第六章试题解答.doc

线性代数(经管类)第六章历年试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1设有实二次型f(x1,x2,x3)=，则f（）A正定B负定C不定D半正定答案：D24元二次型的秩为（）A4B3C2D1答案：C3二次型的正惯性指数p为（）A0B1C2D3答案：B4二次型的矩阵为（）ABCD答案：C5.设有二次型则（）A.正定B.负定C.不定D.半正定答案：C6二次型f(x1,x2,x3,x4)=x+x+x+x+2x3x4的秩为（）A1B2C3D4答案：C7.设A=，则二次型f(x1，x2)=xTAx是（）A.正定B.负定C.半正定D.不定答案：B8设实对称矩阵A=，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为（ ）ABCD答案：D9若3阶实对称矩阵A=（）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（ ）A0B1C2D3答案：D10.二次型（ ）A.A可逆B.|A|0C.A的特征值之和大于0D.A的特征值全部大于0答案：D11.设矩阵A=正定，则（ ）A.k0B.k0C.k1D.k1答案：C124元二次型的秩为（）A1B2C3D4答案：B13设矩阵，则二次型的规范形为（）ABCD答案：C14二次型f（x1，x2）=的规范形是（）ABCD答案：D15.三元二次型f （x1，x2，x3）=的矩阵为（ ）A.B.C.D.答案：A16.二次型f（x1,x2,x3）=的正惯性指数为（ ）A.0B.1C.2D.3答案；C8.若A、B相似，则下列说法错误的是( )A.A与B等价B.A与B合同C.| A |=| B |D.A与B有相同特征值10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则( )A.A正定B.A半正定C.A负定D.A半负定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。17若实对称矩阵A=为正定矩阵，则a的取值应满足_.答案：18二次型的秩为_.答案：219二次型f(x1,x2,x3)=-2 x1x2+x2x3的矩阵是_.答案：20设3元实二次型的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是_.答案：21设矩阵A=为正定矩阵，则a的取值范围是_.答案：22二次型的矩阵是_.答案：23.矩阵A=所对应的二次型是_.答案：24.二次型f(x1,x2,x3)=x+2x-5x-4x1x2+2x2x3的矩阵为_.答案：25.已知二次型f(x1，x2，x3)=(k+1)x+(k-1)x+(k-2)x正定，则数k的取值范围为_.答案：26.矩阵A=所对应的二次型是_.答案：27矩阵A=对应的二次型f = _.答案：28设矩阵A=，则二次型xTAx的规范形是_.答案：29二次型f (x1,x2,x3,x4)=的正惯性指数为_.答案：330若f (x1,x2,x3)=为正定二次型，则的取值应满足_.答案：31.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=_.答案：32.二次型对应的对称矩阵是_。答案：33已知3元二次型正定，则数的最大取值范围是_.答案：34.二次型的秩为_.答案：335.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_。答案：18.实对称矩阵所对应的二次型f (x1, x2, x3)=_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）36设二次型f(x1,x2,x3)=2（其中a0）可通过正交变换化为标准型，求参数a及所用的正交变换.解：A的特征值分别为1，2，5，所以对于，解方程组特征向量为，取对于，解方程组特征向量为，取对于，解方程组特征向量为，取 于是有正交矩阵和正交变换37.设3元二次型,求正交变换x=Py,将二次型化为标准形. 解 二次型的矩阵为. 由,得的特征值为。 当时, 解方程, 由,得特征向量。 取。 当时, 解方程, 由得特征向量， 取. 当时, 解方程, 由得特征向量， 取. . 于是有正交矩阵和正交变换， 使38.用配方法求二次型的标准形，并写出相应的线性变换。解：对f配方令得f的标准形相应的线性变换为39已知二次型，求一正交变换，将此二次型化为标准形 解 二次型的矩阵为. 由,得的特征值为。 当时, 解方程, 由,得特征向量，。 取，。当时, 解方程, 由,得特征向量， 取得特征向量， 取.