极射赤平投影中的数学方法.docx

1997 年 9 月Geological Jo ur nal of China U niversitiesSep t . ,1997极射赤平投影中的数学方法钱辉董火根陈楚铭(南京大学地球科学系)摘 要 本文提供了严格依据赤平投影原理并利用空间解析几何知识推导出的公式计算方法 ,可以写出已知产状的线或面的赤平投影方程 ; 也能计算两线所共的面 、两面的 交线 、线或面之间的夹角以及它们的平分线或平分面 ; 可以进行真倾斜和视倾斜的换 算 、倾斜和侧伏的换算 ;模拟线面绕轴的旋转以及恢复节理的原始产状 ; 最后阐述用计 算机进行节理统计和绘制极点等密图的原理 。所用到的向量表示方法直观地表达了相 关构造要素之间的空间关系 , 可用于计算机辅助教学 , 也能用于生产实践 , 精度可达0101。关键词 赤平投影 向量表示 空间解析几何 坐标变换 节理统计 三角网 等值 线 等密图分类号 P628赤平投影应用十分广泛 ,如褶皱断裂构造分析 、应力场分析 、节理统计分析等 。但由于使用的投影网 吴氏网的精度仅达 2,手工作图误差又难免 ,因此结果很不准确 。公式计算 已有前人做过尝试 (毛健全等 ,1981) 1 ,但没有体现产状和坐标各分量之间的联系 。本文将产状和平面坐标的两个分量均用圆括号括起 ,向量的三个分量用大括号括起 ,将作为整体进行操作和计算 。为了统一起见 ,约定使用的二维坐标 x 轴向右 ,y 轴向下 ,这与计算机屏幕坐标是一致的 ,若已知二维世界坐标为 ( x ,y) ,其中 x 和 y 的范围均为- 1 ,1 ,则变换为屏幕坐标应为 ( x0 +r0 3 x ,y0 + r0 3 y) ,其中 ( x0 ,y0) 为屏幕中心位置 , r0 为显示范围 。约定使用的三维右手坐标系 x 轴向右 ,y 轴向外指向我们 ,z 轴向下 ,这与刚约定的二维坐标是相对应的 。约定使用的球 面坐标系半径为 1 的单位球 ,两角度分量为 ( d , a) , 与产状的定义一致 : - y 方向为正北 N , a 定义为某点与其水平面投影在原点处的夹角 ,向下为正 ; d 定义为该投影点相对于正北 N 的 顺时针方位角 ;约定圆心角 a d 的定义为相对于 x 轴正向的逆时针角距 ,二者的换算关系为a d = 90- d 。约定 x / y 的反正切函数使用 atan2 ( x , y ) ,它根据 x 和 y 的正负关系返回范围 为 ( - 180,180) 的角度值 ; x 的平方根用函数 sqrt ( x ) 求得 。平面的产状约定用倾向的方位角和倾角来表示 ; 直线的产状约定用倾伏向的方位角和倾伏角表示 ;侧伏用侧伏向的方位角和侧伏角表示 。它们形式上都为 ( d , a) , 且意义与球坐标中 的 ( d , a) 一致 。其中 d 的范围是 0, 360) , a 的范围是 0, 90; 若计算中出现 a 0的情况 ,本文 1996 年 11 月收到 ,1997 年 1 月改回 。第一作者简介 :钱 辉 ,男 ,1974 年 2 月生 ,南京大学地球科学系构造与地球物理专业硕士研究生 ,研究方向 为盆地构造的计算机模拟 。通讯地址 :南京大学地球科学系 ,210093 。3 期钱 辉等 :极射赤平投影中的数学方法329表明产状不再向下倾 , 而是向上翘 , - a 是它翘起的角度 , d 是它翘起位置的方位角 , 由这个条件可知它的下倾端的产状为 ( d 180, - a) , 事实上可用它作为 a 90则经常出现在侧伏的计算中 , 应该用 ( d 180, 180- a) 进行校正 , 称为侧伏校正 。方 位角一般用 d 360校正至 0, 360) , 称为方位角校正 。直线和平面的向量表示直线和平面的向量表示实际上是把约定的球面坐标变换为约定的三维坐标 ,由于单位球 半径为 1 ,因此得到的向量均为单位向量 。111已知产状为 ( d , a) 的直线 ,求其向量表示如图 1 所示 ,取直线 OA 与单位球的交点 A 作 xOy 水平面投影得 A,可知投影半径 OA 的长度为 co s ( a) ,向量的 z 分量为 sin ( a) ,再根据投影半径的方位角 d 与 x ,y 轴的关系 ,可知其向量表示为co s ( a) 3 sin ( d) , - co s ( a) 3 co s ( d) ,sin ( a) ;若已知直线上某点的向量表示为 x , y , z ,则该直线的产状表示不难知道是 ( atan2 ( x , - y ) ,atan2 ( z , sqt r ( x 3 x + y 3 y ) ) ) ,必要时进行对跖校正 。