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1 6 1基尔霍夫电流定律 KCL定律 1 定律 即 入 出 在任一瞬间 流向任一结点的电流等于流出该结点的电流 实质 电流连续性的体现 或 0 对结点a I1 I2 I3 或I1 I2 I3 0 基尔霍夫电流定律 KCL 反映了电路中任一结点处各支路电流间相互制约的关系 在任一瞬间 沿任一回路循行方向 回路中各段电压的代数和恒等于零 1 6 2基尔霍夫电压定律 KVL定律 1 定律 即 U 0 在任一瞬间 从回路中任一点出发 沿回路循行一周 则在这个方向上电位升之和等于电位降之和 对回路1 对回路2 E1 I1R1 I3R3 I2R2 I3R3 E2 或I1R1 I3R3 E1 0 或I2R2 I3R3 E2 0 基尔霍夫电压定律 KVL 反映了电路中任一回路中各段电压间相互制约的关系 2 2电阻星形联结与三角形联结的等效变换 等效变换的条件 对应端流入或流出的电流 Ia Ib Ic 一一相等 对应端间的电压 Uab Ubc Uca 也一一相等 经等效变换后 不影响其它部分的电压和电流 2 2电阻星形联结与三角形联结的等效变换 据此可推出两者的关系 2 2电阻星形联结与三角形联结的等效变换 Y Y 将Y形联接等效变换为 形联结时若Ra Rb Rc RY时 有Rab Rbc Rca R 3RY 将 形联接等效变换为Y形联结时若Rab Rbc Rca R 时 有Ra Rb Rc RY R 3 2 2电阻星形联结与三角形联结的等效变换 2 4支路电流法 支路电流法 以支路电流为未知量 应用基尔霍夫定律 KCL KVL 列方程组求解 对上图电路支路数 b 3结点数 n 2 回路数 3单孔回路 网孔 2 若用支路电流法求各支路电流应列出三个方程 1 在图中标出各支路电流的参考方向 对选定的回路标出回路循行方向 2 应用KCL对结点列出 n 1 个独立的结点电流方程 3 应用KVL对回路列出b n 1 个独立的回路电压方程 通常可取网孔列出 4 联立求解b个方程 求出各支路电流 对结点a 例1 I1 I2 I3 0 对网孔1 对网孔2 I1R1 I3R3 E1 I2R2 I3R3 E2 支路电流法的解题步骤 2 5结点电压法 结点电压的概念 任选电路中某一结点为零电位参考点 用 表示 其它各结点对参考点的电压 称为结点电压 结点电压的参考方向从结点指向参考结点 结点电压法适用于支路数较多 结点数较少的电路 结点电压法 以结点电压为未知量 列方程求解 在求出结点电压后 可应用基尔霍夫定律或欧姆定律求出各支路的电流或电压 在左图电路中只含有两个结点 若设b为参考结点 则电路中只有一个未知的结点电压 2个结点的结点电压方程的推导 设 Vb 0V结点电压为U 参考方向从a指向b 2 应用欧姆定律求各支路电流 1 用KCL对结点a列方程I1 I2 I3 I4 0 将各电流代入KCL方程则有 整理得 注意 1 上式仅适用于两个结点的电路 2 分母是各支路电导之和 恒为正值 分子中各项可以为正 也可以可负 3 当电动势E与结点电压的参考方向相反时取正号 相同时则取负号 而与各支路电流的参考方向无关 即结点电压公式 2 6叠加原理 叠加原理 对于线性电路 任何一条支路的电流 或电压 都可以看成是由电路中各个电源 电压源或电流源 分别作用时 在此支路中所产生的电流 或电压 的代数和 原电路 叠加原理 E2单独作用时 c 图 E1单独作用时 b 图 原电路 同理 用支路电流法证明见教材P50 叠加原理只适用于线性电路 不作用电源的处理 E 0 即将E短路 Is 0 即将Is开路 线性电路的电流或电压均可用叠加原理计算 但功率P不能用叠加原理计算 例 注意事项 应用叠加原理时可把电源分组求解 即每个分电路中的电源个数可以多于一个 解题时要标明各支路电流 电压的参考方向 若分电流 分电压与原电路中电流 电压的参考方向相反时 叠加时相应项前要带负号 2 7 1戴维宁定理 任何一个有源二端线性网络都可以用一个电动势为E的理想电压源和内阻R0串联的电源来等效代替 等效电源的内阻R0等于有源二端网络中所有电源均除去 理想电压源短路 理想电流源开路 后所得到的无源二端网络a b两端之间的等效电阻 