工程流体力学课件07794.ppt

流体力学庞胜华E mail pang96210 第一章绪论第一节流体力学的任务 发展概况和研究方法一 任务 研究流体平衡和机械运动规律及其在工程中应用 三个含义 研究对象 流体 液体 气体 研究内容 平衡和机械运动 研究目的 应用于工程 二 研究方法理论分析方法 侧重于理论分析 实验方法 原型观测 模型观测和模拟试验 数值计算方法 三 基本概念1 连续介质 1753年欧拉提出把流体当作是由密集质点构成的 内部无空隙的连续体来研究 连续介质基础上认为流体具有均匀等向性 2 无粘性流体为简化分析 在某些粘性不起作用或不起主要作用时 或为了研究方便 暂时忽略流体的粘性 3 不可压缩流体不计压缩性和热胀性 密度可视为常数的流体 称为不可压缩流体 如气体在大多数情况下可以看成不可压缩流体 接近或超过音速时才必须用可压缩模型 第二节作用于流体上的力按作用方式将作用于流体上的力分为质量力和表面力1 质量力作用于每一个流体质点上 与质量成比例的力 作用在单位质量流体上的力称为单位质量力 以f表 单位质量力在三个坐标轴方向上的分力 流体力学中常见的质量力有两种 1 重力 其单位质量力为g 方向与重力加速度一致 重力在三个坐标轴方向上单位质量力的分力 2 惯性力 其单位质量力为a 方向与加速度相反 2 表面力 作用于流体的表面 与作用的面积成比例的力 称为表面力 表面力可以是作用于流体的边界面 液体与固体或气体的接触面 上的压力 切力 也可以是一部分流体质点作用相邻的另一部分流体质点的压力 切力 作用在单位面积上的表面力称为应力 单位为N m2 压强 作用在单位面积上的压力 称为平均压强 切应力 作用在单位面积上的切力 称平均切应力 压强与切应力的单位均为帕斯卡 以Pa表示 第三节流体的主要物理性质1 易流性流体在静止时不能承受切力 不能抵抗剪切变形 流体的这种性质称为易流性 同时 流体也不能抵抗拉力 而抗压能力却很强 2 质量与密度质量是物体惯性大小的量度 以m表示 密度 非均质流体 3 重量与容重容重重量是质量和重力加速度的乘积 即容重与密度的关系4 水的容重为9 807 1000 9807N m 4 粘滞性粘滞性即流体内部质点间或流层间因相对运动而产生内摩擦力以反抗相对运动的性质 这种内摩擦力也称为粘滞力 粘性是流体固有属性 是运动流体产生能量损失根源 牛顿内摩擦定律 1 与流速梯度成正比 2 与接触面积A成正比 3 与流体的种类有关 4 与流体的压力无关 其公式为 单位面积上的内摩擦力 即切应力 du dy为速度梯度 它实际上是流体微团的剪切变形速率 阐明如下 在运动流体中取一小方块流体微团abcd 方块下表面速度为u 经dt后 该流体成为a b c d 剪切变形为d d tg dudt dy 即du dy d dt由此可知 du dy速度梯度就是角变形速率 思考题下面关于流体粘性的说法中 不正确的是 A 粘性是流体的固有属性B 粘性是运动状态下 流体有抵抗剪切变形速率能力的量C 流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重性2 理想流体有无能量损失 为什么 D 流体的粘度随温度的升高而增大 无 因为理想流体 0 没有切应力 例 一块可动平板与另一块不动平板之间为某种液体 两块板相互平行 它们之间的距离h 0 5mm 若可动平板以v 0 25m s的水平速度向右移动 为了维持这个速度需要每m2面积上的作用力为2N 求这二平板间液体的粘度 思考题 已通过很窄间隙 高为h 如图所示 其间有一平板隔开 平板向右拖曳速度为v 一边液体的动力粘性系数为 1 另一边液体动力粘性系数为 2 计算板的放置位置y 求 1 平板两边切应力相同 2 要求拖曳平板的阻力最小 牛顿内摩擦定律适用条件 只能适用于牛顿流体 5 压缩性和热胀性流体受压 体积缩小 密度增大的性质 称为流体的压缩性 流体受热 体积膨胀 密度减小的性质 称为流体的热胀性 1 液体的压缩性和热胀性液体的压缩性 一般用压缩系数来表示 或 压缩系数的倒数称为流体的体积模量或体积弹性系数即 注意 1 E越大 越不易被压缩 当E 时 表示该流体绝对不可压缩 2 流体的 E随温度和压强变化 3 流体的种类不同 其 和E值不同 4 在一定温度和中等压强下 水的体积弹性模量变化不大 2 气体的压缩性和热胀性气体具有显著的压缩性和热胀性 当温度不过低 压强不过高时 气体的密度 压强和温度三者之间的关系 服从理想气体状态方程 即 例 使水的体积减小0 1 及1 时 应增大压强各为多少 EV 2000MPa 解 例 圆柱容器中的某种可压缩流体 当压强为1MPa时体积为1000cm3 若将压强升高到2MPa时体积为995cm3 试求它的压缩系数解 1 比较重力场 质量力只有重力 中 水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小 A f水f水银D 不一定2 试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液体所受的单位质量力大小 fx fy fz 分别为多少 B f水 f水银 自由落体 fx fy fz 0加速运动 fx a fy 0 fz g 3 静止的流体受到哪几种力的作用 4 理想流体受到哪几种力的作用 重力与压应力 无法承受剪切力 重力与压应力 因为无粘性 故无剪切力 本章小结 1 流体力学的任务是研究流体的宏观机械运动 提出了流体的易流动性概念 