测量平差第02章A.ppt

第2章地图的数学基础 2 1高斯 克吕格投影 2坐标系和高程系 3地图定向 4数字地图制图中主要坐标关系介绍 第一节高斯 克吕格投影我国现行的大于1 50万比例尺的各种地形图 都采用高斯 克吕格 Gauss Kruger 投影 一 投影的基本概念从地图投影的变形性质来说 高斯 克吕格投影是属于等角投影 该投影没有角度变形 从几何概念来分析 高斯 克吕格投影是一种横切椭圆柱投影 它是假想一个椭圆柱横套在地球椭球体上 使其与某一条经线相切 用解析法将椭球面上的经纬线投影到椭圆柱面 然后将椭圆柱展开成平面 即获得投影后的图形 其中的经纬线互相垂直 高斯 克吕格投影的平面直角坐标系 是以相切的经线 中央经线 的投影为X轴 以赤道的投影为Y轴 图3 4 高斯 克吕格投影的基本条件为 中央经线 椭圆柱和椭球体的切线 的投影为直线 而且是投影的对称轴 投影后没有角度变形 即同一地点各方向的长度比不变 或两微分线段所组成的角度在投影中保持不变 中央经线上没有长度变形 根据上述三个条件 即可导出高斯 克吕格投影的直角坐标基本公式 3 2 建立平面直角坐标 x y 与地理坐标 之间的函数关系 其关系式为 投影点 中央经线 二 投影的变形分析高斯 克吕格投影没有角度变形 面积变形是通过长度变形来表达的 其长度变形的基本公式为 3 3 由公式 3 3 可知长度变形的规律是 中央经线上没有长度变形 即 0 1 沿纬线方向 离中央经线越远变形越大 即 增大 也增大 为实际投影地点与中央经线间的经差 沿经线方向 纬度越低变形越大 即 越小 越大 表3 3说明 整个投影变形最大的部位在赤道和投影最外一条经线的交点上 纬度为0 经差为 3 时 长度变形为1 38 当投影带增大时 该项误差还会继续增加 这就是采取分带投影的原因 由此可见 在低纬度和中纬度区 其投影误差显得大了一些 该投影比较适用于纬度较高的国家 所以 目前世界上许多国家采用与高斯 克吕格投影相近的通用横轴墨卡托 UTM 投影 这种投影主要差别在于 假想椭圆柱同地球椭球体是相割的 这时 中央经线的长度比小于1 产生一个负变形区 中央经线缩小了0 4 整个投影的变形情况就得到了改善 通用横轴墨卡托 UniversalTransverseMercator UTM 投影 高斯投影在中央子午线上乘以比例因子0 9996 高斯投影为等角横轴切椭圆柱投影也称横轴墨卡托 TransverseMercator TM 投影UTM为等角横轴割椭圆柱投影 三 投影分带的规定为了控制投影变形不致于过大 高斯 克吕格投影采用分带投影的方法 我国的1 2 5万 1 50万地形图均采用6 分带投影 1 1万及更大比例尺地形图采用3 分带投影 以保证地图有必要的精度 6 分带法 从格林尼治零度经线起 每6 为一个投影带 全球共分60个投影带 图3 5 东半球的30个投影带 是从0 起算往东划分 即东经0 6 6 12 174 180 用阿拉伯数字1 30予以标记 各投影带的中央经线位置可用 3 4 式计算 式中n为投影带带号 L0 6n 3 3 4 西半球的30个投影带 是从180 起算 回到0 即西经180 174 174 168 6 0 各带的带号为31 60 各投影带中央经线的位置 可用式 3 5 计算 式中n为投影带带号 L0 6n 3 360 3 5 我国领土位于东经72 136 之间 共包括11个投影带 即13 23带 各带的中央经线分别为75 81 135 图3 5 3 分带法 从东经1 30 算起 每3 为一带 将全球划分为120个投影带 即东经1 30 4 