杆件的内力截面法.doc

第二章 杆件的内力.截面法一、基本要求1了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；2掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；3熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。二、内容提要1轴向拉伸和压缩1）轴向拉伸或压缩的概念受力特点：外力或合外力与轴线重合；变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。2）轴力轴向拉压时，杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为轴力。一般用表示，单位为牛顿（N）。轴力的正负号规定：拉为正，压为负。3）轴力图表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。2扭转1）扭转的概念受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。2）外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P来计算。当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为3）扭矩、扭矩图当外力偶矩已知，利用截面法可求任一横截面上的内力偶矩扭矩，用表示。扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）。表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相似。正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。3弯曲内力1）基本概念弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。其力学模型如图2-3所示。2）梁的计算简图 静定梁：所有支座反力均可由静力平衡方程确定的梁。静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁。计算简图分别如图2-4（a）、（b）、（c）所示。3）剪力和弯矩剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的合力，称为剪力，用FS表示。弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为弯矩，用M表示。剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为dx的微段，若横截面上的剪力使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力FS规定为正，反之为负（或使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负），如图2-5（a）、（b）所示；若弯矩使dx微段的弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩M规定为正，反之为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反之为负），如图2-5（c）、（d）所示 。根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负）；固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。4）剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。5）剪力图和弯矩图为了直观地表达剪力FS和弯矩M沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为：第一，求支座反力。第二，根据截荷情况分段列出FS(x)和M(x)。在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。第三，求控制截面内力，作FS、M图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，FS=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明的数值。（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。载荷集度q（x）、剪力FS（x）与弯矩M（x）之间的关系为:根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。(a)若某段梁上无分布载荷，即，则该段梁的剪力FS（x）为常量，剪力图为平行于轴的直线；而弯矩为的一次函数，弯矩图为斜直线。(b)若某段梁上的分布载荷（常量），则该段梁的剪力FS（x）为的一次函数，剪力图为斜直线；而为的二次函数，弯矩图为抛物线。当（向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当（向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。(c)若某截面的剪力FS（x）=0，根据，该截面的弯矩为极值。利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）；第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；第四，确定和。可能出现的地方：集中力F作用处；支座处。可能出现的地方：剪力FS=0的截面；集中力F作用处；集中力偶M作用处。6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。各杆连接处称为刚节点。刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。静定刚架：凡未知反力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架相类似。 三、典型例题分析例2-1 在图2-6（a）中，沿杆件轴线作用F1、F2、F3、F4。已知：F1=6kN，F2=18kN，F3=8kN，F4=4kN。试求各段横截面上的轴力，并作轴力图。解：1计算各段轴力AC段：以截面1-1将杆分为两段，取左段部分（图（b）。由得kN （拉力）CD段：以截面2-2将杆分为两段，取左段部分（图(c)）。由得kN（压力）的方向与图中所示方向相反。DB段：以截面3-3将杆分为两段，取右段部分（图(d)）。由得kN（压力）的方向与图中所示方向相反。2绘轴力图以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力，选取适当比例，绘出轴力图（图（e）。在轴力图中正的轴力（拉力）画在x轴上侧，负的轴力（压力）画在x轴下侧。例2-2 传动轴在图2-7（a）所示。主动轮A输入功率为PA36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PBPC11kW，PD14kW，轴的转速为n300r/min。试作轴的扭矩图。解：1计算各轮上的外力偶矩2计算各段扭矩BC段：以截面II将轴分为两段，取左段部分（图(b)）。由平衡方程得负号说明所假定的方向与实际扭矩相反同理，在CA段内， 在AD段内，3以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘出扭矩图。正的扭矩画在x轴上侧，负的扭矩画在x轴下侧。例2-3 图示简支梁受集中力F作用，试利用剪力方程和弯矩方程绘出该梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力。由，得2.列剪力、弯矩方程在段内，在BC段内3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。图：在AC、CB段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于x轴的直线。在集中力F作用处，左、右两侧截面的剪力值发生突变，突变量；图：在AC、CB段内，弯矩方程均是的一次函数，因此两段弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩，标在坐标系中，并分别连成直线，即得该梁的弯矩图。显然在集中力F作用处左、右两侧截面上弯矩值不变，但在该截面处弯矩图斜率发生突变，因此在集中力F作用处弯矩图上为折角点。例2-4 受均布载荷作用的简支梁，如图2-9所示，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力2.列剪力、弯矩方程3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。 在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且在FS=0处弯矩M取得极值。例2-5 如图2-10所示简支梁，在C点处受矩为Me的集中力偶作用，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力由平衡方程和得2.列剪力、弯矩方程在AC段内在BC段内3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为，而剪力图无改变。例2-6 如图2-11所示简支梁。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：1.求支反力。由平衡方程和求得，2.列剪力、弯矩方程AC段： CB段： 3求控制截面内力，绘、图图：AC段内，剪力方程是的一次函数，剪力图为斜直线，求出两个端截面的剪力值，标在坐标系中，连接两点即得该段的剪力图。CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，连一水平线即为该段剪力图。梁AB的剪力图如图2-11(b)所示。图：AC段内，弯矩方程是的二次函数，弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，分别标在坐标系中。在处弯矩取得极值。令剪力方程，解得，求得，标在坐标系中。根据上面三点绘出该段的弯矩图。CB段内，弯矩方程是的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，标在坐标系中，并连成直线。AB梁的图如图2-11(c)所示。例2-7 梁的受力如图2-12（a）所示，试利用微分关系作梁的、图。解：1.求支反力。由平衡方程和求得，2.分段确定曲线形状由于载荷在A、D处不连续，应将梁分为三段绘内力图。根据微分关系，在CA和AD段内，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；DB段内，且为负值，剪力图为斜直线，图为向上凸的抛物线。3.求控制截面的内力值，绘、图图：，据此可作出CA和AD两段图的水平线。，据此作出DB段图的斜直线。图：，据此可以作出CA段弯矩图的斜直线。A支座的约束反力只会使截面A左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩值，故，据此可作出AD段弯矩图的斜直线。D处的集中力偶会使D截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出，；由DB段的剪力图知在E处，该处弯矩为极值。根据BE段的平衡条件，知BE段的长度为0.5m，于是求得。根据上述三个截面的弯矩值可作出DB段的图。对作出的、图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。如DB段内的均布载荷为负值，该段图的斜率应为负；CA段的为负值，该段图的斜率应为负；AD段的为正值，该段图的斜率应为正；支座A处剪力图应发生突变，突变值应为10kN；D处有集中力偶，D截面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为3.6kNm；支座B和自由端C处的弯矩应为零等。例2-7 刚架受力如图