艾滋病疗法评价的差分形式数学模型_赵丹梅.pdf

昆 明 大 学 学 报 2006 17 4 5 8 CN 53 1144 G4 Journal ofKun m ing University 收稿日期 2006 11 20 作者简介 赵丹梅 1965 女 大理洱源人 白族 高级讲师 理学士 主要从事数学及教学管理方面的研究 艾滋病疗法评价的差分形式数学模型 赵丹梅1 张保生 2 1 昆明大学 艺术设计与建筑工程系 云南 昆明 650118 2 云南民族大学 监审处 云南 昆明 650031 摘 要 利用差分方法建立有关艾滋病疗法评价的数学模型 作为应用我们预测继续治疗的效果 或者确定 最佳治疗终止时间 关键词 艾滋病 数学模型 预测分析 中图分类号 0141 4 文献标识码 A 文章编号 1671 2056 2006 04 0005 04 1 引言 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一 从 1981年发现以来的 20多年间 它已经吞噬了近 3 000 万人的生命 艾滋病的医学全名为 获得性免疫缺损综合 症0 英文简称 A IDS 它是由艾滋病毒 英文简称 H I V 引起的 这种病毒破坏人的免疫系统 使人体 丧失抵抗各种疾病的能力 从而严重危害人的生命 人类免疫系统的 CD4细胞在抵御 H I V 的入侵中起 着重要作用 当 CD4被 H I V 感染而裂解时 其数量 会急剧减少 H I V将迅速增加 导致 A I DS发作 艾滋病治疗的目的 是尽量减少人体内 H I V 的 数量 同时产生更多的 CD4 至少要有效地降低 CD4 减少的速度 以提高人体免疫能力 迄今为止人类还没有找到能根治 A I DS的疗 法 目前的一些 A IDS疗法不仅对人体有副作用 而 且成本也很高 许多国家和医疗组织都在积极试 验 寻找更好的 A IDS疗法 本文根据艾滋病治疗的目的利用差分方法建立有 关艾滋病疗法评价的数学模型 以此预测继续治疗的 效果 或者确定最佳治疗终止时间 然后用 2006年全 国大学生数学建模竞赛试题 B题附件的数据于以验 证 2 模型建立 用 hn ti 表示编号为 n的病人治疗了 ti周 H I V 浓度 Cn ti 表示编号为 n的病人治疗了 ti周 CD4 的浓度 艾滋病的治疗目的是 尽量地减少人体内 H I V 的数量 同时产生更多的 CD4 至少要有效地降 低 CD4减少的速度 根据这一目的我们要努力使 编号为 n的病人达到下面的要求 1 平均每周产生的 H IV 数量尽量减少 即一 阶差商 hn ti ti 1 hn ti 1 hn ti ti 1 ti 0 或 Cn ti ti 1 Cn ti 1 Cn ti ti 1 ti 0 且二阶差商 Cn ti ti 1 ti 2 Cn ti 2 Cn ti 1 ti 2 ti 1 Cn ti 1 Cn ti ti 1 ti ti 2 ti 0 如果 ti 2 tm ax 则编号为 n的病人继续服药 这里 tmax表示编号为 n的病人的最后一次测试时间 否 则 只要上述两个条件之一不满足 编号为 n的病人 在第 ti 2周停止服药 对少数几个缺少 CD4或 H I V 值 可根据 Cn ti ti 1 Cn ti 1 Cn ti ti 1 ti 或 hn ti ti 1 hn ti 1 hn ti ti 1 ti 外推补全数据 有的病人在 t 0时无数据 我们也用这种方法补全 上述模型也可建为 对于编号为 n的病人来说 治疗到第 ti 1周 如果 hn ti 1 hn ti 0 Cn ti 1 Cn ti ti 1 ti Cn ti a 1 0或 Cn ti 2 Cn ti 1 ti 2 ti 1 Cn ti 1 a 1 a 0 2 则应当在 ti时刻停止 其中的 a 1 a 0 是我 们根据准则 至少使平均每周 CD4减少的相对速度 尽可能小0提出的限制性条件 它的意义与二阶差 商类似 利用上面所建模型 我们能算出一个病人停止服 药时间 tn0与初始时刻 CD4和 H I V的值 Cn0 hn0值之间 关系 tn0 tn0 Cn0 hn0 这个问题还包含两个病人初始 时刻 Cn0 hn0值分别相同停止时刻是否相同问题 进而我们能求出在第 ti周停止的病人数所占概 率分布为 P ti N ti N 其中 N ti 表示停在 ti周 人数 由于迄今为止人类还没有找到能根治 A IDS的 疗法 而目前的一些 A I DS疗法不仅对人体有副作 用 而且成本也很高 于是许多国家和医疗组织都 