30 4 30 7 30 东经178 30 西经178 30 西经1 30 至东经1 30 其中央经线的位置分别为3 6 9 180 西经177 3 0 这样分带的目的在于使6 带的中央经线均为3 带的中央经线 即3 带中有半数的中央经线同6 带重合 在从3 带转换成6 带时 可以直接转用 不需任何计算 由于高斯 克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值 所以 各带的坐标完全相同 使用时 只需在横坐标 通用值 之前加上带号即可 因此 计算一个带的坐标值 制成表格 就可供查取各投影带的坐标时使用 四 坐标网为了制作地图和使用地图方便 通常在地图上都绘有一种或两种坐标网 即经纬线网和方里网 经纬线网 即指由经线和纬线所构成的坐标网 又称地理坐标网 经纬线网在制图上的意义 在于绘制地图时不仅起到控制作用 确定地球表面上各点和整个地形的实地位置 而且还是计算和分析投影变形所必须的 因而 也是确定比例尺 量测距离 角度和面积所不可缺少的 在1 1万 1 25万比例尺的地形图上 经纬线只以图廓线的形式直接表现出来 并在图角处注出相应度数 为了方便用图时加密成网 在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线 图式中称 分度带 必要时对应短线相连就可以构成加密的经纬线网 1 25万地形图上 除内图廓上绘有经纬网的加密分划外 图内还有加密用的十字线 我国的1 50万 1 100万地形图 在图面上直接绘出经纬线网 内图廓上也有供加密经纬线网的加密分划短线 方里网 是由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网 因为是每隔整公里 其密度规定见表3 4 绘出坐标纵线和坐标横线 所以称之为方里网 由于方里线同时又是平行于直角坐标轴的坐标网线 故又称直角坐标网 直角坐标系以中央经线投影后的直线为X轴 以赤道投影后的直线为Y轴 它们的交点为坐标原点 我国位于北半球 全部X值都是正值 在每个投影带中则有一半的Y坐标值为负 为了避免Y坐标出现负值 规定纵坐标轴向西平移500km 半个投影带的最大宽度不超过500km 这样 全部坐标值都表现为正值了 地图上注出的Y坐标值 就是根据 高斯 克吕格投影坐标表 上查取的y值加上500km后的所谓通用坐标值 图3 6 我国规定在1 1万 1 25万地图上必须绘出方里网 其方里网密度如表3 4 邻带坐标网 由于高斯 克吕格投影的经线是向本投影带中央经线收敛的 过每一个点的经线方向和坐标线构成一定的夹角 这个夹角随纬度和经差的不同而变化 如图3 7a中经线与坐标线的夹角随纬度增高而加大 当处于相邻两带的相邻图幅拼接使用时 两图图面上绘出的直角坐标网就不能统一相接 而形成一个折角 图3 7b 这就给拼接使用地图带来不便 例如 欲量算位于相邻两带的两图幅上A B两点的距离和方位 在坐标网不统一时就不可能 为了解决相邻带图幅拼接使用的困难 规定在一定的范围内把邻带的坐标延伸到本带的图幅上 这就使某些图幅上有两个方里网系统 一个是本带的 一个是邻带的 为了区别 图面上都以本带方里网为主 邻带方里网系统只在图廓线以外绘出一小段 需要使用时才连绘出来 据 1 2 5万 1 10万地形图图式 1971年版 规定 每个投影带西边最外一行1 10万地形图的范围 即经差30 内包含的1 10万 1 5万 1 2 5万地形图均需要加绘西部邻带的方里网 每个投影带东部员外的一行1 5万地形图 经差15 和一行1 2 5万地形图 