即流体在静止时 不能抵抗剪切变形 在任何微小切应力作用下都会发生变形或流动 同时又引入了连续介质模型假设 把流体看成没有空隙的连续介质 则流体中的一切物理量 如速度u和密度 都可看作时空的连续函数 可采用函数理论作为分析工具 2 流体的压缩性 一般可用体积压缩率和体积弹性模量E来描述 通常情况下 压强变化不大时 都可视为不可压缩流体 3 粘性是流体的主要物理性质 它是流动流体抵抗剪切变形的一种性质 流体粘性大小用动力粘度 或运动粘度v来反映 其中温度是粘度的影响因素 4 牛顿内摩擦定律它表明流体的切应力大小与速度梯度或角变形率或剪切变形速率成正比 这是流体区别于固体 固体的切应力与剪切变形大小成正比 的一个重要特性 5 作用于流体的力 质量力和表面力 最常见的质量力是重力和惯性力 表面力常分为垂直于表面的压力和平行于表面的切力 第二章流体静力学本章讨论流体静平衡的力学规律 重点在于研究静止流体中的压强分布规律和总作用力计算方法 流体静止指流体质点之间或流层之间无相对运动 它分为绝对静止和相对静止 注意 流体在静止状态下没有内摩擦力 此时理想流体和实际流体一样 处于静止状态下的流体质点之间不存在相对运动 因而流体的粘性不显示出来 不存在切应力 静止流体中也不会有拉应力 而只有压应力 流体质点间或质点与边界之间的相互作用只能以压应力的形式来体现 因为这个压应力发生于静止流体中 所以称为流体静压强 以区别于运动流体中的压应力 称为动压强 第一节流体静压强特性两个特性 1 静止液体压强垂直指向作用面 2 静止液体中任一点的静压强与作用的方位无关 或者说作用于同一点上各方向的静压大小相等 理论证明静压具有各向同性证明 作微小四面体MABC 四面体正交的三个面分别与坐标轴垂直 各边长分别为dx dy dz 作用在四面体上流体静压强分别为px py pz和pn 四面体所受的单位质量力分别为X Y Z y 现分析在X方向力的平衡 整理得 因此静止流体中任一点上的压强大小与通过该点的作用方位无关 仅是该点坐标的连续函数 即 第二节流体平衡微分方程 一 流体平衡微分方程在静止流体中 取六面体微团dx dy dz 并取坐标 如图 X轴表面力的合力为 微小六面体在表面力和质量力共同作用下处于平衡状态 所以作用力在X轴方向的分量之和等于零 即 化简得 同理得 上式即为流体的平衡微分方程式 又称欧拉平衡方程式 它表明处于平衡状态的流体 对于单位质量的流体来说 质量力分量X Y Z和表面力分量 是对应相等的 二 流体平衡微分方程的综合式 把欧拉方程各式分别乘以dx dy和dz得 dp Xdx Ydy Zdz 三 等压面 1 定义流体中压强相等的点所组成的面称等压面 该等压面可能是平面 也可能是曲面 在等压面上有dp 0 静止流体中等压面为水平面 旋转流体中等压面为旋转抛物面 2 等压面性质1 不同密度流体的分界面必为等压面 2 在静止流体中质量力与等压面正交 证明 在平衡液体中任取一等压面 质点M质量为dm 在质量力F作用下沿等压面移动ds 力F沿ds移动所做的功可写作矢量F与ds的乘积 因J F ds 0 也即质量力必须与等压面正交 注意 1 静止流体质量力仅为重力时 等压面必定是水平面 2 静止流体与大气接触的自由表面为等压面 3 不同流体的交界面是等压面 思考题 1 相对平衡的流体的等压面是否为水平面 为什么 什么条件下的等压面是水平面 2 图中哪个断面为等压面 A C C 断面 不一定 相对平衡的流体有惯性力 质量力只有重力作用下的静止流体的等压面是水平面 B B B 断面 第三节重力作用下流体的压强分布规律 所受质量力只有重力的流体常称为静止重力流体 分析 作用于单位重量流体上的质量力在各坐标轴方向上的分量分别为X 0 Y 0 Z g 因此 dp Xdx Ydy Zdz gdz dz 对于不可压缩均匀流体 积分上式得 p z C1或z p C式中C为积分常数 由边界条件确定 对于静止流体中的任意两点 上式可写为 或p2 p1 z1 z2 p1 h 上二式均称为流体静力学基本方程 把上式应用于液面与液面下任一点 可得 z p z0 p0 常数或p p0 z0 z p0 h上式也称为水静力学基本方程 式中h z0 z 表示该点在自由面以下的淹没深度称为淹深 p0 自由面上的气体压强 1 以上各式均仅适用于均质的连续介质 2 仅在重力作用下 静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加 3 任意点压强由两部分组成 一部分为自由表面压强p0 另一部分为液体质量产生的压强 h 4 自由表面下深度h相等的各点压强均相等 只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面 5 证明帕斯卡原理 施加于静止液体边界上的压强 将等值的传递到液体中的每一点 6 推广 已知某点的压强和两点间的深度差 即可求另外一点的压强值 a b c 淹深相同的各点静压强相等 只适用于质量力只有重力的同一种连续介质 对不连续液体或一个水平面穿过了两种不同介质 位于同一水平面上的各点压强并不相等 二 流体静力学基本方程的物理意义和几何意义1 几何意义 方程各项量纲均为长度 可用几何高度表示 在流体力学中 方程中的z 称为位置水头 p 压强水头 z p 测压管水头 在静止流体中 测压管水头等于常数 2 能量意义 Z 单位重量流体的重力势能 简称位能 p 单位重量流体的压力势能 简称压能 如图 在压强p作用下 