【奥数教程】第一讲不定方程（组）

奥数在线教程第一讲 不定方程（组）一、不定方程（组）的定义1. 若一个方程中，出现了两个或更多个未知数，则称该方程为不定方程。这个“不定方程”是指方程的解不确定2. 若一个方程组中，未知数的个数比方程的个数多，则称该方程组为不定方程组。这个“不定”也是指方程组的解不确定例1. 方程的整数解有_组；解：由原方程得，由于x是整数，则也是整数所以 y - 2 = 3，1即：，共有组解例篮球、排球、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么其中排球的个数是_；解：设其中有排球x个，足球y个，则篮球的个数为7y，根据题意，篮、排、足球共25个，即 7y + x + y = 25 x + 8y = 25由于每种球的个数分别是正整数个，所以足球个数只能是1，2，3此时对应的篮球个数是7，14，21个其中排球的个数是17个，9个，1个例3. C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度为_解：设线段AC的长度为x，CB的长度为y，则图中所有线段及其长度表示如下：AC = x，AD = ，AB = x + yCD = ，CB = y，DB = 由题设，知 因为x，y是正整数，且系数分别为3，故y只能是正偶数y = 2时，x不是整数，故y2y = 4时，得x = 3，满足题意y6时，x均不是正整数，所以线段AC的长度只能是3例4. 1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是_岁解：设某人出生于年，则他在1998年的年龄是1+9+x+y = 10 + x + y所以 即 98 (10x + y ) = 10 + x + y 11x + 2y = 88所以 因为 x，y是09之间的某个整数所以 x只能取0，2，4，6，8因而，满足方程的（x，y）为 x02468y443322110根据表格，满足题意的只有x = 8， y = 0，因而某人的年龄是10 + 8 + 0 = 18(岁)例5. 方程的整数解有（ ）A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个解： 根据绝对值的公式：，可将方程变形为： 将方程左边因式分解，得因为 x，y都是整数，所以|x|+1和|y|-2也均为整数根据绝对值的意义：|x|+11 所以可得方程组： 或 由方程组得 有2个解由方程组得 有4个解所以，原方程组有6个解选 C例6. 已知正整数a、b、c（其中a1）满足，则a+b+c的最小值是_，最大值是_；解：由题意得： 所以 因此把 50 写成 的形式有对应值列表表示：a502255105b111112c22631163所以，a+b+c的最小值是10，最大值是53练习1. 已知a是不为0的整数，并且关于x的方程 有整数解，则a的值共有（ ）A 1个 B. 3个 C. 6个 D. 9个练习2. 方程的整数解有_组练习3. 方程的一组整数解（x，y）是（ ）A. （61，48723） B. （62，48725）C. （63，48726） D. （64，48720）例7. 已知m是整数，且，关于x，y的二元一次方程组有整数解，则m = _，_解：因为则(1)3 + (2) 2，得 即 又因为 m，x，y都是整数，所以15 2m是奇数，且是23的倍数根据 ，得75 15-2m 135所以 15 2m = 115解得 m = -50，于是 x = 因此，例8. 一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，篮球上标有3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中，红球的个数最多不超过_个解：设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，z个篮球，依题意得方程组： （1）3 - （2），得2x + y = 9，即y = 9 - 2x由于y是非负整数，x也是非负整数，易知x的最大值为4例9. 若m、k、l是正整数，m100，则方程和共有_组整数解解：根据题意，得：所以若要让为正整数，则可取，99共50个数；要使k为正整数，则m可取1，4，7，97共33个数；要使l和m同时为整整数，m应取1，7，13，97共17个数即满足题意的整数解共有17组例10. 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三个组的核桃总数是365个，则三个组的同学人数的总和是_解：设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人根据题意的28a + 30b + 31c = 365，a、b、c都是正整数所以28a+28b+28c 365 所以a + b + c = 12或13若a + b + c = 13时28a + 28b + 28c = 364 = 28a + 30b + 31c 1整理得2b + 3c = 1由于b、c都是正整数，所以此方程无解所以a + b + c = 12例11. 若a，b都是有理数，且，则ab = _解： 由得 所以 解得：a = -4，b = -2所以 ab = 8例12. 若正整数x、y满足2004x = 15y