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文档简介

复习 1 平均变化率的定义 式子称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 令 x x2 x1 f f x2 f x1 则 2 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 f y f x2 f x1 2 计算平均变化率 复习 导数的概念 定义 设函数y f x 在点x0处及其附近有定义 当自变量x在点x0处有改变量 x时函数有相应的改变量 y f x0 x f x0 如果当 x 0时 y x的极限存在 这个极限就叫做函数f x 在点x0处的导数 或变化率 记作即 由导数的定义可知 求函数y f x 的导数的一般方法 求函数的改变量2 求平均变化率3 求值 一差 二化 三极限 3 1 3导数的几何意义 2 如果一个函数的瞬时变化率处处为0 则这个函数的图象是 A 圆B 抛物线C 椭圆D 直线 在不致发生混淆时 导函数也简称导数 什么是导函数 由函数f x 在x x0处求导数的过程可以看到 当时 f x0 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是x的一个函数 我们叫它为f x 的导函数 即 瞬时速度就是位移函数s t 对时间t的导数 是函数f x 在以x0与x0 x为端点的区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 上的平均变化率 而导数则是函数f x 在点x0处的变化率 它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度 如果函数y f x 在点x x0存在导数 就说函数y f x 在点x0处可导 如果极限不存在 就说函数f x 在点x0处不可导 下面来看导数的几何意义 如图 曲线C是函数y f x 的图象 P x0 y0 是曲线C上的任意一点 Q x0 x y0 y 为P邻近一点 PQ为C的割线 PM x轴 QM y轴 为PQ的倾斜角 斜率 P Q 割线 切线 T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况 我们发现 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ有一个极限位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率 称为曲线在点P处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数在x x0处的导数 初中平面几何中圆的切线的定义 直线和圆有唯一公共点时 叫做直线和圆相切 这时直线叫做圆的切线 唯一的公共点叫做切点 割线趋近于确定的位置的直线定义为切线 曲线与直线相切 并不一定只有一个公共点 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 先利用切线斜率的定义求出切线的斜率 然后利用点斜式求切线方程 练习 如图已知曲线 求 1 点P处的切线的斜率 2 点P处的切线方程 即点P处的切线的斜率等于4 2 在点P处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方程的点斜式写出切线方程 即 d 求切
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