经差7 5 的图面上也需要加绘东邻带的方里网 图3 8 这样 每两个投影带的相接部分 45 的范围 都应该有1行1 10万 3行1 5万 5行1 2 5万地形图的图面上需绘出邻带方里网 邻带图幅拼接使用时 可将邻带方里网连绘出来 就相当于把邻带的坐标系统延伸到本带来 使相邻两幅图具有统一的直角坐标系统 图3 9 邻带方里网加绘的实质就是将投影带的范围扩大 即西带向东带延伸30 投影 东带向西带延伸15 7 5 投影 这样 每个投影带计算的范围不是6 而是6 45 这时东带中最西边的30 范围内的图幅 既有东带的坐标 又有西带的坐标 图3 10 在展绘地形图的坐标网时 这一个范围内的图幅 除了按东带坐标展绘图廓和方里网之外 还需要按西带坐标展出邻带方里网 同样 东带的延伸也是如此 高斯投影坐标与地理经纬度的换算 高斯坐标正 反算 高斯投影正 反算函数54年北京坐标系 6度带宽 适用于1 50万 1 2 5万地形图投影坐标计算由经纬度 单位 DD 反算大地坐标 含带号 单位 Metres voidGaussProjCal doublelongitude doublelatitude double X double Y 由大地坐标 含带号 单位 Metres 反算经纬度 单位 DD voidGaussProjInvCal doubleX doubleY double longitude double latitude 我国的地形图以高斯 克吕格投影为基准投影1 50万 1 25万 1 10万 1 5万 1 2 5万 1 1万 1 5000均采用高斯投影 其中1 1万和1 5000采用3 带投影 1 50万 1 25万 1 10万 1 5万 1 2 5万采用6 带 1 100万则采用双纬线等角圆锥投影 第二节坐标系和高程系地面点或空间目标位置需由三维数据来决定 即由确定平面 球面 位置的坐标系和确定空间高度的高程系来定位 一 坐标系坐标系的种类很多 但与地图测绘密切相关的有地理坐标系和平面坐标系等 1 地理坐标系地理坐标系的构成 地面点的地理坐标是由经度和纬度构成 经纬度主要是通过天文测量 大地测量和卫星定位的方法来测定的 经纬度具有深刻的地理意义 它标示物体在地面上的位置 显示其地理方位 经线与东西相应 纬线与南北相应 表示时差 此外 经纬线还标示许多地理现象所处的地理带 如气候 土壤及地理学科的其他部门 都要利用经纬度来推断重要的和有益的地理规律等 地理坐标系世界各国差不多都有自己国家的坐标系 这里列出一些主要国家的坐标系供参考 表3 1 我国的大地坐标系 包括过去使用的 1954年北京坐标系 和现用的 1980国家大地坐标系 两种 1954年北京坐标系 新中国成立前 我国实际上没有统一的大地坐标系 建国初从前苏联1942年坐标系联测并经过平差计算而引伸到我国 才建立了 1954年北京坐标系 该坐标的原点在前苏联西部的普尔科夫 采用克拉索夫斯基椭球元素 据前苏联20世纪20 30年代大地测量成果推算的 致使椭球面与我国大地水准面不能很好地符合 产生的误差较大 加上1954年北京坐标系的大地控制点坐标多为局部平差逐次获得的 实际上连不成一个统一的整体 这对于发展我国空间技术和国防尖端技术 对于大规模的经济建设都是不利的 1980国家大地坐标系 我国在积累了30余年测绘资料的基础上 通过全国天文大地网整体平差建立了我国的大地坐标系 该坐标系采用1975年IUGG IAG第16届大会推荐的地球椭球参数 长半径a 6378140m 扁率倒数1 f 298 257 及动力形状因子 地心引力常数 自转角速度等数据 