该处的液体被升高一个高度hp p 因此作用在液体上压强具有作功能力 因此 流体静力学基本方程的物理意义是 静止流体中任一点单位位能与单位势能之和为常数 思考题 1 盛有液体的敞口容器作自由落体时 容器壁面AB上的压强分布如何 2 在静止流体中 各点的测压管水头是否相等 dp fxdx fydy fzdz 0 p c 自由液面上p 0 p 0 相等 第四节压强的计量单位和表示方法 一 三种计量单位 1 从压强的基本定义出发 用单位面积上的力表示2 用大气压的倍数来表示国际上规定一个标准大气压 温度为0 纬度为45 时海平面上压强 用atm表示 相当于760mm水银柱底部所产生的压强 即1atm 1 013 105pa 一个工程大气压相当于735mm水银柱或10m水柱底部所产生的压强1at 9 8 104pa 0 1Mpa 3 用液柱高度表示常用水柱高度或水银柱高度表示 一个工程大气压相应的水银柱高度为h 9 8 104 133 28 103 0 735mHg二 两种表示方法 1 绝对压强 设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强 称为绝对压强 总是正的 以p 表示 2 相对压强 以当地大气压作为压强的零点起算的压强值 称为相对压强 以p表示 二者关系 p p pa 相对压强可正可负 当流体中某点的绝对压强小于大气压时 流体中就出现了真空 以真空压度pv表示 即pv pa p p用液柱高度表示真空压强的大小 几种压强的关系 图示如下 例 一封闭水箱 见图 自由面上气体压强为85kN m2 求液面下淹没深度h为1m处点C的绝对静水压强 相对静水压强和真空度 解 C点绝对静水压强为C点的相对静水压强为相对压强为负值 说明C点存在真空 真空度为 思考题 1 如图所示的密闭容器中 液面压强p0 9 8kPa A点压强为49kPa 则B点压强为 在液面下的深度为 2 露天水池水深5m处的相对压强为 A 5kPaC 147kPaD 205kPa3 如图 下述两个静力学方程哪个正确 39 2kPa 3m B 49kPa 4 仅在重力作用下 静止液体中任意一点对同一基准面的单位势能为 A 随深度增加而增加C 随深度增加而减少D 不确定 5 试问图示中A B C D点的压强高度 测压管水头 以D点所在的水平面为基准面 A B C D 6 某点的真空度为65000Pa 当地大气压为0 1MPa 该点的绝对压强为 A 65000PaB 55000PaD 165000Pa B 常数 C 35000Pa 0m 6m 2m 6m 3m 6m 6m 6m 例 已知一圆筒型密闭容器 各部尺寸如图 已知压力表读数为19 5KN m2 空气比重为0 0012 油比重为0 85 水银比重为13 6 试求 1 A B C三点相对压强 2 容器底面所受总压力 三 静压强分布图静压强分布图 表示某个承压面上各点的静压强大小和方向的图 静水压强分布绘制原则 1 可根据基本方程来绘制静压强分布图 对于液面为大气压 并且计及相对压强时 p h 当 为常数时 静压强p只随深度h作线性变化 故只需绘出两端点的压强 连以直线即可 2 静水压强垂直于作用面且为压应力 静水压强分布图绘制规则 1 按照一定的比例尺 用一定长度的线段代表静水压强的大小 2 用箭头标出静水压强的方向 并与该处作用面垂直 受压面为平面的情况下 压强分布图的外包线为直线 当受压面为曲线时 曲面的长度与水深不成直线函数关系 故压强分布图外包线亦为曲线 判断 下列压强分布图中哪个是错误的 B 例 A B pa A B C A B C D A B O 第五节流体压强的量测 1 测压管 hA PA 2 U形管测压计 一根两端开口的U形玻璃管 管内可装水 酒精或水银等 不与被测流体相混 U形管一端与待测点处器壁小孔相通 另一端与大气通 如图 1 2为等压面 据流体静力学基本方程可得 pA a hmpA hm a或 3 U形管真空计 U形管测压计亦可测量流体中某点的真空压强 如图所示 pA Hgh2 1h1pAV Hgh2 1h1 汞柱 4 U形管压差 比压 计测量两点间的压强差 常用U形管内装有与待测流体不相混的某种流体 两端分别与两待测点A B处的器壁小孔连通 如图所示 由标尺量出 z h1p 即可求得A B两点的压差pA pB 如图所示 M N为等压pM pA h hm pN pB z h mhm得 pA pB z m hm将 z zB zA代入上式得pA pB zB zA m hm同除以 并移项得 很有用 请记住 1 压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强 2 判断 测压管内液柱的高度就是压强水头 3 在如图所示的密闭容器上装有U形水银测压计 其中1 2 3点位于同一水平面上 其压强关系为A p1 p2 p3B p1 p2 p3D p2 p1 p3 相对压强 错 C p1 p2 p3 4 如图所示A p0 paC p0 paD 无法判断5 如图所示的密封容器 当已知测压管高出液面h 1 5m 求液面相对压强p0 用水柱高表示 容器盛的液体是汽油 g 7 35kN m3 A 1 5mC 2mD 11 5m B p0 pa B 1 125m 6 如图所示水深相差h的A B两点均位于箱内静水中 连接两点的U形汞压差计的液面高差hm 试问哪个正确 1 2 7 如图所示两种液体盛在同一容器中 在容器侧壁装了两根测压管 试问图中所标明的测压管中水位对否 