112已知产状为 ( d ,a) 的平面 ,求其向量表示一般用其法线表示 ,法线产状为 ( d 180, 90- a ) ,则所代表的平面向量表示为 - sin( a) 3 co s ( d) ,sin ( a) 3 co s ( d) ,co s ( a) ; 反过来 ,若已知平面法线为 x , y , z ,则平面产状应 为 (atan2 ( - x , y) ,atan2 s qrt ( x 3 x + y 3 y ) , z ) ) , 但有时为了方便也用平面的倾向线 ( d , a)来表示 。由于向量坐标各分量都是连续变化的 ,因此向量表示解决了产状表示中方位角 360到 0 的跃变产生的问题 。一般在遇到产状角度分量加减运算时 ,先应转换为相应的向量运算 ,然后 把结果变换为角度表示即可 。1直线和平面的赤平投影表示这是化空间为平面 、化三维为二维的投影变换 。先明确一下赤平投影的定义 :把构造要素 移至通过球心的位置 ,记录它与单位球面的交点 ,从球顶向这些交点发射线形成的 xOy 赤道 水平面投影称极射赤平投影 。一般我们只对下半球进行投影 ,这样可保证投影在赤道大园的 内部 ,也称之为赤平投影 。211 已知产状为 ( d , a) 的直线 ,求其赤平投影如图 2 所示 ,在直线 OA 、铅垂线 PO 和投影射线 PA 构成的等腰三角形中 ,顶角 POA 为90+ a ,则两底角 P , A 均为 45- a/ 2 ,可知在 xOy 面中投影半径 OA为 t g (45- a/ 2) ,投 影点坐标为 ( t g (45- a/ 2) 3 sin ( d ) , - t g (45- a/ 2) 3 co s ( d ) ) ;反过来 ,若已知直线赤平投影为( x ,y) ,则直线产状为 (atan2 ( x , - y) ,90- 2 3 atan2 ( sqrt ( x 3 x + y 3 y ) ,1) ) ; 也可以用解 析几何求解 :求点 P0 ,0 , - 1和被投影点 Aco s ( a) 3 sin ( d ) , - co s ( a ) 3 co s ( d ) , sin ( a) 的 连线与平面 z = 0 的交点 A,结果为co s ( a) / ( sin ( a) + 1) 3 sin ( d ) , - co s ( a) / ( sin ( a) + 1) 3 co s ( d) ,0 ,其中 co s ( a) / ( sin ( a) + 1) 等价于 t g (45- a/ 2) 。212 已知产状为 ( d , a) 的平面 ,求其赤平投影表示如图 3 所示 ,平面 CAD 与球面交成一大圆 ADBC ,不难证明其赤平投影 ADBC 仍是一个2 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 330高 校 地 质 学 报3 卷圆 ,倾向线 OB ( d 180, - a) 和 OA ( d , a) 的投影 B,A是投影大圆直径的两端点 ,从而推知大圆圆心为 ( - t g ( a) 3 sin ( d ) , t g ( a) 3 co s ( d ) ) ,半径为 1/ co s ( a ) ,而它的下半球赤平投影CAD 是一段圆弧 ,按圆弧逆时针方向其起点和终点分别为 C ( d + 90,0) 、D ( d - 90,0) ,在大圆中的圆心角分别为 a - d 和 180-d 的方位角校正 。a -图 1 直线的向量表示Fig. 1 Vector measurement of lineOA 是已知产状( d , a) 的直线 ,OA 线段长为 1 ;A 在 水平面 xOy 上的投影为 A xA ,yA ,zA是其向量表示。图 2 直线的赤平投影表示Fig. 2 Polar stereograp hic p rojectio n of line P 为球顶极点 ;A 为直线与下半球面的交点 ;A为 极射线 PA 与赤道平面的交点 ;OA长为投影半径。该圆弧的弦是赤道大圆 (基圆) 的一条直径 。a = 0时 ,大圆弧变为半个基圆 ; a = 90时 ,半径无穷大 ,其赤平投影变为基圆的一条直径 。