北京邮电大学2011级研究生课程概率论第三讲.ppt

2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 1 一 测度及其性质 定义1 2 1设A是由 的一些子集组成的非空集合类 若对每一个A A 有一实数或者 与之对应 为确定起见 下面假定只取 记为 A 且至少有一A A 使其取有限值 则称 A 是定义在A上的集函数 有限可加集函数 可加集函数或广义测度 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 2 一 测度及其性质 若对每一A A A 都取有限值 则称 为A上的有限集函数 则称 为A上的 有限集函数 若对每一A A 存在一集合序列 An A 使 若A为集代数 则 An 还可以是两两不交的 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 3 若集函数为有限可加且只取非负值 则称为有限可加测度 若集函数为 可加且只取非负值 则称为测度 用 或 表示 具有性质 A且 1的测度 称为概率测度或概率 用P表示 一 测度及其性质 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 4 一 测度及其性质 定理1 2 1设 为A上的集函数若 是有限可加或 可加的 且 A 则 0 2 若A为集代数 有限可加或 可加测度 或非负的 A B A 且A B 则 3 半可加性 A为集代数 是有限可加测度 Ai A 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 5 一 测度及其性质 4 次可加性 A为集代数 是测度 Ai A 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 6 定义1 2 2设 是定义在集合类A上的集函数 若对A中任意满足条件An 且 则称 在A处下连续 A的集合序列 An 有 一 测度及其性质 若对A中任意满足条件An 且至少存在一m使 则称 在A处上连续 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 7 一 测度及其性质 定理1 2 2设 是集代数A上的 可加集函数 或测度 则 有限可加且连续 即集代数上的测度是连续的 定理1 2 3设 是集代数A上的有限可加集函数 或有限可加测度 若 满足下列条件之一 1 是下连续的 2 有限 且在 处连续 则 是 可加集函数 或测度 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 8 有了定义在集代数A上的测度 我们考虑如何产生测度 在 代数 A 上的扩张 最后得到 测度扩张定理 首先必须明白什么叫 扩张 定义1 2 3A1 A2是 上的两个非空集合类 且A1 A2 i是Ai的测度 i 1 2 若对 A A1 有 1 A 2 A 则称 2是 1在A2上的扩张 1是 2在A1上的限制 二 测度的扩张定理 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 9 以下讨论的前提是A是 上的集代数 是A上的测度 称F 上的v 是由A上的v所引出的外测度 所有的A的覆盖的测度和的下确界 即为A的外测度 注意 这里可列多个集合的并也包括有限个集合并的情况 外测度不见得是测度 1 F 上的外测度 A 对任意A F 定义 SA 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 10 下确界 对于给定的数集S x 若数 满足条件 1 是S的下界 即对 x S 有 x 2 对任何大于 的数 一定存在S中某个数x0 使得x00 x0 S 使得x0 则称 为数集S的下确界 记作 infS 例 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 11 引理1 2 1由集代数A上的测度 引出的F 上的外测度 满足 下面讨论外测度的性质 证明 1 因A A 由外测度定义 有 A A 因此 只需证明 A A 不减性 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 12 综上所述 A A 下面证明 A A 只需说明 A 为A的所有覆盖的测度和的下界即可 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 13 即 外测度是单调上升的函数 即覆盖B的集合序列一定覆盖A 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 14 则结论显然成立 由定义 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 15 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 16 为了把那些满足可加性的集合挑选出来 我们引入 可测集的概念 并构成一个新的集合类A 从下面的分析可以看到 该集合类A 不仅为 代数 而且 是A 上的测度 问题 外测度 在F 上未必满足 可加性 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 17 2 可测集 证明 必要性显然成立下面简单说明充分性 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 18 由引理1 2 1 有 0由引理1 2 1 3 知外测度函数 具有次可加性 则在引理1 2 1 3 中取 我们记A 为所有 可测集组成的集合类 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 19 引理1 2 3A 满足 1 A 是 代数 若集代数对可列不交并封闭则为 代数 证明 1 首先证明A 是集代数a 0 D 有 1 2 4 式的定义具有对称性 A 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 20 则有 A B A 综上所述知A 是集代数 1 2 5 c A B A 有 A B A 若A B A 则对 D 有 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 21 下面说明A 是 代数 只需证A 对可列不交并运算封闭 设An A n 1 2 AiAj i j 则 对D 有 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 22 令n 有 A 则A 是 代数 1 2 6 由前面结论 有 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 23 引理1 2 3A 满足 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 24 由前面的结论 有 由 1 2 6 式 结论得证 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 25 3 欲证 是A 上的测度 只须说明 在A 上满足 可加性 考虑到v 0 所以 A A 上 有 v A 0则v 是A 上的测度 整个引理的证明完毕 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 26 3 测度扩张定理 问题 A 是否是包含A的 代数 是A 上的测度 不降 满足次可加性 对任意A F 定义 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 27 3 测度扩张定理 若A 是包含A的 代数 则 便是定义在A上的测度 在A 上的一个扩张 进一步地 这样的扩张唯一吗 为了保证唯一性 不必将 扩张到A 上 而只需扩张到 A 即可 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 28 定理1 2 4设 是 的集代数A上的测度 则 在 A 上存在一个扩张 如果 在A上是 有限的 则 在 A 上的扩张是唯一的 证明 显然第一部分只需证 A A A A D 0 存在A中集序列An n 1 2 使得 这是因为若A A 则 A A 是A 上的测度 则是 A 上的测度 且对于是 是 在 A 上的扩张 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 29 由 是A上的测度 且 由 的任意性 则有 即 A A 则A A 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 30 1 首先证明 若 1 2是 在 A 上的任意两个扩张 证明对 A A 及任意的正整数n 有 1 ADn 2 ADn 1 2 8 第二部分 唯一性A是集代数 是A上的 有限测度 则存在 2 再证明对 A A 有 1 A 2 A 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 31 1 对给定的n 令 A A A 1 ADn 2 ADn 下证 A 显然A 且 A A A 因A为集代数 则 ADn A 必有 ADn 1 ADn 2 ADn 则A 若能证明 为单调类 则 A 另 A为集代数 则 A A 所以 A 即 A 结论得证 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 32 下面证明 为单调类 Ak Ak 则 1 AkDn 2 AkDn 2 Dn Dn k 1 2 根据测度的连续性 有 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 33 2 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 34 三 测度的完全化初等概率中我们遇到这样的问题 考虑某一集合B A A 且P A 0 但B未必属于A 即B未必是事件 未必有概率 即零测集的子集未必有概率 为了克服这个问题 必须将A上的测度完全化 定义1 2 4设 是 代数F 或集代数A 上的测度 如果A A A 0 B A 则B F 或A 因而必有 B 0 则称 为F 或A 上的完全测度 以下介绍如何将 代数F上的测度 完全化 2020 2 8 北京邮电大学电子工程学院 35 定理1 2 5 测度的完全化 设 是 代数F上的测