等效电源的电动势E就是有源二端网络的开路电压U0 即将负载断开后a b两端之间的电压 等效电源 2 7 2诺顿定理 任何一个有源二端线性网络都可以用一个电流为IS的理想电流源和内阻R0并联的电源来等效代替 等效电源的内阻R0等于有源二端网络中所有电源均除去 理想电压源短路 理想电流源开路 后所得到的无源二端网络a b两端之间的等效电阻 等效电源的电流IS就是有源二端网络的短路电流 即将a b两端短接后其中的电流 等效电源 描述线圈通有电流时产生磁场 储存磁场能量的性质 1 物理意义 3 1 2电感元件 2 自感电动势 3 电感元件储能 根据基尔霍夫定律可得 将上式两边同乘上i 并积分 则得 即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中 当电流增大时 磁场能增大 电感元件从电源取用电能 当电流减小时 磁场能减小 电感元件向电源放还能量 磁场能 3 1 3电容元件 描述电容两端加电源后 其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷 在介质中建立起电场 并储存电场能量的性质 电容 当电压u变化时 在电路中产生电流 电容元件储能 将上式两边同乘上u 并积分 则得 即电容将电能转换为电场能储存在电容中 当电压增大时 电场能增大 电容元件从电源取用电能 当电压减小时 电场能减小 电容元件向电源放还能量 电场能 电容元件储能 本节所讲的均为线性元件 即R L C都是常数 产生暂态过程的必要条件 L储能 换路 电路状态的改变 如 电路接通 切断 短路 电压改变或参数改变 C储能 产生暂态过程的原因 由于物体所具有的能量不能跃变而造成 在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变 1 电路中含有储能元件 内因 2 电路发生换路 外因 电容电路 注 换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中uC iL初始值 2 换路定则 电感电路 3 初始值的确定 求解要点 2 其它电量初始值的求法 初始值 电路中各u i在t 0 时的数值 1 uC 0 iL 0 的求法 1 先由t 0 的电路求出uC 0 iL 0 2 根据换路定律求出uC 0 iL 0 1 由t 0 的电路求其它电量的初始值 2 在t 0 时的电压方程中uC uC 0 t 0 时的电流方程中iL iL 0 结论 1 换路瞬间 uC iL不能跃变 但其它电量均可以跃变 3 换路前 若uC 0 0 换路瞬间 t 0 等效电路中 电容元件可用一理想电压源替代 其电压为uc 0 换路前 若iL 0 0 在t 0 等效电路中 电感元件可用一理想电流源替代 其电流为iL 0 2 换路前 若储能元件没有储能 换路瞬间 t 0 的等效电路中 可视电容元件短路 电感元件开路 3 3RC电路的响应 一阶电路暂态过程的求解方法 1 经典法 根据激励 电源电压或电流 通过求解电路的微分方程得出电路的响应 电压和电流 2 三要素法 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路 且由一阶微分方程描述 称为一阶线性电路 一阶电路 求解方法 代入上式得 换路前电路已处稳态 1 列KVL方程 1 电容电压uC的变化规律 t 0 零输入响应 无电源激励 输入信号为零 仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应 图示电路 实质 RC电路的放电过程 3 3 1RC电路的零输入响应 2 解方程 特征方程 由初始值确定积分常数A 齐次微分方程的通解 电容电压uC从初始值按指数规律衰减 衰减的快慢由RC决定 3 电容电压uC的变化规律 2 解方程 3 变化曲线 电阻电压 放电电流 电容电压 2 电流及电阻电压的变化规律 4 时间常数 2 物理意义 令 单位 s 1 量纲 当时 时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢 越大 曲线变化越慢 达到稳态所需要的时间越长 时间常数的物理意义 U 3 3 