椭球短轴平行于由地球质心指向1968 0地极原点 JYP 的方向 首子午面平行于格林尼治天文台的 子午面 国家大地原点设在陕西省泾阳县 该系统的优越性主要表现在 椭球参数精度高 4个参数是一完整的系统 克氏椭球只给定了长半轴与扁率 仅描述了地球面的几何形状 定位所决定的椭球面与我国大地水准面符合较好 天文大地网坐标传算误差 天文重力水准路线传算误差都不致太大 天文大地网坐标经过了全国的整体平差 坐标统一 精度优良 可直接满足1 5000甚至更大比例尺测图的需要等 采用这一坐标系后 对于国家已成的基本比例尺地形图将主要带来如下变化 a 图廓尺寸变化在各种比例尺地形图上均不会超过0 1mm 但图角点位发生显著变化 b 图幅内点位相对关系发生变化 但一般不大于实地1 5m 少数在1 5 15m之间 c 图幅内的点在高斯平面坐标系中位置发生显著变化 即使是1 50万地图 点位在图上的变化也超过0 1mm 2 平面坐标系将椭球面上的点通过地图投影的方法投影到 地图 平面上时 通常使用乎面坐标系 即平面极坐标系和平面直角坐标系 它们与数学中的坐标系原理相同 平面极坐标系 用某点至极点的距离和方向 矢量角 表示该点位置的方法 称为极坐标法 这种方法主要用于地图投影理论研究 平面直角坐标系 是用直角坐标原理确定一点的平面位置的方法 只是测绘中所使用的直角坐标系与数学中有所不同 即X轴和Y轴互换了位置 以便角度角从X轴开始按顺时针方向计量 在实际测绘作业中 多采用平面直角坐标系来建立地图的数学基础 通过地图投影 将地面控制点 三角点 和一些特殊点 例如图廓点 经纬网交点等 的地理坐标换算成平面直角坐标 进行展绘 制作地图 二 高程系高程是指由高程基准面起算的地面点高度 高程基准面是根据验潮站所确定的多年平均海水面而确定的 图3 1 地面点至平均海水面的垂直高度即为海拔高程 也称绝对高程 简称高程 地面点之间的高程差 称为相对高程 简称高差 实践证明 在不同地点的验潮站所得的平均海水面之间存在着差异 选用不同的基准面就有不同的高程系统 例如 我国曾经使用过1954年黄海平均海水面 坎门平均海水面 吴淞零点 废黄河零点和大沽零点等多个高程系统 均分别为不同地点的验潮站所得的平均海水面 1956年黄海高程系 一个国家一般只能采用一个平均海水面作为统一的高程基准面 为使我国的高程系统达到统一 规定采用以青岛验潮站1950 1956年测定的黄海平均海水面作为全国统一高程基准面 其他不同高程基准面推算的高程均应归化到达一高程基准面 凡由该基准面起算的高程 统称为 1956年黄海高程系 统一的高程基准面的确立克服了建国前高程基准面混乱 还有许多省区以假定高程作为起算 不同省区的地图在高程系上普遍不能接合等弊端 我国20世纪80年代以前均采用此高程系测绘地图 1956年黄海高程系的水准原点设在青岛市的观家山上 它对黄海平均海水面的高程为72 298m 国家各等级的高程控制点 水准 点 埋石点等 的高程数值 都是由该点起 通过水准测量等方法传算过去 构成全国高程控制网 从而为测绘地图提供了必要条件 地图上的多种高程控制点 均用不同的符号区分表示 1985国家高程基准 由于观测数据的积累 黄海平均海水面发生了微小变化 国家决定启用新的高程系 并命名为 1985国家高程基准 该系统是采用青岛验潮站1952 1979年潮汐观测资料计算的平均海水面 国家水准原点的高程值为72 260m 使高程控制点的高程产生了微小变化 但对已成地图上的等高线高程的影响则可以忽略不计 可认为是没有变化的 人造地球卫星的迅速发展 为精确测定地球的形状 