2018-2019版高中数学_第一章 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课件 新人教a版选修4-5

2 基本不等式 1 重要不等式定理1 如果a b R 那么a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 2 基本不等式 3 两个正数的算术平均不小于 即大于或等于 它们的几何平均 名师点拨1 重要不等式与基本不等式的区别 2 基本不等式的常见变形 3 利用基本不等式求最值对两个正实数x y 1 如果它们的和S是定值 则当且仅当x y时 它们的积P取得最大值 2 如果它们的积P是定值 则当且仅当x y时 它们的和S取得最小值 名师点拨利用基本不等式求最值的条件是 一正 二定 三相等 即 1 各项或各因式为正 2 和或积为定值 3 各项或各因式能取得相等的值 做一做2若x 0 y 0 且x y 则xy的最大值为 答案 D 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 对于任意的实数x y 都有x2 y2 2xy 探究一 探究二 探究三 思维辨析 运用基本不等式求最值或取值范围 a b与ab的关系 再利用解不等式消去ab建立关于a b的不等式进行求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 运用基本不等式求最值的一些技巧 含有多个变量的条件求最值问题 一种方法是减少变量的个数 将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决 另一种方法是采用常值代换的方法 先对代数式变形后 再运用基本不等式进行求解 2 两个正数的和与积的转化 基本不等式具有将 和式 转化为 积式 和将 积式 转化为 和式 的放缩功能 因此可以用在一些不等式的证明中 还可以用于求代数式的最值或范围 在条件等式中 如果同时含有两个变量的和与积的形式 就可以先直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化 再通过解关于 和式 或 积式 的不等式进行求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1 1 已知00 y 0 且x 2y 1 则的最小值为 探究一 探究二 探究三 思维辨析 运用基本不等式证明相关不等式 分析 对于 1 因为m 0 所以可把和6m分别看作基本不等式中的a和b 直接利用基本不等式证明 对于 2 考虑到a b c 1 首先将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a b c 化简后再利用基本不等式 然后根据不等式的性质证明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用基本不等式证明不等式的方法与技巧1 用基本不等式证明不等式时 首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形 使之具备基本不等式的结构特点和使用条件 然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明 2 对含有条件的不等式的证明问题 要将条件与结论结合起来 找出变形的思路 构造出基本不等式 若两次 或两次以上 使用基本不等式的传递性 则应保证等号成立的条件一致 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 运用基本不等式解决实际问题 例3 已知26辆货车以相同速度v 单位 km h 由A地驶向400km处的B地 每两辆货车的间距为dkm 现知d与速度v的平方成正比 且当v 20时 d 1 1 写出d关于v的函数关系式 2 若不计货车的长度 则26辆货车都到达B地最少需要多少小时 此时货车的速度为多少 分析 对于 1 可由已知数据代入求得 对于 2 首先列出时间与速度的关系式 然后借助基本不等式求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 由题意可设d kv2 其中k为比例系数 k 0 因为当v 20时 d 1 所以1 k 202 2 因为每两辆货车的间距为dkm 所以最后一辆货车与第一辆货车的间距是25dkm 所以最后一辆货车到达B地所需的时间为 故26辆货车都到达B地最少需要10h 此时货车的速度为80km h 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟用基本不等式求解实际问题的盲点 1 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 2 根据实际问题抽象出函数的解析式后 利用基本不等式求得函数的最值 3 在求函数的最值时 一定要在定义域 使实际问题有意义的自变量的取值范围 内求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3某公司一年购买某种货物400t 每次都购买xt 运费为4万元 次 一年的总存储费用为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x t 答案 20 探究一 探究二 探究三 思维辨析 忽视基本不等式成立的条件而致错典例若正数x y满足x 3y 5xy 则3x 4y的最小值是 探究一 探究二 探究三 思维辨析 答案 C 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得本题错解中忽视了基本不等式中等号成立的条件 没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致 从而出现错误 连续使用基本不等式时取等号的条件很严格 要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 因此尽量不要连续两次或两次以上使用基本不等式 若连续使用两次或两次以上时 应保证每次等号成立的条件都相等 此外 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时 通常的办法是变量替换或常数值 1 的替换 即首先由已知条件得到某个式子的值为常数 然后将待求最值的代数式乘 1 最后对代数式进行变形整理 从而可利用基本不等式求最值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练 2017吉林三模 已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 0 则x 2y的最小值是 令x 2y t t 0 则t2 4t 32 0 解得t 4或t 8 舍去 因此x 2y 4 即x 2y的最小值是4 故选B 答案 B 12345 1 下列不等式中恒成立的是 答案 B 12345 答案 C 12345 答案 C 3 某公司要租地建仓库 每月土地占用费y1 单位 万元 与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运输费y2 单位 万元 与仓库到车站的距离成正比 如果在距离车站10千米处建仓库