2RC电路的零状态响应 零状态响应 储能元件的初始能量为零 仅由电源激励所产生的电路的响应 实质 RC电路的充电过程 分析 在t 0时 合上开关S 此时 电路实为输入一个阶跃电压u 如图 与恒定电压不同 其 电压u表达式 R i 一阶线性常系数非齐次微分方程 方程的通解 方程的特解 对应齐次方程的通解 1 uC的变化规律 1 列KVL方程 3 3 2RC电路的零状态响应 2 解方程 求特解 方程的通解 求对应齐次微分方程的通解 微分方程的通解为 确定积分常数A 根据换路定则在t 0 时 3 电容电压uC的变化规律 暂态分量 稳态分量 电路达到稳定状态时的电压 仅存在于暂态过程中 3 变化曲线 当t 时 表示电容电压uC从初始值上升到稳态值的63 2 时所需的时间 2 电流iC的变化规律 4 时间常数 的物理意义 为什么在t 0时电流最大 3 3 3RC电路的全响应 1 uC的变化规律 全响应 电源激励 储能元件的初始能量均不为零时 电路中的响应 根据叠加定理全响应 零输入响应 零状态响应 稳态分量 零输入响应 零状态响应 暂态分量 结论2 全响应 稳态分量 暂态分量 全响应 结论1 全响应 零输入响应 零状态响应 稳态值 初始值 稳态解 初始值 3 4一阶线性电路暂态分析的三要素法 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路 且由一阶微分方程描述 称为一阶线性电路 据经典法推导结果 全响应 代表一阶电路中任一电压 电流函数 式中 在直流电源激励的情况下 一阶线性电路微分方程解的通用表达式 利用求三要素的方法求解暂态过程 称为三要素法 一阶电路都可以应用三要素法求解 在求得 和 的基础上 可直接写出电路的响应 电压或电流 电路响应的变化曲线 三要素法求解暂态过程的要点 1 求初始值 稳态值 时间常数 3 画出暂态电路电压 电流随时间变化的曲线 2 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式 求换路后电路中的电压和电流 其中电容C视为开路 电感L视为短路 即求解直流电阻性电路中的电压和电流 1 稳态值的计算 响应中 三要素 的确定 例 1 由t 0 电路求 在换路瞬间t 0 的等效电路中 注意 2 初始值的计算 1 对于简单的一阶电路 R0 R 2 对于较复杂的一阶电路 R0为换路后的电路除去电源和储能元件后 在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻 3 时间常数 的计算 对于一阶RC电路 对于一阶RL电路 注意 R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法 即从储能元件两端看进去的等效电阻 如图所示 3 6RL电路的响应 3 6 1RL电路的零输入响应 1 RL短接 1 的变化规律 三要素公式 1 确定初始值 2 确定稳态值 3 确定电路的时间常数 2 变化曲线 2 RL直接从直流电源断开 1 可能产生的现象 1 刀闸处产生电弧 2 电压表瞬间过电压 2 解决措施 2 接续流二极管VD 1 接放电电阻 3 6 2RL电路的零状态响应 1 变化规律 三要素法 2 变化曲线 3 6 3RL电路的全响应 用三要素法求 2 变化规律 变化曲线 变化曲线 4 1 2幅值与有效值 有效值 与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值 幅值 Im Um Em 则有 交流 直流 幅值大写 下标加m 同理 4 1 3初相位与相位差 相位 注意 交流电压 电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压 电流均为有效值 初相位 表示正弦量在t 0时的相角 反映正弦量变化的进程 正弦量所取计时起点不同 其初始值 t 0 时的值及到达幅值或某一特定时刻的值就不同 如 图中 电压超前电流 两同频率的正弦量之间的初相位之差 4 1 3相位差 i u 2 1 或称i滞后u 角 电流超前电压 电压与电流同相 电流超前电压 电压与电流反相 4 2正弦量的相量表示法 瞬时值表达式 前两种不便于运算 