3 0 对 8 设水银压差计与三根有压水管相连接 已知A B C三点的高程相同 压差计水银液面的高程自左肢向右肢分别为0 21m 1 29m 1 78m 试求A B C三点的压强差 9 已知酒精的重度为8KN m3 h1为0 3m h为0 3m h2为0 25m 求A B压差 第六节作用在平面上的液体总压力 一 解析法如图 在受压平面上任取一点M 其淹没深度为h 围绕M点取一微小面积dA 其上的静水总压力dF hdA 整个受压面面积A上的液体总压力F 上式表明 作用在任意形状平面上的液体总压力等于该平面的淹没面积与其形心处静压强的的乘积 而形心处静压强即受压面平均压强 方向垂直指向受压平面由合力矩定理得 由惯性矩代入可得 由平行移轴原理得总作用力作用点为 注意 1 由于过形心C的惯性矩Ic为正值 故yD yc 即压力作用点低于形心 2 各种图形的Ic可查有关图表 3 对于非对称表面的x向位置 可以此方法推求 例 已知h 2m b 3m h1 1m 求闸门上的静水总压力解 hc yc h1 h 2 1 2 2 2A bh 3 2 6 m2 F hcA 9 8 2 6 117 6KNIC bh3 12 3 23 12 2yD yc IC yCA 2 2 2 6 2 1 6 2 17 m 二 图解法底边为水平的矩形受压平面应用图解法比较方便 设有承受液体总压力的水平底边矩形平面A B B A 该平面垂直于纸面 可以绘出矩形平面对称轴AB的静压分布图ABC dF pdA dF是以dA为底 以p为高柱体体积 F dF pdA 压强分布图体积 b即F b作用点通过压强分布图的形心 液体总压力作用线与矩形平面相交的作用点D称为压力中心 显然 在上述情况下 压力中心D距自由面的深度hD 2 3h 例 已知h 2m b 3m h1 1m 求闸门静水总压力解 1 2 h1 h1 h hF b 1 2 h1 h1 h hb 117 6kN设压力中心距自由面的深度Yd 则 yD 1 2 h1 h1 h h h1 h h 2 h1 1 2 h h 2h 3 h1 可解得yD 2 17m 思考题1 任意形状平面壁上静水压力的大小等于 处静水压强乘以受压面的面积 A 受压面的中心B 受压面的重心D 受压面的垂心2 垂直放置的矩形平板挡水 水深3m 静水总压力P的作用点到水面的距离yD为 C 受压面的形心 2m 3 如图所示 浸没在水中的三种形状的平面物体 面积相同 问 1 哪个受到的静水总压力最大 2 压力中心的水深位置是否同 4 挡水面积为A的平面闸门 一侧挡水 若绕通过其形心C的水平轴任转a角 其静水总压力的大小 方向和作用点是否变化 为什么 相同 不相同 大小不变 方向变 作用点变 5 某泄洪隧洞 在进口倾斜设置一矩形平板闸门 见图 倾角为600 门宽b为4m 门长L为6m 门顶在水面下淹没深度h1为10m 若不计闸门自重时 问沿斜面拖动闸门所需的拉力T为多少 已知闸门与门槽之间摩擦系数f为0 25 门上静水总压力的作用点在哪里 第七节作用在曲面上的液体总压力 如图 在曲上任取一点M 其淹没深度为h 围绕M点取一微小面积dA 作用在dA上液体总压力为dF pdA hdAdF垂直于dA 与水平方向成 角 将dF分解为水平分力dFx和铅直分力dFz 分别为 dFx dFcos pdAcos hdAcos hdAXdFZ dFcos pdAsin hdAsin hdAZ作用在整个曲面上的水平总分力作用在整个曲面上的铅直总分力 压力体应由下列周界面所围成 1 受压曲面本身 2 液面或液面的延长面 3 通过边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂面 的方向 当液体和压力体位于曲面的同侧时向下 当液体及压力体各在曲面的一侧时向上 当曲面为凹凸相间的复杂柱面时 可在曲面与铅垂面相切处将曲面分开 分别绘出各部分的压力体 总压力由二力合成定理 曲面所受总压力的大小为 总压力F的作用线应通过Fx与Fz的交点K 过K点沿F的方向延长交曲面于D D点即为总压力F在AB上的作用点 例 如图 弧形闸门 宽b 3m 半径r 2 828m 角度 45o 挡水高度h 2m 铰坐高度H 2m 求作用在弧形闸门上的静水总压力 解 水平分力FX hcAX 9 8 103 1 2 2 3 58 8 103N 铅直分力Fz V ABCb 360 r2 1 2rhcos b 33 52 103N总压力总压力与水平面夹角 arctan Fz FX arctan 33 52 103 58 8 103 30 XD rcos 2 828cos30 2 449mZD rsin 2 828sin30 1 414m 静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序 1 将总压力分解为水平分力Fx和垂直分力Fz 2 水平分力的计算 3 确定压力体的体积 4 垂直分力的计算 方向由压力体确定 5 总压力的计算 6 总压力方向的确定 7 作用点的确定 即总压力的作用线与曲面的交点 判断 下述结论哪一个是正确的 两图中F均为单位宽度上的静水总压力 Fx F2 Fx F2 思考题1 一贮水设备如图所示 在C点测得绝对压强为196120Pa h 1m R 1m 求作用于半球AB上的总压力 解 思考题2 如图所示 由上下两个半球合成的圆球 直径d 2m 球中充满水 当测压管读数H 3m时 不计球的自重 求下列两种情况下螺栓群A