在积极试验 寻找更好的 A IDS疗法 成本高的原 因主要是测试 H I V 浓度成本很高 因此考虑在只 测试 CD4浓度情形下的模型是有意义的 假定我 们将考察N 名病人 随机地把他们分为 4组 每组 按 4种疗法中的一种服药 大约每隔一个周期 约 8 周 测试一次 CD4浓度 4种疗法的日用药分别 为 600mg zidovudine或 400mg didanosine 去羟基 苷 这两种药按月轮换使用 600mg zidovudine加 2125mg zalcitabine 扎西他滨 600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine 600 mg zidovudine加 400 mg didanosine 再加 400mg nevirapine 奈韦拉平 艾 滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价 格如下 600 mg zidovudine 1160 美元 400 mg d i danosine 0 185美元 2 125 mg zalcitabine 1 185美元 400mg nevirapine 1 120美元 当病人需要考虑 4种 疗法的费用时 前面模型中的评价和预测 或者提 前终止 将改变 用 wi t 表示一个病人按第 i类治疗 t个周期 即 8t周 所用总费用 则 w1 t 1 2 1 16 t 2 0 185 56 1 1225t 56 68 16t w 2 t 1 16t 1 185t 56 3 145t 56 193 12t w3 t 1 16t 1 185t 56 2 145t 56 137 12t w4 t 1 16t 1 185t 1 12t 56 3 165t 56 204 14t 因为 w 1 t w3 t w 2 t w 4 t 我们考虑每 人能支付费用为 w 美元的病人群 设 p1 k E w 6815 ti k p1 ti E ti p w 6815 ti k p2 k E w 13912 ti k p1 ti E ti p w 139 12 ti k p3 k E w 13712 ti k p1 ti E ti p w 137 12 ti k p4 k E w 20414 ti k p1 ti E ti p w 204 14 ti k 则通过讨论 w 和 k的值可确定 p1 k p2 k p3 k p4 k 的排序 显然 当 k很大时 排队的结果应与治疗费用无 关 因此确定 p1 k p2 k p3 k p4 k 的次序 应先确定与治疗费用无关的最小的 k 然后对区间 0 k 和适当步长进行扫描 便能求出各种 k的 p1 k p2 k p3 k p4 k 的排序 3 应用举例 下面我们将以 2006年全国大学生数学建模竞 赛试题 B 为例给出我们所建模型的一个应用 311 关于 2006年全国大学生数学建模竞赛试题 B 第一问 停止服药时间应在区间 ti ti 2 之内 其确定方 法是统计满足下面两个条件之一的数据 1 hn ti ti 1 hn ti 1 hn ti ti 1 ti 0 ti 1 t m ax 2 hn ti ti 1 hn ti 1 hn ti ti 1 ti 0 Cn ti ti 1 Cn ti 1 Cn ti ti 1 ti 0 Cn ti ti 1 ti 2 Cn ti 2 Cn ti 1 ti 2 ti 1 Cn ti 1 Cn ti ti 1 ti ti 2 ti 0 ti 2 t m ax 这里 t max表示编号为 n的病人的最后一次测试时间 为方便起见我们取停止时间为 ti ti 2 中的左 ti 1进 行统计 得 停止时间人数占总人数概率概率从大到小次序 0 12860146 9945362 13 23101005 464 4814 24 449301508 196 7211 45 55301016 393 4433 如果既不存在 ti 1 t max满足上面条件 1 又不 存在 ti 2 tmax满足上面条件 2 而 t t max满足下面 两个条件之一 1 hn ti ti 1 hn ti 1 hn ti ti 1 ti 0 Cn ti ti 1 Cn ti 1 Cn ti ti 1 ti 0 ti 1 t m ax 2 hn ti ti 1 hn ti 1 hn ti ti 1 ti 0 ti 2 t m ax 6 昆明大学学报 第 17卷 继续服药人数占总人数概率概率从大到小次序 