【创新课堂】高考数学总复习 专题02 第14节 导数的应用(2)课件 文.ppt

第十四节导数的应用 2 1 利用导数求函数的最值 一般地 在区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 求最值的步骤如下 求函数f x 在 a b 内的极值 求函数f x 在区间端点的值f a f b 将函数f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的是最大值 最小的是最小值 知识汇合 2 利用导数研究实际问题的最值 其一般步骤为 分析实际问题中各量之间的关系 找出对应的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 注意函数的实际需要的限制 求函数的导数f x 解方程f x 0 比较函数在定义域的区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 其中最大的为最大值 最小的为最小值 例1 已知函数f x 4x3 ax2 bx 5的图象在x 1处的切线方程为y 12x 且f 1 12 1 求函数f x 的解析式 2 求f x 在 3 1 上的最值 题型一利用导数求函数的最值 分析 先根据条件求出函数f x 的解析式 然后求出f x 的极值点 计算出极值后 把极值与f 3 f 1 比较大小 典例分析 解 1 f x 12x2 2ax b 且曲线y f x 在x 1处切线斜率为 12 解得 f x 4x3 3x2 18x 5 2 f x 12x2 6x 18 6 x 1 2x 3 令f x 0得x1 1 x2 则x f x f x 的变化情况如下表 x 1 3 1 且f 1 16 f 3 76 f 1 12 f x 在 3 1 上的最小值为 76 最大值为16 例2 2010全国 设函数f x 1 e x 求证 x 1时 f x 题型二利用导数证明不等式问题 分析 根据要证明问题的特征 进行必要的化归转化 然后通过构造函数 利用函数的单调性来解决这类问题 证明 x 1时 f x 当且仅当ex 1 x 令g x ex x 1 则g x ex 1 当x 0时 g x 0 g x 在 0 上是增函数 当x 0时 g x 0 g x 在 0 上是减函数 于是g x 在x 0处取最小值 因而当x r时 g x g 0 即ex 1 x 所以当x 1时 f x 题型三利用导数求最值解决实际问题 例3 2010江苏 将边长为1m的正三角形薄片 沿一条平行于底边的直线剪成两块 其中一块是梯形 记s 则s的最小值是 分析 表示出关于s的解析式 利用求导方法来求最小值 解 设剪成的小正三角形的边长为x 则令s x 0 0 x 1 x 当x 时 s x 0 当x 时 s x 0 故当x 时 s取得最小值是 高考体验 1 函数y 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值是 a 5b 4c 4d 5 解析 f x 6x2 6x 12 令f x 0 得x 1或x 2 x 0 3 易知x 2为极值点 又f 0 5 f 3 4 f 2 15 f x max 5 a 练习巩固 2 用一长为16m的篱笆 围成一个矩形养鸡场 则此养鸡场的最大面积是 a 32m2b 14m2c 16m2d 18m2 解析 设长为xm 则宽为 16 2x 2 8 x m 面积s x x 8 x x2 8x 其中0 x 8 令s x 2x 8 0 得x 4为极值点 且在 0 8 上是唯一的极值点 故x 4时 s x 有最大值s 4 42 8 4 16 m2 c 3 函数f x x 2cosx在上取得最大值时 x的值是 a 0b c d b 解析 f x 1 2sinx 令f x 0 得x 又f 0 2 比较这三个数知最大 4 已知f x 2x3 6x2 m在 2 2 上有最大值3 此函数在 2 2 上的最小值为 a 37b 29c 5d 以上都不对 解析 f x 6x2 12x 6x x 2 令f x 0得x1 0 x2 2 分别计算得f 2 40 m f 0 m f 2 8 m 比较大小知f 0 最大 f 2 最小 m 3 f 2 40 3 37 a 5 若直线y m与y 3x x3的图象有三个不同交点 则m取值范围是 解析 y 3 3x2 3 x 1 x 1 令y 0得x1 1 x2 1为函数y 3x x3的极值点 且验得在x1 1处取极小值 2 在x2 1处取极大值2 结合图象知 2 m 2 2 2 6 2010江西 设函数f x lnx ln 2 x ax a 0 1 当a 1时 求f x 的单调区间 2 若f x 在 0 1 上的最大值为 求a的值 解析 函数f x 的定义域为 0 2 1 当a 1时 所以f x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 2 2 当x 0 1 时 即f x 在 0 1 上单调递增 故f x 在 0 1 上的最大值为f 1 a 因此a 7 2010山东 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 a 1