A所受的拉力 1 上半球固定在支座上 2 下半球固定在支座上 本章小结 水静力学的核心问题是根据平衡条件来求解静水中的压强分布 并根据静水压强的分布规律 进而确定作用在平面及曲面上的静水总压力 水静力学研究的静止状态 指的是流体内部任何质点以及流体与容器之间均无相对运动 本章主要学习以下内容 1 流体静压强的两个特性 2 压强的表示方法 a 压强可分为绝对压强 相对压强和真空值 b 可用应力单位 液柱高和大气压表示压强大小 3 等压面的概念 只有重力作用下的静止流体的等压面为水平面应满足的条件是相互连通的同一种连续介质 4 流体平衡微分方程 5 静压强的分布重力作用下静压强的分布 6 平面上流体静压力 1 解析法 2 图解法 7 曲面上流体静压力与平面上求解总压力的计算方法相同V 压力体的体积 压力体的组成 1 受压曲面本身 2 通过曲面周围边缘所作的铅垂面 3 自由液面或自由液面的延长线 测试题 1 静止液体中存在 a 切应力b 压应力c 切应力和压应力d 压应力和拉应力2 相对压强的起点是 a 绝对真空b 一个标准大气压c 当地大气压d 液面压强3 金属压力表的读数值是 a 绝对压强b 相对压强c 绝对压强加当地大气压d 相对压强加当地大气压4 静止流体中任意一点的压强与 无关 a 点的位置b 作用面的方向c 流体的种类d 重力加速度5 U形水银测压计测A点压强 A点的真空值是 a 63 70b 69 583c 104 37d 2606 静止的水仅受重力作用时 测压管水头线必为 a 水平线b 直线c 斜线d 曲线 7 图示容器内盛有两种不同的液体 密度分别为 则有a b c d 8 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是 a 压强 速度和粘度b 流体的粘度 切应力与角变形率c 切应力 温度 粘度和速度d 压强 粘度和角变形 9 如图 在两块相距20mm的平板间充满流体粘度为0 065 Pa s 的油 如果以1m s速度拉动距上平板5mm 面积为0 5m2的薄板 不计厚度 求需要的拉力 10 矩形平板一侧挡水 与水平面夹角 30度 平板上边与水面齐平 水深h 3m 平板宽b为5m 试求作用在平板上的静水总压力 11 如图一个挡水二向曲面AB 已知d 2m h1 1m h2 4m 曲面宽b 1 5m 求总压力的大小和方向 第3章流体运动学流体运动学研究运动要素随时空的变化情况 建立它们之间的关系式 并用这些关系式解决工程上的问题 本章先建立流体运动基本概念 然后依据流束理论从质量守恒定律出发建立连续性方程 为了进一步深入分析流体的运动形态 还需要分析流场中流体微团运动的基本形式 第一节流体运动的描述方法分为拉格朗日法和欧拉法一 拉格朗日法把流体的运动看成由无数个流体质点运动的总和 用质点起始坐标 a b c 作为质点的标志 任意时刻质点的位置坐标是起始坐标和时间变量的连续函数 x x a b c t y y a b c t z z a b c t 式中a b c t称为拉格朗日变数 流体质点的速度 ux x t x a b c t tuy y t y a b c t t 3 1 uz z t z a b c t t 加速度二 欧拉法以流动的空间作为研究对象 观察不同时刻各空间点 x y z 上流体质点的运动情况 液体运动的空间称为流场 通常流速是空间坐标 x y z 和时间t的函数 u u x y z t ux ux x y z t uy uy x y z t 3 2 uz uz x y z t 同样 a a x y z t p p x y z t 三 流体质点的加速度 质点导数 质点加速度必须按复合函数求导数的法则求导 类似地有 ay az 式中第一项叫时变加速度或当地加速度 第二项叫位变加速度或迁移加速度 注意 恒定流时时变加速度为零 均匀流是迁移加速度为零 第二节欧拉法的基本概念 一 流动的分类1 恒定流和非恒定流以时间为标准 若各空间点上的运动要素 速度 压强 密度等 皆不随时间变化的流动称为恒定流 反之称为非恒定流 对于恒定流 流场方程为p p x y z t x y z t 3 3 物理量的时变导数为零 即 A t 0 恒定流的欧拉变数少了时间变量t 使问题求解大为简化 在实际工程中 常把运动参数随时间变化缓慢的流动按恒定流处理 以求简化 2 一元 二元 三元流以空间为标准 若各空间点上的运动参数 主要是速度 是三个空间坐标的和时间变量的函数 如称三元流动 若运动参数在该平面的垂直方向无变化 设该平面图为XOY 则流动是二元流动 如水流绕过很长的圆柱流动忽略两端的影响 则流动可视为二元流动 若运动参数只是一个空间坐标的函数 则称一元流动 v v x t 3 均匀流和非均匀流若迁移加速度为零 即 则流动是均匀流 均匀流的流线是平行的直线 反之称非均匀流 均匀流具有以下特性 均匀流的过流断面为平面 且过流断面的形状和尺寸沿程不变 均匀流中 同一流线上不同点的流速应相等 恒定均匀流过流断面上的动压强分布规律与静压强分布规律相同 即同一过流断面上各点测压管水头为一常数 1 渐变流流线虽然不是平行直线 但几乎近于平行直线 2 急变流流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小 注意 渐变流动压强服从静压强分布 而急变流动压强分布特性复杂 通常边界近于平行直线时 流体往往是渐变流 管道转弯 断面突扩或收缩 为急变流 思考题 1 只有当过流断面上各点的实际流速均相等时 