若知道大圆弧的弧顶代表的产状 ,相当于知道了 倾向线的产状 ,也就是平面产状 。213已知侧伏为 ( d , a) 的锥面 ,求其赤平投影表示如图 4 所示 ,锥面 O ABCD 以球心 O 为锥顶 , ( d , 0) 为轴心 , a 为锥顶角 。可知在以 d 为走向的平面上侧伏为 ( d , a) 的直线必是锥面的母线 。锥面 O ADBC 与球面交成一直立小 圆 ADBC ,它的赤平投影也是一小圆 ADBC ,锥面的上下母线 OB ,OA 的赤平投影 B,A为该 圆直径两端点 ,它们的产状分别为 OB ( d , - a ) 和 OA ( d , a ) , 从而推知圆心为 ( sin ( d ) / co s( a) , - co s ( d) / co s ( a) ) ,半径为 t g ( a) 。直立小圆的下半球投影是一圆弧 CAD ,按其逆时针 方向 ,起点和终点分别是 C ( d - a ,0) 和 D ( d + a ,0) ,在小圆中的圆心角分别为 180- d + a和 - d - a 的方位角校正 。当 a = 0时 , 圆弧变为基圆上一点 ; a = 90时 , 半径无穷大 , 圆弧变为基圆的一条直径 。小 圆弧的弧顶产状是下母线的产状 , 也是侧伏的产状 。由这些方程就可以构织吴氏网了 :它是由产状为 ( 90, 2k ) , ( 270, 2k ) 的平面组和产状为( 0, 2k ) , ( 180, 2k ) 的侧伏锥组的赤平投影形成的 , 其中 k = 0 , 1 , 2 , 45 ; 当 k = 45 时 , 相应的赤平投影分别为 N S 和 EW 直径 。同样由这些方程 , 我们很容易证明吴氏网中任意大小圆弧必互相垂直相交的性质 。向量实现赤平投影的原理很繁杂的赤平投影操作可用很简单数学语言来表达 。假设以下用到的向量都是单位向 量 ,用大写字母 N 表示 ,若不是单位向量 ,用 M 或 R 表示 : 两线 N1 ,N2 所共平面的法线为二 者的叉积 N1 N2 ;法线为 N1 ,N2 的两平面的交线也是二者的叉积 N1 N2 ;两线的内角平分3 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 3 期钱 辉等 :极射赤平投影中的数学方法331图 3 平面的赤平投影表示Fig. 3 Polar stereograp hic p rojectio n of plane P 为球顶极点 ; 弧 CAD 为已知平面与下半球的交 线 ;弧 CAD 是它的赤平投影 ;B , A 分别为平面倾 向线与上下半球面的交点 ;B,A分别为二者的极 射投影 ,它们决定了圆弧 CAD 。图 4 侧伏锥的赤平投影Fig. 4 Polar stereograp hic p rojectio n of pitchP 为球顶极点 ; 锥面 ADBC O 为侧伏锥 ; OB , OA 分别 是它的上下母线 ; 弧 CAD 是它与下半球面的交线 ; 弧 CAD 是小圆弧的赤平投影 ; 锥面上下母线的赤平投影 B,A决定了小圆弧圆心和半径。线为 N1 + N2 ,外角平分线为 N1 - N2 ,二者的内夹角为点积的反余弦 arcco s ( N1N2) ,它们平分面的法线为 ( N1 + N2) ( N1 N2) 。311 真倾斜和视倾斜的换算31111 已知真倾斜和视倾向 ,求视倾角设已知真倾斜的平面的法线为 N ,以 d 为走向直立平面的法线为 ( d 90,0) ,其向量表 示为 N2 ,则视倾斜是两平面的交线 N N2 。如已知产状为 15040的层面上有 216方向的擦痕 ,求擦痕的产状和倾角 。层面的法线为 33050,它的向量表示为 - 0 . 3214 , - 0 . 5567 ,0 . 7660 ; 216/ SE 90直立面的法线为1260,它的向量表示为 0 . 8090 , 0 . 5878 , 0 . 0000 , 两向量的叉积为 - 0 . 4503 , 0 . 6197 ,0 . 2614 ,对应的擦痕产状为 216 . 0018 . 84,即倾角为 18 . 84。31112 已知两视倾斜为 N1 ,N2 ,求真倾斜因为它们所共的面的法线为 N1 N2 ,可以求出平面的产状 ,也就是真倾斜 。 如测得某岩层面上两裂隙线产状为 34030和 5070,求岩层面产状 。两裂隙的向量表示为 - 0 . 2962 , - 0 . 