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文档简介

1 一 二阶常系数齐次线性方程 二 二阶常系数齐次线性方程解法 三 n阶常系数齐次线性方程解法 四 小结及作业 2 二阶齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程 一 二阶常系数齐次线性方程 3 将它代入方程 2 得 4 1 当 时 特征方程有两个相异实根 则微分方程有两个线性无关的特解 因此方程的通解为 5 2 当 时 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 u x 待定 代入方程 特征方程 则 不防取u x 则得 因此原方程的通解为 6 3 当 时 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个解 为了得到实数解 利用解的叠加原理 得原方程的线性无关特解 因此原方程的通解为 7 二 二阶常系数齐次线性方程解法 为常数 特征方程 根 实根 8 例1求方程 的通解 解特征方程 有根 因此原方程的通解为 例2求解初值问题 解特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 9 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 10 11 三 n阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 12 注意 n次代数方程有n个根 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项 且每一项各一个任意常数 13 特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 例6 14 例7求方程 的通解 解特征方程 解得 因此原方程通解为 例5解方程 解特征方程 解得 原方程通解 不难看出 原方程有特解 15 例8解方程 解特征方程 即 其根为 方程通解为 16 四 小结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 1 写出相应的特征方程 2 求出特征根 3 根据特征根的不同情况 得到相应的通解 见下表 17 18 19 思考题 求微分方程的通
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