水流才是均匀流 该说法是否正确 为什么 2 恒定流 均匀流等各有什么特点 不对 均匀流是指运动要素沿程不发生改变 而不是针对一过流断面 恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化 恒定流时流线迹线重合 且时变加速度等于0 均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化 均匀流时位变加速度等于0 1 在水位恒定的情况下 加速度如何 2 在水位变化的情况下 加速度如何 问题 均匀流是 A 当地加速度为零C 向心加速度为零D 合加速度为零 B 迁移加速度为零 例3 1 已知速度场为 1 t 2s时在 2 4 点上的加速度是多少 2 恒定流还是非恒定流 3 均匀流还是非均匀流 解 1 得ax 4m s2类似地可求得ay 6m s2 2 速度场随时间变化 所以是非恒流 因为 3 无迁移加速度 所以是均匀流 二 流管过水断面 元流和总流 1 流管 流束在流场中任取不与流线重合的封闭曲线 过曲线上各点作流线 所构成的管状表面称为流 流管内的液流称为流束 因为流线不能相交 所以流体不能由流管壁出入 对于恒定流流管 流束不随时间变化 2 过流断面在流束上与流线正交的横断面称为过水断面 流线相互平行时 过流断面是平面 否则是曲面 3 元流和总流元流是过流断面无限小的流束 元流断面上各点的运动参数 如z u p均相同 总流是过水断面为有限大的流束 是由无数元流构成 断面上的运动参数一般情况下是不相同的 4 流量 断面平均流速 1 流量 单位时间通过某一过流断面的流体体积称为体积 质量 流量 通常所说的流量一般指体积流量 用Q表示 质量流量用Qm表示 对于均质不可压缩的流体 密度为常数 则质量流量为 3 4 2 断面平均流速定义 如果过流断面上各点的流速都等于 此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等 则流速 就称为断面平均流速 3 5 3 6 3 7 而质量流量 或 三 流线和迹线 1 流线的概念流线是某一确定时刻在流场中所作的空间曲线 上每一点处质点在该时刻的速度矢量 都与曲线相切2 流线的性质一般情况下流线不相交 恒定流时 流线的形状和位置不随时间而改变 恒定流时流体质点运动的迹线与流线相重合 流线簇的疏密反映了速度的大小 3 流线方程设m为流线上的一点 流速为u 沿流线方向取一微元段dr x y z轴分量分别为ux uy uz和dx dy dz 根据流线定义有 则流线方程为 3 8 4 迹线某一流体质点在运动过程中 不同时刻所流经的空间点连成的线称为迹线 即流体质点运动时所走过的轨迹线 式中 时间t是自变量 而x y z是t的因变量 3 9 则迹线方程为 例3 2 已知速度场 2 迹线方程及t 0时过 0 0 点的迹线 解 1 流线微分方程 积分得 所得流线方程是直线方程 不同时刻 t 0 1 2 的流线是三组不同斜率的直线族 如图所示 2 迹线方程积分得 y 由t 0 x 0 y 0 确定积分常数 c1 0 c2 0得再消去t 即得t 0且过 0 0 点的迹线方程为 因为uy是时间t的函数 所以本流动为非恒定流 因此流线与迹线不重合 思考题 已知流体的速度分布为 求t 1时过 0 0 点的流线及t 0时位于 0 0 的质点轨迹 流体运动亦必须遵循质量守恒定律 1 流体的连续性微分方程在流场中取微小直角六面体 六面体的各边分别与直角坐标系各轴平行 边长分别为dx dy dz M点坐标假定为x y z 在某一时刻t M点的流速为u 密度为 则dt时间内 X向流出与流入微小六面体的质量差 即X向净流出质量为 第二节流体运动的连续性方程 同理 Y Z向净流出为 dt时间内六面体的总净流出质量为 C dx 根据质量守恒原理 dt时间内六面体的总净流出质量等于该六面体内由密度变化而变化的质量 即对于均质不可压缩流体 常数 上式化简为 化简得 3 11 3 10 例3 3 已知试求满足连续性方程的uz表达式 思考题 已知试问流动是否满足连续性条件 2 有二种的二元液流 其流速可表示为 1 ux 2y uy 3x 2 ux 0 uy 3xy 试问这两种液流是不可压缩流吗 解 1 符合不可压缩流的连续性方程 是不可压缩流 2 不符合不可压缩流的连续性方程 所以不是 3 已知不可压缩流体运动速度u在x y两个轴方向的分量为ux 2x2 y uy 2y2 z且z 0处 有uz 0 试求z轴方向的速度分量uz 解对不可压缩流体连续性方程为将已知条件代入上式 有4x 4y 0即积分可得uz 4 x y z f x y 又当z 0时 uz 0 故有f x y 0因此uz 4 x y z 2 总流的连续性方程断面平均流速沿流向如何变化 用质量守恒定律来分析 如右图所示 在dt时段内 流进1 1断面的流体质量为流出2 2断面的流体质量为根据质量守恒定律得 消去dt得此即可压缩流体恒定流的连续性方程 当流体为不可压缩时 则此即不可压缩流体恒定流的连续性方程 显然 沿任一元流 上述方程也成立 即可压缩流体 3 13 3 12 或 或 不可压缩流体 3 11 3 12 3 14 都是不可压缩恒定流连续性方程式的各种形式 方程表明 在不可压缩流体一元流动中 平均流速与断面积成反比 推广到任意断面 3 14 3 15 流速之比与断面积成反比 连续性方程确立了总流各断面平均流速沿流向的变化规律 只要总流流量已知 