重点介绍相量表示法 波形图 1 正弦量的表示方法 重点 相量 正弦量用旋转有向线段表示 设正弦量 若 有向线段长度 则 该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值 有向线段与横轴夹角 初相位 u0 2 正弦量的相量表示 复数表示形式 设A为复数 实质 用复数表示正弦量 式中 2 三角式 3 指数式 相量 表示正弦量的复数称相量 由上可知 复数由模和幅角两个特征来确定 而正弦量由幅值 角频率 初相角三个特征来确定 在分析线性电路时 正弦激励和响应均为同频率的正弦量 频率是已知的 可以不考虑 因此 一个正弦量由幅值 或有效值 和初相位就可确定 比照复数和正弦量 正弦量可用复数表示 1 相量只是表示正弦量 而不等于正弦量 注意 2 只有正弦量才能用相量表示 设正弦量 电压的有效值相量 相量表示 正弦量是时间的函数 而相量仅仅是表示正弦量的复数 两者不能划等号 4 正弦量表示符号的说明 3 相量的两种表示形式 相量图 把相量表示在复平面的图形 可不画坐标轴 瞬时值 小写 u i 有效值 大写 U I 最大值 大写 下标 Um Im 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上 5 j 的数学意义和物理意义 设相量 旋转因子 1 电压与电流的关系 设 2 大小关系 3 相位关系 u i相位相同 根据欧姆定律 1 频率相同 相位差 4 3 1电阻元件的交流电路 4 3单一参数的交流电路 2 功率关系 1 瞬时功率p 瞬时电压与瞬时电流的乘积 小写 结论 耗能元件 且随时间变化 p 瞬时功率在一个周期内的平均值 大写 2 平均功率 有功功率 P 单位 瓦 W 注意 通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率 4 3 2电感元件的交流电路 基本关系式 1 频率相同 2 U I L 3 电压超前电流90 相位差 1 电压与电流的关系 设 则 感抗 电感L具有通直阻交的作用 定义 XL与f的关系 相量式 电感电路相量形式的欧姆定律 2 功率关系 1 瞬时功率 2 平均功率 L是非耗能元件 单位 var 3 无功功率Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模 储能 放能 储能 放能 电感L是储能元件 结论 纯电感不消耗能量 只和电源进行能量交换 能量的吞吐 可逆的能量转换过程 4 3 3电容元件的交流电路 基本关系式 1 电流与电压的关系 1 频率相同 3 电流超前电压90 相位差 则 设 2 I U C或 则 定义 所以电容C具有隔直通交的作用 容抗 相量式 电容电路中相量形式的欧姆定律 XL与f的关系 2 功率关系 1 瞬时功率 2 平均功率 C是非耗能元件 3 无功功率Q 单位 var 同理 无功功率等于瞬时功率达到的最大值 3 无功功率Q 单位 var 为了同电感电路的无功功率相比较 这里也设 则 瞬时功率 充电 放电 充电 放电 所以电容C是储能元件 结论 纯电容不消耗能量 只和电源进行能量交换 能量的吞吐 交流电路 与参数R L C 间的关系如何 1 电流 电压的关系 直流电路两电阻串联时 设 RLC串联交流电路中 4 4电阻 电感 电容串联的交流电路 设 则 1 瞬时值表达式 根据KVL可得 1 电流 电压的关系 2 相量法 则 总电压与总电流的相量关系式 1 相量式 令 则 Z的模表示u i的大小关系 辐角 阻抗角 为u i的相位差 Z是一个复数 不是相量 上面不能加点 阻抗 复数形式的欧姆定律 注意 根据 电路参数与电路性质的关系 阻抗模 阻抗角 2 相量图 0感性 XL XC 参考相量 由电压三角形可得 电压三角形 0容性 XL XC 由相量图可求得 2 相量图 由阻抗三角形 电压三角形 阻抗三角形 2 功率关系 储能元件上的瞬时功率 耗能元件上的瞬时功率 在每一瞬间 电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉 一部分与储能元件进行能量交换 1 瞬时功率 设 2 平均功率P 有功功率 单位 W 总电压 总电流 u与i的夹角 3 