8138 ,0 . 5000和 0 . 2620 , - 0 . 2198 ,0 . 9397 ,它们的叉积是层面的法线 - 0 . 6548 ,0 . 4093 ,0 . 2783 ,对应的层面产状为 57 . 9970 . 18。312 倾斜和侧伏的换算31211 已知真倾斜 ( d , a) 和视倾向 d1 , 求视倾斜的侧伏由 31111 可知视倾斜线为 N1 ,设平面的走向线 ( d - 90,0) 的向量表示为 N2 ,则二者之 间的夹角 arcco s ( N1N2) 是侧伏角 ,相应侧伏为 ( d - 90,arcco s ( N1N2) ) 的侧伏校正 。就 31111 的示例 ,求擦痕的侧伏 。擦痕的单位向量表示为 - 0 . 5563 ,0 . 7657 ,0 . 3230 ,似乎与 31111 矛盾 ,其实二者方向完全相同 ,只是模相差一个乘积因子 。走向线 600的向量 表示为0 . 8660 , - 0 . 5000 ,0 . 0000 ,两个向量的点积等于 - 0 . 8645776 ,反余弦为 149 . 83,侧 伏校正后侧伏向为 240 . 00,侧伏角为 30 . 17。已知真倾斜为 N ,视倾斜的侧伏为 ( d , a) ,求视倾斜的产状31212 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 332高 校 地 质 学 报3 卷如图 5 所示 ,设走向线 ( d ,0) 的向量表示为 N2 ,则视倾斜 N1 在 N 方向的分量 OB 为 sin( a) 3 N ,在 N2 方向的分量 OA 为 co s ( a) 3 N2 ,所以视倾斜应为 sin ( a) 3 N + co s ( a) 3 N2 。 如在倾斜为 11060的层面上有一侧伏为 N E 50的岩脉 ,求岩脉的倾斜 。把侧伏表示为 2050,真倾斜的向量表示为 0 . 4699 , 0 . 1710 , 0 . 8660 , 乘以 sin ( 50) 得到 0 . 3599 ,0 . 1310 ,0 . 6634 ;走向线 200的向量表示为 0 . 3420 , - 0 . 9397 ,0 . 0000 ,乘以 co s ( 50) 得 到0 . 2198 , - 0 . 6040 ,0 . 0000 ,最后相加得0 . 5798 , - 0 . 4730 ,0 . 6634是视倾斜的向量表示 ,由此可知岩脉产状为 50 . 7941 . 56。313 线绕轴的旋转和节理原始产状的恢复31311 求直线 N1 绕轴 N0 顺时针旋转 a 角得到的 N2如图 6 所示 ,设直线 N1 绕轴 N0 旋转得一圆锥 ,先求得直线 N1 绕轴 N0 旋转的锥顶角 b的余弦 co s ( b) = N0N1 ,因此圆锥底面的圆心 OO为 co s ( b) 3 N0 ,指向 N1 , N2 的底面半径 R1 = N1 - co s ( b) 3 N0 ; R2 = N2 - co s ( b) 3 N0 ; R2 在 R1 方向上的分量 OA 为 co s ( a) 3 R1 , 与 R1 垂直方向上的分量 AB 为 sin ( a) 3 ( R1 N0) ,所以 R2 = co s ( a) 3 R1 + sin ( a) 3 ( R1 N0) ,整理得 N2 = (1 - co s ( a) ) 3 ( N0N1) 3 N0 + co s ( a) 3 N1 + sin ( a) 3 ( N1 N0) 。图 5 由侧伏计算视倾斜Fig. 5 Calculatio n of apparent dip f ro m pitch 平面 OAB 是已知真倾斜的平面 , 走向方向为 N2 , 倾斜 方向为 N ,视倾斜向为 N1 ; OA 和 OB 分别是 N1 在 N2 和 N 方向的分量 ;a 为视倾斜的倾伏角。图 6 直线绕直线的旋转Fig. 6 Line rotating around lineN0 是旋转轴 ; N1 是初始位置 ; N2 是旋转后的位置 , O 为底面圆心 ; b 是锥顶角; a 是 N1 绕 N0 旋转的角度 ; R1 ,R2 分别为指向 N1 、N2 的底面半径 ; OA 和 AB 是 它们在 R1 和 N0 N1 方向的分量。如产状为 31513的直线绕轴 2450顺时针旋转 20,求旋转后得到的直线产状 。