或任一断面的流速已知 即可由连续性方程确定任一断面的平均流速 3 16 分叉流的总流连续性方程或 qv1 qv2 qv3问题 变直径管的直径d1 320mm d2 160mm 流速 1 1 5m s 2为 A 3m sB 4m sD 9m s C 6m s 断面为 50 50 cm2的送风管 通过四个 40 40 cm2的送风口 a b c d 向室内输送空气 送风口气流平均速度均为5m s 求通过送风管1 1 2 2 3 3各断面的流速和流量 解 每一送风口流量第断面流量 例3 4 第断面流速 1 空气以平均速度v0 2m s流入断面面积为40 40cm2的送风管 然后经四个断面面积为10 10cm2的排气孔流出试问每排气孔的平均出流流速为 A 8m sB 4m sC 2m sD 1m s2 恒定流指的是 A 物理量不变流动 B 各空间点上物理量不随时间变化流动 C 空间各点物理量相同的流动 D 无粘性的流动 思考题 第四节有旋运动和无旋运动判断有旋运动和无旋运动 第四章理想流体动力学和恒定平面势流 任务 运动规律及工程中应用 理想流体的动压强特点 总是沿着作用面的内法线方向 大小与其作用面的方位无关证明 根据 4 1 第一节欧拉运动微分方程 在运动理想流体中取一微小平衡六面体 三个边长dx dy dz O 为微小平行六面体的中心 其速度为u 压强为p 单位质量力的分力分别为X Y Z 表面力 质量力 根据得 y 化简得 上式即是理想流体运动微分方程式 又称为欧拉运动微分方程式 方程含ux uy uz p4个未知量 联立连续性方程式即可求解 4 2 例 4 1 理想流体速度场为 1 流动是否可能 2 流线方程 3 等压面方程解 1 满足连续性方程 流动可以实现 2 由得积分得当a b同号为双曲线 当a b异号为椭圆 3 不计质量力X Y Z 0 由欧拉运动微分方程得 上式分别乘以dx dy 相加得 积分得令p 常数 即得等压面方程等压面是一组以坐标原点为中心的圆 第二节理想流体恒定元流的伯努利方程 一 理想流体元流的伯努利方程流体运动微分方程式为 将上式分别乘以dx dy dz 相加得 A 设流动满足以下条件 1 作用在流体上的质量力只有重力 Xdx Ydy Zdz gdz a 2 不可压缩流体均质流动 p p x y z 即3 恒定流 流线与迹线重合 则 将式 a b c 代入 A 式或 对于同一流线上的任意两个点 4 3 上式即是元流的伯努利方程 其应用条件是 1 理想流体 2 恒定流动 3 质量力只有重力 4 沿元流 流线 5 不可压缩均质流体 二 伯努利方程的意义1 几何意义 Z 位置高度 又称位置水头 理想流体的伯努利方程表明沿同一元流上 沿同一流线 各断面的总水头相等 总水头线是水平线 2 能量意义 Z 单位重量液体所具有的重力势能 位能 沿同一元流 流线 单位重量流体机械能守恒 例4 2 有一贮水装置如图所示 贮水池足够大 当阀门关闭时 压强计读数为2 8个大气压强 而当将阀门全开 水从管中流出时 压强计读数是0 6个大气压强试求当水管直径d 12cm时 通过出口的体积流量 解当阀门全开时列1 1 2 2截面的伯努利方程当阀门关闭时 根据压强计的读数 应用流体静力学基本方程求出H值 则 代入到上式所以管内流量 m3 s 三 伯努利方程的应用 毕托管测量点流速 应用伯努利方程 通过测量点压强的方法间接地测出点速度的大小 如图 列A B点伯努利方程加系数C修正 4 4 4 4 四 由动能定理推导理想流体恒定元流的伯努利方程设不可压缩无粘性恒定元流如图所示 在元流上 取1 2两断面 其高程 面积 流速和压强分别为z1 dA1 u1 p1 和z2 dA2 u2 p2 考察1 2断面元流段的流体 经dt时段后流至1 2 位置 在这个时段内 外力对元流段做的功应等于动能的增加 即w外 Eu 作用在元流段上的外力做功有 侧面上压力 因与位移正交而不做功1 1断面的压力做正功2 2断面的压力做负功重力做功 1 1 段重量为的流体由1 1 移至2 2 过程中重力做功为因此外力总做功 重力做功 压力做功 元流段动能增加 因是恒定流1 2段的动能不变 故动能增加即等于2 2 与1 1 动能的差 即由功能原理得 方程两边同除以dt 并按脚标分列等式两边 4 5 上式称为总能量方程 表示全部流量能量平衡方程 将上式除以 得单位重量的能量方程 或简称为单位能量方程 这就是理想不可压缩流体恒定元流能量方程 或称伯努利方程 推广到元流的任意断面 4 6 常数 4 7 第五章实际流体的动力学基础 第一节粘性流体的运动方程 N S方程1 运动微分方程 2 动水压强 3 应用条件 牛顿流体 均质不可压缩流体 第二节恒定元流的伯努利方程 能量方程 实际流体具有粘性 流动时 粘性流体克服阻力作功而消耗了一部分流体自身的机械能 产生能量损失 也叫水头损失 设流体由1 1断面流到2 2断面的单位重量的能量损失为hw 则粘性流体元流的伯努利方程可写为 5 1 第三节恒定总流的伯努利方程 能量方程 将元流伯努利方程的各项在整个总流断面上积分 可得总流的伯努利方程 要积分就得知道各种能量在整个断面上的分布规律 一 渐变流及其性质1 定义 质点迁移加速度很小 流线近似是平行的直线的流动 2 渐变流性质 a 过水断面近于平面 断面上各点速度方向近于一致 b 恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强规律分布 即断面上势能为常数 证明 在均匀流或渐变流中任一断面取微小柱体 