无功功率Q 单位 var 总电压 总电流 u与i的夹角 根据电压三角形可得 根据电压三角形可得 4 视在功率S 电路中总电压与总电流有效值的乘积 单位 V A 注 SN UNIN称为发电机 变压器等供电设备的额定容量 可用来衡量发电机 变压器可能提供的最大有功功率 阻抗三角形 电压三角形 功率三角形 将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形 4 5阻抗的串联与并联 4 5 1阻抗的串联 分压公式 通式 4 5 2阻抗并联 分流公式 通式 正弦交流电路的分析和计算 若正弦量用相量表示 电路参数用复数阻抗 表示 则直流电路中介绍的基本定律 定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用 相量形式的基尔霍夫定律 相量 复数 形式的欧姆定律 有功功率P 有功功率等于电路中各电阻有功功率之和 或各支路有功功率之和 无功功率等于电路中各电感 电容无功功率之和 或各支路无功功率之和 无功功率Q 或 或 4 8功率因数的提高 1 功率因数 对电源利用程度的衡量 的意义 电压与电流的相位差 阻抗的辐角 1 电源设备的容量不能充分利用 若用户 则电源可发出的有功功率为 若用户 则电源可发出的有功功率为 而需提供的无功功率为 所以提高可使发电设备的容量得以充分利用 无需提供无功功率 2 增加线路和发电机绕组的功率损耗 费电 所以要求提高电网的功率因数对国民经济的发展有重要的意义 设输电线和发电机绕组的电阻为 所以提高可减小线路和发电机绕组的损耗 2 功率因数cos 低的原因 日常生活中多为感性负载 如电动机 日光灯 其等效电路及相量关系如下图 感性等效电路 40W220V白炽灯 40W220V日光灯 供电局一般要求用户的否则受处罚 2 提高功率因数的措施 3 功率因数的提高 必须保证原负载的工作状态不变 即 加至原负载上的电压和负载的有功功率不变 在感性负载两端并电容 1 提高功率因数的原则 结论 并联电容C后 2 原感性支路的工作状态不变 3 电路总的有功功率不变 因为电路中电阻没有变 所以消耗的功率也不变 4 并联电容值的计算 相量图 由相量图可得 即 思考题 图5 1 1三相交流发电机示意图 5 1三相电压 1 三相电压的产生 工作原理 动磁生电 图5 1 2三相绕组示意图 图5 1 3每相电枢绕组 三相电压瞬时表示式 相量表示 相量图 波形图 相量表示 三相电压瞬时表示式 对称三相电压的瞬时值之和为0 三相交流电压出现正幅值 或相应零值 的顺序称为相序 三个正弦交流电压满足以下特征 2 三相电源的星形联结 1 联接方式 中性线或零线 中性点 端线或相线 相电压 端线与中性线间 发电机每相绕组 的电压 线电压 端线与端线间的电压 Up Ul 地线 火线 在低压系统 中性点通常接地 所以也称地线 2 线电压与相电压的关系 根据KVL定律 由相量图可得 相量图 30 同理 3 三相电源的三角形联结 5 2负载星形联结的三相电路 三相负载 不对称三相负载 不满足Z1 Z2 Z3如单相负载组成的三相负载 1 三相负载 分类 单相负载 只需一相电源供电照明负载 家用电器 三相负载 需三相电源同时供电三相电动机等 三相负载的联接三相负载也有Y和 两种接法 至于采用哪种方法 要根据负载的额定电压和电源电压确定 三相负载连接原则 1 电源提供的电压 负载的额定电压 2 单相负载尽量均衡地分配到三相电源上 2 负载星形联结的三相电路 线电流 流过端线的电流 相电流 流过每相负载的电流 结论 负载Y联结时 线电流等于相电流 1 联结形式 N电源中性点 N 负载中性点 Ip Il 2 负载Y联结三相电路的计算 1 负载端的线电压 电源线电压2 负载的相电压 电源相电压 3 线电流 相电流 Y联结时 4 中线电流 负载Y联结带中性线时 可将各相分别看作单相电路计算 负载对称时 中性线无电流 可省掉中性线 3 对称负载Y联结三相电路的计算 所以负载对称时 三相电流也对称 负载对称时 只需计算一相电流 其它两相电流可根据对称性直接写出 1 联结形式 5 3负载三角形联结的三相电路 线电流 流过端线的电流 相电流 流过每相负载的电流 线电流不等于相电流 2 相电流 1 负