第七章量子力学的矩阵形式与表象变换.ppt

1925年7月初 海森伯终于完成了题为 从量子理论重新解释运动学和力学关系 的论文 建立了矩阵力学 1926年 苏黎世大学的奥地利科学家欧文 薛定谔发展了另一种形式的量子力学 波动力学 薛定谔的波动力学和海森伯的矩阵力学的出发点不同 而且是通过不同的思维过程发展而来的 但是用这两种理论处理同一问题时 却得到了相同的结果 包括薛定谔本人在内的许多人已经证明了量子力学的这两种形式彼此完全等价 海森伯的理论比薛定谔提出的早一些 可是科学家们在接受薛定谔的波动力学时却显得迅速得多 历史回顾 量子力学的建立 矩阵力学和波动力学的提出 第七章量子力学的矩阵形式与表象变换 方阵 行数与列数相等的矩阵 矩阵简介 1 定义 2 两矩阵相等 行列数相等 3 两矩阵相加 行列数相等 4 两矩阵相乘 一个n列的矩阵A与一个n行的矩阵B相乘 1 称A B矩阵相互不对易 称A B矩阵相互对易 2 3 4 但B C不一定成立 5 AB 0 但A 0 B 0不一定成立 6 A2 0 但A 0不一定成立 5 对角矩阵 除对角元外其余为零 6 单位矩阵 单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A IA A并且与任何矩阵都是可对易的 IA AI 把矩阵A的行和列互相调换 所得出的新矩阵称为A的转置矩阵 7 转置矩阵 共轭矩阵 8 厄密矩阵 如果一个矩阵A和它的共轭矩阵相等 则称A矩阵为厄密矩阵 表象理论 根据量子力学的基本原理 微观粒子的量子态用波函数描述 力学量用线性厄密算符描述 前面所使用的波函数及力学量算符均以坐标为变量而写出其具体表达形式的 是否有其它描述方法 即以其它力学量的本征值谱为变量 回答是 不仅有 而且非常必要 因为恰当选择描述体系的具体形式 自变量 可给运算带来很多方便 量子力学中状态和力学量的具体表示方式 表象常用表象 坐标表象 动量表象 能量表象 角动量表象等 一个定义 表象的定义二个表示 态 波函数 在任意表象中的表示力学量 算符 在任意表象中的表示 三个公式 平均值公式本征值方程薛定谔方程在任意表象中的表示 表象理论中采用的数学工具主要是矩阵矩阵力学 海森堡Heisenberg 7 1量子态的不同表象 讨论分立谱的情况 的本征值为 F1 F2 Fn 相应本征函数 构成正交归一完备系 在坐标表象中设力学量算符 若体系状态用归一化波函数 x t 描述 有 说明 给出量子态在t时刻测量粒子坐标为x的概率密度 1 an t 2表示在 x t 所描述的状态中测量F得Fn的概率密度 二者从不同角度对同一量子态给予描述 物理意义是等价的 数学上也是等价的 2 an t 一般不再是坐标x的函数而是力学量F的本征值Fn的函数 即量子数n的函数 随n的不同取不同复数值 结论 an t 与 x t 描述体系的同一个态 x t 是这一状态在坐标表象中的表示 而数列 an t 是这同一状态在F表象中的表示 我们可以把数列 an t 写成列矩阵的形式 用 F标记 把矩阵 F称为 x t 所描写的状态在F表象中的波函数 F的共轭矩阵是一个行矩阵 用 F标记 若用矩阵表示归一化 有 综上所述 量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象中的波函数来描写 所取表象不同 波函数的形式也不同 我们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解 例 若给出 中心力场能量表象为 Hilbert 希耳伯特 空间 态矢量所在的无限维空间 量子力学中 态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系来表示同一矢量的概念十分相似 在量子力学中 我们可以建立一个n维 n可以是无穷大 空间 把波函数 看成是这个空间中的一个矢量 称为态矢量 选取一个特定力学量F表象 相当于选取特定的坐标系 该坐标系是以力学量F的本征函数系 为基矢 态矢量在各基矢上的分量 则为展开系数 可用这组分量来表示 在F表象中态矢量 F表象的基矢有无限多个 所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间 称为Hilbert空间 7 2力学量 算符 的矩阵表示 力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应 以保证对波函数的作用有意义 F表象中的算符表示 分立谱的情况 设量子态 经过算符 运算后变成另一个态 在以力学量完全集F的本征态 k为基矢的表象 F表象 中 上式变成 以 左乘上式两边并对x积分 积分范围是x变化的 整个区域得 表成矩阵的形式则为 在F表象中的矩阵表示 而矩阵 左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数 和波函数 中的表示 即算符 则有 用 表示这个矩阵 在F表象 的性质 讨论 F表象中力学量算符 1 算符在自身表象中是一对角矩阵 对角元素就是算符的本征值 证明 2 力学量算符用厄密矩阵表示 即L矩阵的第m列第n行的矩阵元等于第n列第m行矩阵元的复共轭 