参照图 6 ,利用前文的公式可知轴的向量表示 N0 = - 0 . 9063 ,0 . 4226 ,0 . 0000 ,直线的向量表 示为 N1 = - 0 . 1187 ,0 . 9671 ,0 . 2250 ,二者的点积 N0 N1 = - 0 . 301097 ,即二直线的夹角 b = 107 . 52。底面圆心 OO= ( N0N1) 3 N0 = 0 . 2729 , - 0 . 1272 , 0 . 0000 ,可知半径 R1 = N1 - OO= - 0 . 3916 , - 0 . 8399 ,0 . 2250 ,分量 OA = co s ( a) 3 R1 = - 0 . 3680 , - 0 . 7892 ,0 . 2114 , R1 N0 = - 0 . 095 , - 0 . 2039 , - 0 . 9267 , 得分量 AB = - 0 . 0325 , - 0 . 0697 ,- 0 . 3169 ,由此得到合矢量 R2 = - 0 . 4005 , - 0 . 8589 , - 0 . 1056 ,所以求出 N2 = OO+ R2= - 0 . 1276 , - 0 . 9862 , - 0 . 1056 ,相应的产状 172 . 636 . 06是已知直线旋转后的产状 。31312 求节理 ( d1 , a1) 在平面 ( d , a) 旋转为水平后的产状设节理法线为 N1 ,平面左走向 ( d - 90,0) 的向量表示为 N0 ,可以想象平面绕 N0 顺时针 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 3 期钱 辉等 :极射赤平投影中的数学方法333旋转 a 角必然变为水平 ,而节理法线 N1 绕 N0 顺时针旋转 a 角后将得到产状伏平后的节理法线 ,节理面产状不难求出 。如已知岩层 33520上有一产状为 9563的节理面 ,求岩层复平时节理的产状 。岩层 走向线 2450作为旋转轴 ,顺时针旋转 20后岩层必成水平 ,它的向量表示 N0 = - 0 . 9063 ,0 . 4226 ,0 . 0000 ; 节理法线的产状为 27527, 同样它的向量表示为 N1 = - 0 . 8876 ,- 0 . 0777 ,0 . 4534 ,二者的叉积 N1 N0 = - 0 . 1919 , - 0 . 4115 , - 0 . 4455 ,整理加和公式的 第一项为 - 0 . 0422 , 0 . 0197 , 0 . 0000 , 第二项为 - 0 . 8341 , - 0 . 073 , 0 . 4266 , 第三项为 - 0 . 0656 , - 0 . 1407 , - 0 . 1524 ,加和后得 - 0 . 9419 , - 0 . 1940 ,0 . 2742 ,因此旋转后的节理 法线产状为 218 . 6415 . 92,相应的节理面产状 101 . 6474 . 08为复平产状 。节理统计及绘制等密图的数学方法节理统计有很多种方法 ,如分组统计 ,聚类统计 ,极点等密图统计 。 等密图由一系列等值线构成 ,一般内圈比外圈的权值高 ,而且出入点在基圆上的等值线必成对出现 ,二者的出入点互相对跖 ,斜率相等 ,我们称之为对跖等值线 ,如果把其中一条对跖地 接到另一条上 ,则会形成一封闭的圆滑曲线 。作等值线需要首先建立网格 ,然后在网格上找等值点 ,最后光滑地连接成等值线 ,其中三角网要求网格三角形三边大体相等 ,三内角尽量成锐 角 ,三角形之间互不相交 ,不发生重复 。产状的向量表示可用于节理统计和绘制等密图 ,这样 从加和平均到连三角网 ,然后到搜索等值点都在空间向量域进行 ,增加了它的直观性和准确 性 ,避免了投影平面坐标连线和计算所引入的误差 。411 统计原理41111 分组向量统计若节理产状已由人工或计算机分组 ,设每个节理法线为 Ni ,共有 m 个 ,则统计的法线为4它们的合矢量 M = N 1 + N 2 + N m , 转换为 ( d , a) 形式即是节理法线的统计产状 ,有时也可直接对节理倾斜线进行上述统计 。由于角度变化存在跃变 ,一般不能对角度进行加和平均 。利用参考文献1 P105的节理产状数据表 ,对节理倾斜线进行统计 ,A 组节理向量的合矢 量为 0 . 7099 , 6 . 6720 , 27 . 9958 ,统计产状为 ( 173 . 93, 76 . 