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2 2 1椭圆及其标准方程 教学目标 1 掌握椭圆的标准方程 能根据已知条件求椭圆的标准方程 2 能用标准方程判定曲线是否是椭圆 复习回顾 平面内到两个定点f1 f2的距离的和等于常数 大于f1f2 的点的轨迹叫椭圆 定点f1 f2叫做椭圆的焦点 f1 f2 p 椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a 两焦点之间的距离 焦距 记为2c 即 f1f2 2c 说明 注意 a c 0 椭圆标准方程的推导 求椭圆的方程可分为哪几步 如何建立适当的直角坐标系 原则 尽可能使方程的形式简单 运算简单 一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴 以直线f1f2为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立如图坐标系 f1f2 2c 设p x y 为椭圆上的任意一点 f1f2 2c c 0 则 f1 c 0 f2 c 0 以直线f1f2为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立如图坐标系 方程的推导 方程的推导 以直线f1f2为y轴 线段f1f2的垂直平分线为x轴 建立坐标系 方程的推导 建立如图坐标系 设p x y 为椭圆上的任意一点 椭圆的标准方程 f1 0 c f2 0 c f1 c 0 f2 c 0 1 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 该椭圆上一点p到焦点f1的距离为8 则点p到另一个焦点f2的距离等于 10 6 8 0 8 0 8 16 12 练习 2 若椭圆满足 a 5 c 3 求它的标准方程 焦点在x轴上时 焦点在y轴上时 焦点在x轴上 b 例题讲解 解 以两个焦点f1 f2所在的直线为x轴 以线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 则这个椭圆的标准方程为 根据题意知 2a 3 2c 2 4 即a 1 5 c 1 2 所以b2 a2 c2 1 52 1 22 0 81 因此椭圆的标准方程为 例2 将圆x2 y2 4上的点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的一半 求所得曲线的方程 并说明它是什么曲线 因为x 2 y 2 4 所以x2 4y2 4 即 这就是变换后所得曲线的方程 它表示一个椭圆 小结 定义 图形 方程 焦点 f c 0 f 0 c a b c的关系 p pf1 pf2 2a 2a f1f2 思考题 怎样判断焦点在哪个轴上 m 0 n 0 当n m 0时 焦点在y轴上 当m n 0时 焦点在x轴上 且m n 作
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