确定大地水准面与旋转椭球面的差距 测定地面点的三维空间的坐标 起到了积极的推动作用 第三节地图定向确定地图上图形的地理方向叫地图定向 在这一节里主要讨论地形图的定向和小比例尺地图的定向 一 地形图的定向为了满足使用地图的要求 规定在大于1 10万的各种比例尺地形图上绘出三北方向和三个偏角的图形 1 三北方向线指真北方向线 坐标北方向线和磁北方向线 真北方向线 过地面上任意一点 指向北极的方向 叫真北 其方向线称真北方向线或真子午线 地形图上的东西内图廓线即为真子午线 其北方方向代表真北 对一幅图而言 通常是把图幅的中央经线的北方方向作为该图幅的真北方向 坐标北方向线 图上方里网的纵线叫坐标纵线 它们平行于投影带的中央经线 投影带的平面直角坐标系的纵坐标轴 纵坐标值递增的方向称为坐标北方向 大多数地图投影的坐标北和真北方向是不完全一致的 磁北方向线 实地上磁北针所指的方向叫磁北方向 它与指向北极的北方向并不一致 磁偏角相等的各点连线就是磁子午线 它们收敛于地球的磁极 严格说来 实地上每个点的磁北方向也是不一致的 地图上表示的磁北方向是本图幅范围内实地上若干点测量的平均值 地形图上用南北图廓上的P和P 点的连线表示该图幅的磁于午线 其上方即该图幅的磁北方向 图3 16 在图3 16中可以清楚地看出三个北方向 图廓外的三北方向图则示意性地表示图幅的三个北方向及其之间的关系 图3 17 2 三个偏角指子午线收敛角 磁偏角和磁针对坐标纵线的偏角 子午线收敛角 在高斯 克吕格投影中 除中央经线投影成直线以外 其他所有的经线都投影成向极点收敛的弧线 因此 除中央经线之外 其他所有经线的投影同坐标纵线都有一个夹角 即过某点的经线弧的切线与坐标纵线的夹角 这个夹角即子午线收敛角 图3 18 可用式 3 9 计算 sin 3 3sin cos2 1 3 2 3 9 由上式可见 子午线收敛角随纬度的增高而增大 随着对投影带中央经线的经差增大而加大 在中央经线和赤道上都没有子午线收敛角 采用6 分带投影时子午线收敛角的最大值为3 表3 5列举了投影带东部子午线收敛角的分布 投影带的西部角值对应相等 符号相反 磁偏角 地球上有北极和南极 同时还有磁北极和磁南极 地极和磁极是不一致的 而且磁极的位置不断有规律地移动 过某点的磁子午线与真子午线之间的夹角称为磁偏角 磁子午线在真子午线以东 称为东偏 角值为正 在真子午线以西 称为西偏 角值为负 在我国范围内 正常情况下磁偏角都是西偏 只有某些发生磁力异常的区域才会表现为东偏 磁偏角的值是会发生变化的 地形图上标出的磁偏角的数值是测图时的情况 但是由于磁偏角的变化比较小 而且变动有规律 一般用图时仍可使用图上标注的磁偏角值 需精密量算时 则应根据年变率和标定值推算用图时的磁偏角值 磁针对坐标纵线的偏角 过某点的磁子午线与坐标纵线之间的夹角称为磁针对坐标纵线的偏角 磁子午线在坐标纵线以东为东偏 角值为正 以西为西偏 角值为负 3 三北方向组成的偏角图真子午线 坐标纵线和磁子午线的三个北方各不相同 三者之间的关系可以构成以下几种形式 图3 19 有时也会出现磁子午线同真子午线或坐标纵线重合的特殊情况 图中右方 图中C1表示子午线收敛角 C2表示磁偏角 C3表示磁针对坐标纵线的偏角 三个偏角的关系可以用式 3 10 表示为 C3 C2 C1 3 10 图幅的子午线收敛角可以从 高斯 克吕格投影坐标表 中查取 磁偏角是测图时实地测定的 在图幅的相应位置标示出来 根据式 3 10 即可求出磁针对坐标纵线的偏角 我国大于1 10万比例尺的地形图上 南图廓外附有偏角图 应该根据本图幅在投影带中的位置及磁子午线