52) ; B 组节理向量的合矢量为12 . 5070 , - 0 . 5099 ,23 . 6453 ,统计产状为 (87 . 76,62 . 10) 。41112判断 N1 是否在 N0 的 a 角范围内的方法由于 b = arcco s ( N0N1) 是 NO 与 N1 之间的夹角 ,当 b a 或 b 180- a 时 ,N1 就在 N0的 a 角范围内 ,实际上只要判断| N0N1| co s ( a) 即可 。41113普洛宁网统计普洛宁网是由一系列锥顶角为 8 . 4的锥面赤平投影而成 ,锥面轴心 ( d , a) 为(12k , 10m ) , k = 0 , 29 , m = 0 , 4 ;( 12+ 24k , 50) , ( 24k , 60) , k = 0 , 14 ;( 14+ 36k , 70) , k = 0 , ( 32+ 72k , 80) , k = 0 ,( 0, 90) 。, 9 ;, 4 ;锥面的上下母线分别为 ( d , a - 8 . 4) 和 ( d , a + 8 . 4) ,二者决定了投影圆的直径 ,由此可知其圆心是轴心的赤平投影 ,为 ( t g (45- a/ 2) 3 sin ( d) , - t g (45- a/ 2) 3 co s ( d ) ) ,半径是它们投 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 334高 校 地 质 学 报3 卷影半径差的一半 ( (t g (45-( a - 8 . 4) / 2) - t g ( 45- ( a + 8 . 4) / 2) ) / 2 。当 a = 0时 ,圆心位于基圆上 ,半径为 t g (8 . 4) ,这与侧伏为 ( d ,8 . 4) 的小圆弧完全相同 ,只是有一半在基圆外 ,为了使它不画出基圆 ,这时应用该小圆弧代替之 。普洛宁网统计就是以各轴心为最大概率方向 N0 ,求在它周围节理法线 Ni 的个数 ,用于作 节理等密图 。注意到基圆上两对跖半圆合成了一个圆 ,用| N0N1| co s ( 8 . 4) 判断所得两个半圆内的极点数应该相同 ,且等于两半圆内实际极点数之和 。这与等密图的要求是一致的 ,于 是我们得到了 ( d , a , n) 三元组 ,可用于作等值线和进行统计 。412 连三角网由于普洛宁网呈圈状 ,连接同圈相邻两点作底边 ,相邻内圈或外圈一点作顶点 ,构成的网 格三角形称为内向三角形或外向三角形 (如图 7a 的三角形 1 和三角形 2) ,底边两点按顺时针方向分别称为逆点和顺点 (如图 7a 的 A ,B 两点) ,它们与顶点的连线分别称为逆边和顺边 ( 如 图 7a 的 AC 和 BC 边) ,与之共用逆边或顺边的邻接三角形称为它的逆邻或顺邻 ( 如图 7b) ;与 之共同逆点或顺点的同向三角形称为它的逆向或顺向 ( 如图 7c) 。共用底边的三角形互称对 邻(如图 7d) ,至于最外圈三角形并无对邻 ,但存在底边两点都与它对跖的三角形 ,它们互称对 跖三角形 。图 7 三角网中三角形相互关系Fig. 7 The correlatio n bet ween t he t riangles in t riangle neta . 网格三角形基本要素 :三角形 1 和三角形 2 的顶点 C 分别指向内圈和外圈 ,它们分别称为内向三角形和外向三 角形 ,底边 AB 的顶点分别称为逆点和顺点 ,边 AC ,BC 分别称为逆边和顺边。b. 相邻三角形 :三角形 2 称为三角形1 的顺邻 ,反过来 ,三角形 1 称为三角形 2 的逆邻。c . 同向三角形 :三角形 2 称为三角形 1 的倾向 ,反过来 ,三角形 1 称为三角形 2 的逆向 ;右图中三角形 3 是二者所夹的外向三角形。d. 相对三角形 :三角形 2 与三角形 1 互称对邻。 右图最外圈的三角形 1 ,2 又互称对跖三角形 ,三角形 1,2可以看作三角形 1 ,2 的镜象 ,实际并不存在。显而易见 ,若所有的内向三角形都确定下来 ,由于要求三角形互不相交 ,外向三角形也就随之而定了 。三角网就是由这些互相邻接的三角形构成 ,为了搜索等值点 ,每个三角形必须记 录它的逆点 、顺点 、顶点的坐标和极点数 (也称权值) 以及它的逆邻 、顺邻 、对邻三角形的位置 。(1) 先填内向三角形的顶点三角形的顺点和逆点很容易找到 ,所选的内顶点应使三角形 三边尽量相等 ,可选择内圈中距底边中点最近 (方位角距最小) 的那点 。