢也许有人会说 ,应选用 f x的最小正周期 ,但周期函X 收稿日期 2003? 10? 07基金项目 广西教改工程与教育科学“十五” 规划课题。作者简介 丁宣浩 1957? ,男 ,四川开江人 ,广西桂林电子工程学院计算科学与应用物理系主任 ,教授 ,理学博士 ,研究方向 :算子理论。12004年第 2期 丁宣浩 :傅里叶级数展开的几个问题1 n x 1 n x 故由例 1便知l lb f x sin d x f x sin d xn - l - ll l l l n n + 1 1 - - 1 - 1f x - + cos nx + sin nx ,2 n 14 nn由于在 - l , l上 , f x f x ,故若 f x在 - l , l中的 - x 3间断点集为 E ,则即a 0 n x n x n n + 1f x f x + a cos + b sin , x n n 1 - - 1 - 1n 12 l l- + cos nx + sin nx 2n 14 nn3 - l , l - E 。x , - x 0在实际的计算过程 ,我们并不需要上面的延拓 ,直接将收。0 0 x 敛定理应用到 - l , l就行了。212 关于 f x在一个周期或半个周期的端点处的值 例 1 设 f x是周期为 2 的周期函数 ,它在 - ,由于 f x是以 2 l 为周期的函数 ,所以通常只给出 f上的表达式为x在一个周期内的定义。对于以 2 l 为周期的奇、 偶函x , - x 0 ,f x 数 ,还仅给出 f x在半个周期内的定义。但是我们要知0 , 0x ,道 ,将定义在 - l , l或 0 , l上的函数展开成为傅里叶级将 f x展开成傅里叶级数。数或正弦、 余弦级数 ,暗示将函数作为 2 l 为周期的延拓或1解 : 1计算 f x的傅里叶系数 : a f x d x 0 - 以 2 l 为周期的奇、 偶延拓。但这种延拓对区间端点处的0 值是有要求的。1 xd x - 0 21 设 f x定义在 - l , l上 ,如果要将 f x延拓成n 01 1 1 - - 1 a f x cos nxd x xcos nxd x n2- - n 以 2 l 为周期的函数 f x ,则必有 f - l f - l + 2 l 0 n + 1 1 1 - 1b f x sin nxd x xsin nxd x nf l ,而在 - l , l上 , f x f x ,故 f - l f - - -n2通过描图确定 f x的间断点;l , f l f l ,这样应该有 f - l f l 。02 要将定义在 0 , l上的函数 f x延拓成为以 2 l 为周期的奇函数 f x ,则 f 0 - f 0 f 0 0 从而 f 0 f 0 0 , f - l - f l ,由周期性 , f - l f - l + 2 l f l ,这样 f l - f l ,从而容易看出 f x的间断点集 E x 2 k + 1 :k 0 , f l 0 ,因此 f l f l 0。即要定义在 0 , l上的 1 , 2 , ,因此由展开定理 ,知函数 f x延拓成以 2 l 为周期的奇函数 ,必须 f 0 f ln n + 1 1 - - 1 - 1f x - + cos nx + sin nx ,2 0。n 14 nn 下面的两个例题均摘自书 3x R - Zx 例 2 将函数 例 2 将函数 f x 2sin - x 展开成傅3x , - x 0里叶级数。f x 0 ,0x - 分析 :由于 f - 2sin - 2sin , f 2sin展开成傅里叶级数。 3 3解 :此题和上题的傅里叶级数是一样的 ,在开区间 -,故 f - f ,这样 f x不能延拓成以 2为周期3, 内 f x连续。有两种方法可确定区间端点处级数的的函数 ,尽管我们也可以计算出 f x的傅里叶级数 ,实际值 :一是从图形看 ,即画出 f x的周期延拓 f x的图形。上 f x的傅里叶级数与函数在一个周期内的有限个点的f - + 0 + f- 0值无关。但我们已经失去了收敛定理的支持 ,强行写出 f二是利用公式 : S ,其中 s2x的傅里叶级数 ,显得有点蛮不讲理了。例 3 将函数 f x x + 1 0 x 展开成正弦x表示 f x的傅里叶级数的和函数。级数。 