其轴向为n 与重力方向交角为 柱体两端面高程为z1和z2 压强为p1 p2 作用在液柱上的力在n向的分力 1 液柱自重在n向分力 2 液柱两端水压力在n向分力 液柱侧面水压力正交于n轴 无分力 液柱侧面与流向正交 无切向力 因此n向的力平衡方程式为 即 或 恒定均匀流或渐变流断面上压强分布与静水压强分布规律近似相同 1 求图中A点压强 例5 1 求图5 1中A点压强 解 A B同静压分布 例5 2 求A点压强 解 A B C同静压分布 注意 A E D压强相等吗 二 总流的伯努利方程假定总流为恒定流 过流断面1 1 2 2为渐变流断面 其面积分别为A1 A2 在总流内任取一元流 相应的微元面积 位置高度 压强分别为dA1 z1 p1 u1和dA2 z2 p2 u2 由元流的伯努利方程得 0 以乘以上式 即得单位时间通过元流两过流断面的能量关系 对总流过流断面进行积分 式中出现三种积分 处理如下 式中 是考虑到断面平均速度计算的动能与实际动能的差异而引入的动能校正系数 势能积分 动能积分 取决于过流断面上的流速分布情况 水头损失积分为总流单位重量液体由第一个断面流到第二个断面的平均机械能损失 称总流的水头损失 以上三种积分结果代入原式 经化简得此即粘性流体的恒定总流的伯努利方程 5 2 如用表示断面全部单位机械能 则断面间能量方程可表示为 三 总流伯努利方程的应用条件恒定流 只有重力 不可压缩 渐变流断面 无分叉 无外加能量等 四 总流伯努利方程的意义能量均指断面上的单位重量流体所具有的平均能量 是过流断面上单位重量流体的平均势能 又称测压管水头 对于渐变流断面则等于常数 可取断面上任一点为代表 过流断面上单位重量流体的平均机械能 又称总水头 五 实际流体恒定总流能量方程的图示实际流体恒定总流能量方程中共包含了四个物理量 位置水头Z 平均压强水头 流速水头 水头损失 称为测压管水头 流体力学中 习惯把单位重量流体所具有总机械能称为总水头用表示 实际流体恒定总流各项水头沿程变化可用几何曲线表示 称为相应的各种水头线 实际流体总流的总水头线和测压管水头线 实际流体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线 而测压管水头线则可能下降 也可能上升 甚至可能是一条水平线 总水头线坡度 总水头线沿流程的降低值与流程长度之比 也称水力坡度 常用J来表示 恒正 测压管水头线坡度 可正可负 注意 1 理想流动流体的总水头线为水平线 2 实际流动流体的总水头线恒为下降曲线 3 测压管水头线可升 可降 可水平 4 若是均匀流 则总水头线平行于测压管水头线 5 总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头 能量方程的解题步骤 三选一列 1 选择基准面 基准面可任意选定 但应以简化计算为原则 例如选自由液面 p 0 2 选择计算断面 计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面 并且应选取已知量尽量多的断面 3 选择计算点 管流通常选在管轴上 明渠流通常选在自由液面 同一方程必须采用相同的压强 4 列能量方程解题注意与连续性方程的联合使用 思考题 实际流体在等直管道中流动 在过流断面1 2上有A B C点 则下面关系式成立的是 A C D B 第四节能量方程的应用 例5 3 如图 以d 100mm的水管从水库引水 已知H 4m 恒定 水头损失为hw 3mH2O 求qV 解 以过管出口中心的水平面为基准面 列1 1与2 2的能量方程 v1 0 v2待求取 将各项代入伯努利方程得 例5 4 文透里流量计 d1 100mm d2 50mm 文透里流量系数 求qv 解 以0 0为基准面 列1 1与2 2能量方程 略去水头损失项 再由连续方程式中 K取决于流量计的结构尺寸 称为仪器常数 本题可算k 0 009 m2 5 s 考虑水头损失影响 若改用水银压差计 设读数差为 H 则以代入计算即可 第五节有能量输入 出 的伯努利方程水泵扬程 水泵对单位重量流体所做的水功 即单位重量流体经过水泵后所增加的能量 以H表示 对水池断面1 1与水箱断面2 2列能量方程为 5 3 水泵提供的能量用来增加水能和克服阻力做功 第六节恒定流动量方程在方程中 有时需要求解液流对边界的动水作用力 如镇墩 消灭枪喷头等 这类力不同于静水压力 不能用静水压力公式计算 而且边界上的压强分布复杂 也不能用能量方程求解 但可以用动量方程求解 水力学的动量方程可以用物理学中的动量方程推导 动量定律 作用在物体上的冲量等于这个物体动量的增量 即式中 动量如图 在恒定流中取渐变流断面1 1 2 2为控制断面 经dt后1 2水体流至1 2 因是恒定流 1 2段动量不变 故 而同理这就是恒定总流的动量方程 它表明作用于液流上的合外力等于液体单位时间内动量增量 5 4 式中 总流动量方程是一个矢量方程式 在直角坐标系中的影形式为 5 6 5 5 动量方程的解题步骤1 选控制体 两个渐变流断面之间的水体 2 选坐标系 选定坐标轴的方向 确定各作用力及流速的投影的大小和方向 3 作计算简图 分析受力 标出全部作用力的方向 4 列动量方程解题 将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方程求解 计算压力时 压强采用相对压强 注意与能量方程及连续性方程联合使用 对于分叉水流 如图动量方程应用条件 恒 渐