实际上可选的点只有两个 ,设本三角形的底边中点为 ( d , a) , 内圈的角距步长为 d d , 则内圈上存在相邻两点 ( d1 , a1) 和 ( d2 , a1) , 其中 d 2 等于 d 1 + d d 的方位角校正 , 且 d 满足 d1 d d1 + d d , 当 d - d1d1 + d d - d 时 , 应选择 ( d 1 , a1) 作顶点 , 否则应选 ( d2 , a1) 作顶点 。 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 3 期钱 辉等 :极射赤平投影中的数学方法335(2) 再填其它信息如果一内向三角形 v 1 和它的顺向 v 2 共用顶点 ( 如图 7c 左图) ,则v 1的顺邻是 v 2 ,反过来 , v 2 的逆邻就是 v 1 ;若二者不共用内顶点 ( 如图 7c 右图) ,则找到了 一个外向三角形 v 3 , v 3 的逆点 、顺点 、顶点分别为 v 2 的顶点 、v 1 的顶点 、v 1 的顺点 , v 3 的逆邻和顺邻分别是 v 1 和 v 2 ,反过来 , v 1 的顺邻和 v 2 的逆邻都是 v 3 。三角形的对邻不 难找到 (如图 7d 左图) ,但对于最外圈三角形 (如图 7d 右图) ,我们把它的对跖三角形填入对邻信息中 。因为对跖三角形底边等值点是成对出现的 ,且互相对跖 ,这样做可以使搜索到的等值 线都呈封闭状 ,便于光滑连接 。413 搜索等值点因为每个三角形的三个邻接三角形都存在 ,所以每条等值线搜索结束时必回到起点 ,为了 防止无穷搜索 ,可以给搜索过的三角形一个使用标志 。每条等值线上的等值点实际上就是节理法线的一个分组 ,用分组向量统计即得到等值线的中心位置 。(1) 等值点存在的条件设要搜索的权值为 w , 某边两端点的权值分别为 w 1 , w 2 , 当( w 1 - w ) 3 ( w 2 - w ) 0 时 ,该边上存在等值点 。设两端点的向量表示分别为 N1 , N2 ,则 M = ( w 1 - w ) 3 N 2 - ( w 2 - w ) 3 N 1 为等值点的向量表示 , 变换为 ( d , a) 形式就得到了等 值点 。为了防止判断条件中出现等于 0 的情况 , 一般先让 w 加上一个很小的数 ( 如 0 . 0001) , 这样在三角形三边上 ,等值点要么不出现 ,要么就成对出现 ,而不会出现在顶点 ,造成搜索方向 不明 。(2) 搜索过程 一个权值的搜索过程应先从最外圈开始 ,检查未使用三角形的底边 ,如果 有等值点则正式搜索 ,直到外圈搜索完毕再开始内圈搜索 ,这时应检查未使用三角形的每一 边 ,如果有等值点则开始正式搜索 ,直到所有内圈都搜索完成 ,然后把各三角形的使用标志清 除 ,再开始下一个权值的搜索 。(3) 正式搜索 从三角形的某一边开始 ,找出该边上的等值点 ,再找出不同于该边的有等 值点的另外一边 (必然唯一存在) 和共用这条边的邻接三角形 ,标志当前三角形已使用过 ,然后 进入邻接三角形继续搜索 ,直至回到起点 (标志为使用过) 。(4) 结束搜索 把内圈一次正式搜索得到的等值线首尾相接成环状 ;把外圈一次正式搜索 得到的得到的等值线分成起点 、终点互相对跖的两条 ,分别记录起点和终点 ,然后互相把己方 所有等值点的对跖点加入对方 ,并各自连成环状 ,形成两条完全对跖的等值线 。由于等值点呈 环状 ,每个点都有若干个前驱和后继 ,那么它的斜率就可以由周围点的相对位置确定下来 。414 光滑连接等值点这里采用分段插值法 ,先求出各点斜率 ,插值时兼顾斜率的变化 ,使曲线显得光滑 。为了 减少计算量 ,先应把各等值点坐标变换成屏幕坐标 ( X , Y) 。41411 五点光滑法求中间点的斜率设 A i = X i + 1 - X i , B i =Y i , S i = | A i 3 B i + 1 - A i + 1 3 B i | , 五点的编号为 1 ,Y i + 1 -, 5 ,则中间点的斜率 k = ( B 2 3 S 3 + B 3 3 S 1) / ( A 2 3 S 3 + A 3 3 S 1) , 反正切 a = at a n 2 ( B 2 3 S 3+ B 3 3 S 1 , A 2 3 S 3 + A 3 3 S 1) , 如果 S 1 = S 3 = 0 , 应该用 a = atan2 ( A 2 3 B 3 + A 3 3 B 2 ,2 3 A 2 3 A 3) 计算 。