f - + 0 + f - 0在本题中 , S - - f2 2 分析 :f 0 0 + 1 1 0 , f + 1 0 故此函数 - 不能延拓成以 2 为周期的奇函数 ,因此不能展开成正弦2丁宣浩 :傅里叶级数展开的几个问题 2004年第 2期级数。 m x2 j + 1 l对于积分 f x cos d x ,令 x t + 2 jl ,则2 jll对于上面出现的问题怎么处理呢一方面是不要求 m x m2 j + 1 l 2 l对区间端点处的值进行讨论 ,老师和学生都模糊一点;另 f x cos d x f t + 2 jl cos t +2 jl 0l l一方面就是编教材的人仔细一点并且老师也将得清楚一2 jl d t点 ,以维护数学的严密性。笔者认为还是应该按后面的方m t2 l f t + 2 jl cos + 2 jm d t0式去处理。l213 函数的傅立叶级数与周期的关系2 l m t f x cos d t a0 ml定理 3 设 f x是以 2 l 为周期的函数 ,在每一个周类似可得 B b ,km m期内 , f x按段光滑 ,那么对任何正整数 k ,将 f x按周期而 f x在 - kl , kl内按段光滑 ,则除去有限多个点2 kl 展开成傅里叶级数与将 f x按周期 2 l 展开的傅里叶外 ,又满足 :级数相同。a 证明 :将 f x作为 2 l 为周期的函数 ,其傅里叶系数为 0 m x m xf x + a cos + b sin m mm 12 l l1 la f x d x0 - ll A 0 n x n x+ A cos + B sin m mn 12 kl kl1 n xla f x cos d x n 1 ,2 ,3 ,n - ll lA0 m x m x+ A cos + B sin km kmm 12 l l1 l n xb f x sin d xn - ll l n x n x+ A cos + B sin n nn km + rkl kl将 f x作为 2 kl 为周期的函数 ,其傅里叶系数为1rk - l由于 A a , A a , B b ,故1kl 0 0 km m km mA f x d x0 - klkl n x n x A cos + B sin 0n n1 n x n km + rkl kl kl1rk - lA f x cos d x n 1 ,2 ,3 ,n - klkl kln x n x又由函数序列 cos , sin 在 - kl , kl上是n 11 n xklkl klB f x sin d xn - klkl kl正交的 ,故推出对这里 k 为某个正整数。P n km + r ,1rk - 1 ,有下面我们将证明 ,对于任意的非负整数 m 有n xkl 2 2 2 A cos d x A kl 0 A 0- kl n n nA a , m 0 ,1 ,2 ,km mklB b , m 1 ,2 ,3 ,km m 同样有A 0 ,1rk - 1 , m 0 ,1 ,2 , n xkm + r kl 2 2 2 B sin d x B kl 0 B 0- kl n n nklB 0 ,1rk - 1 , m 0 ,1 ,2 ,km + r这样 f x按 2 kl 周期展开的傅里叶级数为事实上 ,A0 n x n xf x + A cos + B sin 1 1kl 2 kl nk nkn 1A f x d x f x d x 2 l l0 - kl 0kl kla 0 n x n x1 2 l 4 l 2 kl + a cos + b sin n nn 1 f x d x + f x d x + ?+ f x d x 2 l l0 2 l 2 kl - 1kl因此按不同周期展开的傅里叶级数是一样的。证毕。2 j + 1 l对于积分 f x d x ,0j k - 1 ,2 jl推论 4 若 f x是以 2 l 为周期的函数 ,且在每个周令 x t + 2 jl 期内按段光滑 ,则2 j + 1 l 2 l f x d x f t + 2 jl d t2 jl 0km + r x2 kl2 l 2 l f x cos d x 00 f t d t f x d x0 0kl1 12 l 2 lkm + r x2 kl故 A k f x d x f x d x a0 0 0 0 f x sin d x 00kl lkl又这里 1rk -