浙江高考数学复习专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质学案.docx

第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟 1.(2016浙江卷)设函数f(x)sin2xbsin xc，则f(x)的最小正周期()A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关解析因为f(x)sin2xbsin xcbsin xc，其中当b0时，f(x)c，f(x)的周期为；b0时，f(x)的周期为2，即f(x)的周期与b有关但与c无关，故选B.答案B2.(2017全国卷)函数f(x)sincos的最大值为()A. B.1 C. D.解析cos cossin，则f(x)sinsinsin，函数的最大值为.答案A3.(2018天津卷)将函数ysin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减解析把函数ysin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)sinsin 2x的图象，由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，令k1，得x，即函数g(x)sin 2x的一个单调递增区间为，故选A.答案A4.(2016浙江卷)已知2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0)，则A_，b_.解析2cos2xsin 2xcos 2x1sin 2x1sin1Asin(x)b(A0)，A，b1.答案1考 点 整 合1.常见三种三角函数的图象、性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象递增区间2k，2k递减区间2k，2k奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)对称轴xkxk周期性222.三角函数的常用结论(1)yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得.(2)yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得.(3)yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换热点一三角函数的图象【例1】 函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如图所示，则f 的值为_.解析根据图象可知，A2，所以周期T，2.又函数过点，所以有sin1，而0，所以，则f(x)2sin，因此f 2sin1.答案1探究提高已知图象求函数yAsin(A0，0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练1】 (2018宁波适应考试)已知函数f(x)2sinsin2sin(x)cos(x).(1)求f(x)的单调递减区间和f(x)的图象的对称轴；(2)先将函数yf(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求h(x)g(x)2g(x)1在上的值域.解(1)f(x)2cossinsin 2xsinsin 2xcos 2xsin 2x2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ).所以f(x)的单调递减区间为(kZ).由2xk(kZ)，得x(kZ)，故f(x)的图象的对称轴为x(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin，将函数yf(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y2sin2sin 2x的图象，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)2sin x的图象.所以h(x)g(x)2g(x)14sin2x2sin x14(sin x)2.当x时，sin x.故函数h(x)在上的值域为.热点二三角函数的性质考法1三角函数性质的应用【例21】 已知函数f(x)sin(x)cos(x)为奇函数，且函数yf(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为.(1)求f的值；(2)将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间.解(1)f(x)sin(x)cos(x)22sin.因为f(x)为奇函数，所以f(0)2sin0，又0|，可得，所以f(x)2sin x，由题意得2，所以2.故f(x)2sin 2x.因此f2sin .(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f 的图象，所以g(x)f2sin2sin.当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，g(x)单调递增，因此g(x)的单调递增区间为(kZ).探究提高对于函数yAsin(x)(A0，0)单调区间的求解，其基本方法是将x作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为yAsin(x)的增区间(或减区间)，但是当A0，0时，需先利用诱导公式变形为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.考法2由三角函数的性质求参数【例22】 (1)(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D.(2)已知0，在函数y2sin x与y2cos x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则_.解析(1)法一f(x)cos xsin xcos，且函数ycos x在区间0，上单调递减，则由0x，得x.因为f(x)在a，a上是减函数，所以解得a，所以0a，所以a的最大值是，故选A.法二因为f(x)cos xsin x，所以f(x)sin xcos x，则由题意，知f(x)sin xcos x0在a，a上恒成立，即sin xcos x0，即sin0在a，a上恒成立，结合函数ysin的图象可知有解得a，所以00，x (kZ).设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1，x2，则|x2x1|.又结合图形知|y2y1|2，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，(x2x1)2(y2y1)2(2)2，(2)212，.答案(1)A(2)探究提高此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.考法3三角函数图象与性质的综合应用【例23】 (2018北京海淀区期末)设函数f(x)sin2x2sin xcos xcos2x(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在x上的值域.解(1)因为f(x)sin2x2sin xcos xcos2xcos 2xsin 2x2sin，由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，所以2k(kZ)，即(kZ).又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由(1)知f(x)2sin，由yf(x)的图象过点，得f 0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin.x，x，sin，函数f(x)的值域为1，2.探究提高求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为yAsin(x)B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x或cos x的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.训练2(2017浙江卷)已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR).(1)求f 的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，则f 2sin2.(2)f(x)的最小正周期为.由正弦函数的性质，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ.1.已知函数yAsin(x)B(A0，0)的图象求解析式(1)A，B.(2)由函数的周期T求，.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比ysin x的性质，只需将yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”，采用整体代入求解.(1)令xk(kZ)，可求得对称轴方程；(2)令xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标；(3)将x看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意的符号.3.函数yAsin(x)B的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B(一角一函数)的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题一、选择题1.(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.2解析f(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期T.故选C.答案C2.已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解析易知C1：ycos xsin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数ysin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数ysinsin的图象，即曲线C2，因此D项正确.答案D3.(2018金华一中调研)已知f(x)asin xbcos x，若f f ，则直线axbyc0的倾斜角为()A. B.C. D.解析在ff中，令x.得f(0)f，即ba，直线axbyc0的斜率k1.因此直线的倾斜角为.答案D4.(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()A.f(x)的最小正周期为，最大值为3B.f(x)的最小正周期为，最大值为4C.f(x)的最小正周期为2，最大值为3D.f(x)的最小正周期为2，最大值为4解析易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x，则f(x)的最小正周期为，当xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.故选B.答案B5.(2018北京卷改编)设函数f(x)cos(0).若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为()A. B. C. D.解析由于对任意的实数都有f(x)f成立，故当x时，函数f(x)有最大值，故f1，2k(kZ)，8k(kZ)，又0，min.答案A6.设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，|.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，则()A.， B.，C.， D.，解析f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期为43，f(x)2sin.2sin2，得2k，kZ，又|，取k0，得.答案A7.若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A.x(kZ) B.x(kZ)C.x(kZ) D.x(kZ)解析由题意将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y2sin，由2xk(kZ)得函数的对称轴为x(kZ).答案B二、填空题8.(2018丽水调研)已知函数f(x)tan，则f(x)的最小正周期为_，f _.解析函数f(x)tan的最小正周期为T，ftan2.答案29.(2018江苏卷)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值是_.解析由函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，得sin1，因为，所以，则，.答案10.(2018全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数为_.解析由题意知，cos0，所以3xk，kZ，所以x，kZ，当k0时，x；当k1时，x；当k2时，x，均满足题意，所以函数f(x)在0，的零点个数为3.答案311.函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x)_，f(x1x2)_.解析观察图象可知，A1，T，则2.又点是“五点法”中的始点，20，则f(x)sin.函数图象的一条对称轴为x.又x1，x2，且f(x1)f(x2)，所以，则x1x2，因此f(x1x2)sin.答案sin三、解答题12.(2018湖州模拟)已知函数f(x)4sin3xcos x2sin xcos xcos 4x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解f(x)2sin xcos xcos 4xsin 2xcos 2xcos 4xsin 4xcos 4xsin.(1)函数f(x)的最小正周期T.令2k4x2k，kZ，得x，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)因为0x，所以4x.此时sin1，所以sin，即f(x).所以f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，.13.(2018北京卷)已知函数f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin.所