41412由两点及其斜率求三次插值多项式设两点为 ( X 1 , Y 1) , ( X 2 , Y 2) , 它们斜率的反正切分别为 a1 , a2 , 二者之间的距离为 D =sqrt ( A 1 3 A 1 + B 2 3 B 2) , A , B 定义同上 , 多项式的参数 t , 则插值点可用下式表示 : 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 336高 校 地 质 学 报3 卷( Xc , Y c) = ( P 1 , t , t 2 , t 3 , Q 1 , t , t 2 , t 3 )其中 :0 t 1P = X 1 , D 3 co s ( a1) , - 3 3 A 1 - D 3 ( co s ( a2) + 2 3 co s ( a1) ) , 2 3 A 1 + D 3 ( co s ( a2) +co s ( a1) ) ,Q = Y 1 , D 3 sin ( a1) , - 3 3 B 1 - D 3 ( sin ( a2) + 2 3 sin ( a1) ) , 2 3 B 1 + D 3 ( sin ( a2) +sin ( a1) ) 。41413 三次多项式的增量计算法已知三次多项式的参数为 t , 多项式为 F ( t ) = a + b 3 t + c 3 t 2 + d 3 t 3 , 参数 t 的增量取 两点距离 D 的倒数 d t = 1/ D ,则插值点的函数值 Fn = F ( n 3 d t ) 可以这样计算 :F0 = a , Fn + 1 = Fn + d Fn ;d F0 = b 3 d t + c 3 d t 2 + d 3 d t 3 , d Fn + 1 = d Fn + dd Fn ;dd F0 = 2 3 c 3 d t 2 + 6 3 d 3 d t 3 , dd Fn + 1 = dd Fn + ddd F0 ;ddd F0 = 6 3 d 3 d t 3 。41414 成图依次连接各插值点得到光滑的等值线 ,对每条等值线进行分组向量统计得到它的中心位 置 ,以这个点为种子点 ,在等值线的范围内填充适当的花纹 。由于不会出现高权值等值线在外圈的情况 ,按照权值从大到小的顺序进行填充 ,高权值的等值线会自动覆盖以前填充的花纹 , 从而达到区分的目的 。其中最大权值等值线的中心称极密点 ,变换为 ( d ,a) 形式就是节理法线 的统计产状 。使用参考文献6 第 313 页中的数据 ,这种方法得到两个极密点 ,对应的统计节理面产状 为 (36 . 78,59 . 94) 和 (222 . 50,60 . 08) ,手工作图得到的结果 ( 36,68) 和 ( 224,68) ,明显前者精度达 0 . 01,后者则可能超过 2。结论5赤平投影是一种化空间为平面的应用方法 ,利用空间解析几何的推导 ,再现了这种投影内涵的数学过程 ,同时又能运用于计算 ,得到精确结果 。利用本文给出的极点和大小圆方程 ,根 据手工操作步骤 ,可以先计算结果再进行适当的图示 。另外 ,本文仅涉赤平投影的基本应用 ,具体应用有待进一步探讨 。致谢 :本文在写作过程中得到夏邦栋教授的悉心指导和林鹤鸣硕士的鼎力帮助 ,特此致 谢 。 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 3 期钱 辉等 :极射赤平投影中的数学方法337参考文献毛健全 ,杨国贞 ,顾悦 1 地质构造分析中的赤平极射投影方法 1 贵州 :贵州人民出版社 ,1981 : 4 18 ,121 1241王莉 ,李宗保 ,吴志明 1 计算机图形学及其在工程中的应用 1 北京 :人民交通出版社 ,1988 :245 2491杨学平 1 计算机绘图 1 北京 :电力工业出版社 ,1980 :61 651徐士良 1 计算机常用算法 1 北京 :清华大学出版社 ,1989 :137 1441张福炎 ,徐福培 ,李滨宇 ,藤小宇 1 微型计算机 IBM PC 的原理与应用 (续二) 图形显示器及其程序设 计 1 南京 :南京大学出版社 ,1993 :331俞鸿年 ,卢华复 1 构造地质学原理 1 北京 :地质出版社 ,1985 :15 33