0 41601093 0234 5 87401430 2331 8 125301308 142 13 23501029 075 24 442401139 5353 45 55006 则编号为 n的病人在第 t t max周后应继续服药 经统计得 312 关于 2006年全国大学生数学建模竞赛试题 B 第二问 假设 10岁为相同的年龄变化不大 通过对不同 的年龄段进行四种不同的疗法数据分析 利用 EX CEL进行曲线作图 得到了不同年龄段的 CD4的浓 度变化数据曲线图 从而来分析四种的疗法的优劣 见图 1 5 按使用药品种分 4类 分别记为第 i类 i 1 2 3 4 一个病人必属于一类而且只属于一类 用于大约每隔 8周测试一次 CD4的浓度 我们称之 为一个周期 根据所绘数据 每个病人最多测试 5次 即 40周 这四类每类在一个周期 CD4的浓度相 对变化率为C i t 1 Ci t Ci t t 1 2 5 由于艾滋病是无法治愈的 因此对于一个病人 如果一类药能使这病人的 CD4在一个周期相对增 加 C0 t0 Ci 0 Ci 0 越大 这种药就越好 t0表示停止 时间或所给的最后并且可以继续治疗的时间 第 i类在第 t周 即第 8t周 末应仍继续服人数Mi t 停止的病人数Ni t 及所占概率 Pmi t Pni t 于是四类的优劣排序可由 N1 t M1 t Pn1 t Pm1 t 确定 一般随 a的变化而变化 根据一阶差商 Cn ti ti 1 Cn ti 1 C ti ti 1 C ti 0 和二阶差商 Cn ti ti 1 ti 2 Cn ti 2 Cn ti 1 ti 2 ti 1 Cn ti 1 Cn ti ti 1 ti ti 2 ti 0 或 Cn ti ti 1 Cn ti 1 C ti ti 1 C ti 0 且二阶差商 Cn ti ti 1 ti 2 Cn ti 2 Cn ti 1 ti 2 ti 1 Cn ti 1 Cn ti ti 1 ti ti 2 ti 0 7第 4期 赵丹梅 等 艾滋病疗法评价的差分形式数学模型 我们有服各类药治疗效果 年龄 服第一类服第二类服第三类服第四类 有效人数所占概率有效人数所占概率有效人数所占概率有效人数所占概率 502901093 247 63301098507 51901063 75843001099 009 9 合计311335298303311 服各类药治疗效果排序 年龄从好到差排序 50四 二 一 三 4 模型的讨论 本文在针对艾滋病治疗的目的 我们对第一个 问题建立了三个数学模型来预测停止最佳治疗时间 并且还用了平行数据来曲线拟合预测了治疗可能出 现的情况 比较详细地直观的介绍和建立了四种疗 法的关系 模型改进 问题 1 中决定病人是否继续治疗 的中 我们取 Cn ti ti 1 a hn ti ti 1 1 a 0 实验结 果显示停止用药的决定因素主要在于 Cn ti ti 1 的 值 而且出现了在 0 4 8周停止用药的病人数量相 对较大的现象 故我们取的 C 的值偏大 可以由 Cn ti ti 1 与 ti ti 1 的关系 进一步确定更合理的 Cn ti ti 1 与 hn ti ti 1 的值来判定标准 参考文献 1 刘来福 刘文艺 数学模型与数学建模 M 北京 北 京师范大学出版社 1997 2 刘来福 刘文艺 问题解决的数学模型方法 M 北 京 北京师范大学出版社 1998 3 沈继红 施文玉 等 数学模型 M 哈尔滨 哈尔滨工 程大学出版社 1996 215 234 4 齐欢 数学模型方法 M 武汉 华中理工大学出版 社 1996 180 231 5 任善强 雷鸣 数学模型 第二版 M 重庆 重庆大 学出版社 1998 So me Difference TypeM athe maticalM odels of Judging AZTcsTherapeutics ZHAO Dan m ei 1 ZHANG Bao sheng2 1 Arts and ArchitecturalEngineering Depart ment ofKunming University Kunm ing 650118 China 2 Audition Department Yunan NationalitiesUniversity Kunm ing 650118 China Abstract The purpose of this paper is to constructm athematicalmodels of jud