这就是厄密矩阵 用L 表示矩阵L的共轭矩阵 则有 其对角矩阵元为实数 证明 一维无限深势阱能量的本征函数基矢为 求一维无限深势阱中粒子的坐标算符 及哈密顿算符 在能量表象中的矩阵表示 解 能级 n 1 2 3 例 当时 非对角元为 当m n时 对角元为 坐标算符 哈密顿算符 对角元 7 3量子力学公式的矩阵表示 一 Schr dinger方程 在F表象中 t 按力学量算符F的本征函数展开 表示为 左乘 j 对x整个空间积分 取标积 F表象中的Schr dinger方程 表示为矩阵形式 二 平均值公式 在量子态 下 力学量L的平均值为 F表象中力学量L的平均值的矩阵形式 特例 若 则 对角矩阵 则 假定 已归一化 即 则 表示在 态下测量L得到Lk值的概率 三 本征值方程 在F表象中 t 按力学量算符F的本征函数展开 表示为 左乘 j 对x整个空间积分 取标积 的本征方程在F表象中的矩阵形式 它是ak k 0 1 2 满足的线性齐次方程组 有非平庸解的条件为 此方程组有非零解的条件 其系数行列式等于零 即 即 称为久期方程 设表象空间维数为N 则上式是的 N次幂代数方程 对于可观测量 Ljk为厄米矩阵 可以证明 上列方程必有N个实根 记为 j 0 1 2 N 可求出相应的解 k 0 1 2 N 表成列矢 相应的本征态在F表象中的表示 与本征值 给定算符如何求本征值与本征函数 1 先求用矩阵表示的本征方程 2 代入久期方程求得本征值的解 3 本征值代入本征方程求本征函数 1 在A表象中 算符A B的矩阵表示 2 在A表象中 算符B的本征值和本征函数 例1 设Hermite算符 满足 且AB BA 0 求 解题思路 由A的本征函数的定义 很容易求出在A表象中A的本征函数及矩阵 利用A B之间的反对易关系和幺正性 即可给出B的矩阵 本征函数和本征值 由 解 1 在A的自身表象中 若无简并 A的矩阵为 由AB BA 0 所以 因为 有 bc 1即 所以 在A表象下 2 设在A表象中 B的本征函数与本征值为 久期方程为 同理 当 1时本征函数为 结合归一化条件 当 1时本征函数为 例2 已知体系的哈密顿算符 与某一力学量算符 在能量表象中的矩阵形式为 1 H和B是否是厄密矩阵 其中 和b为实常数 问 3 算符B的本征值及相应的本征函数 2 H和B是否对易 解 1 所以H和B是厄密矩阵 2 所以H和B对易 3 设B的本征值为 代入久期方程有 例题3在正交归一化基矢 所张的三维矢量空间中 t 0时的态矢 而物理体系的能量算符H和另外两个物理量算符A与B的矩阵形式为 态中算符A B的 均为实数 求 1 所采用的是什么表象 基矢是什么 2 表象中波函数 态矢 的表示 3 态的能量可能值及相应概率 4 可能值 相应概率及平均值 解 1 因为矩阵H为对角矩阵 所以是能量表象 此表象 为H的本征态 基矢在能量表象中为 2 表象中波函数的表示为x表象 有 故能量表象中态矢为 3 由对角矩阵可知 能量取值只能是 且 是两度简并的 取 和 的概率分别是 故 或 4 却不是A的本征函数集 令A在能量表象中的本征态为 是H的本征函数集 则本征方程为 本征值为 故 故 故 解久期方程 得 时 当 当 当 时 时 可见 由于能量表象不是 的自身表象 故 的矩阵形式不同于 要求A的可能值 2a a a 在 态中 即 态中 的概率分布 就要把 按A的本征态展开 最后得A表象中态矢表达式 所以A取值为 2a a 的概率分别为 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律 这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的 所以该方法所使用的符号称为Dirac符号 4Dirac符号 1 右矢空间 ket 量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间 空间中的一个矢量 方向 一般为复量 用以标记一个量子态 在抽象表象中Dirac用右矢空间的一个矢量 与量子状态相对应 该矢量称为右矢 若要标志某个特殊的态 则在右矢内标上某种记号 因为力学量本征态构成完备系 所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢 或基组 即右矢空间中的完备的基本矢量 简称基矢 右矢空间的任一矢量 可按该空间的某一完备基矢展开 例如 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量 记为 2 左矢空间 bra 左矢相应的一个抽象态矢 例如 互为共轭态矢 与 3 标积 记为 态矢间的标积 有 为归一化态矢 正交 若 则称 与 若 则称 设力学量完全集F的本征态 离散 记为 k 它们的正交归一性表示为 4 态矢在具体表象中的表示 在F表象中 基矢记为 k 态矢 可用 k 展开 即 展开系数是态矢 在基矢 k 上的投影 分量 当所有ak都给定时 就确定了一个态 记为 所以这一组数 就是态 在F表象中的表示 常写成列矢形式 用Dirac符号表示为 式中 是一个投影算符 记为 Pk对任何态矢 运算后 就得到态矢 在基矢 k 方向上的分量矢量 这一组基