辽宁省中考数学 第31讲 图形的相似课件.ppt

第31讲图形的相似 第七章图形的变化 比例式 第四比例项 比例中项 3 平行线分线段成比例定理 1 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成 2 平行于三角形一边截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成 4 相似三角形的定义 对应角相等 对应边成比例的三角形叫做 相似比 相似三角形的对应边的比 叫做两个相似三角形的 5 相似三角形的判定 1 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所截得的三角形与原三角形相似 2 两角对应相等 两三角形相似 3 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 4 三边对应成比例 两三角形相似 5 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 两直角三角形相似 6 直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似 比例 比例 相似三角形 相似比 6 相似三角形性质相似三角形的对应角相等 对应边成比例 对应高 对应中线 对应角平分线的比都等于相似比 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 7 相似多边形的性质 1 相似多边形对应角 对应边 2 相似多边形周长之比等于 面积之比等于 8 位似图形 1 概念 如果两个多边形不仅 而且对应顶点的连线相交于 这样的图形叫做位似图形 这个点叫做 2 性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 3 在平面直角坐标系中 如果位似变换是以原点为中心 相似比为k 那么位似图形对应点的坐标比等于k或 k 相等 成比例 相似比 相似比的平方 相似 一点 位似中心 相似比 4 判定两个三角形相似的技巧 1 先找两对对应角相等 一般这个条件比较简单 2 若只能找到一对对应角相等 则判断相等角的两夹边是否对应成比例 3 若找不到角相等 就判断三边是否对应成比例 4 若题目出现平行线 则直接运用基本定理得出相似的三角形 5 五种基本思路 1 条件中若有平行线 可采用相似三角形的基本定理 2 条件中若有一对等角 可再找一对等角或再找夹边成比例 3 条件中若有两边对应成比例 可找夹角相等 4 条件中若有一对直角 可考虑再找一对等角或证明斜边 直角边对应成比例 5 条件中若有等腰三角形 可找顶角相等 或找一对底角相等 或找底和腰对应成比例 c 2 2015 营口 如图 abe和 cde是以点e为位似中心的位似图形 已知点a 3 4 点c 2 2 点d 3 1 则点d的对应点b的坐标是 a 4 2 b 4 1 c 5 2 d 5 1 c 3 2015 辽阳 如图 在边长为1的小正方形组成的网格中 建立平面直角坐标系 abo与 a b o 是以点p为位似中心的位似图形 它们的顶点均在格点 网格线的交点 上 则点p的坐标为 a 0 0 b 0 1 c 3 2 d 3 2 c 4 2014 盘锦 如图 在平面直角坐标系中 a 0 4 b 2 0 点c在第一象限 若以a b c为顶点的三角形与 aob相似 不包括全等 则点c的个数是 a 1b 2c 3d 45 2014 沈阳 如图 在 abc中 点d在边ab上 bd 2ad de bc交ac于点e 若线段de 5 则线段bc的长为 a 7 5b 10c 15d 20 d c 6 2014 本溪 如图 已知 abc和 ade均为等边三角形 d在bc上 de与ac相交于点f ab 9 bd 3 则cf等于 a 1b 2c 3d 4 b c 8 2014 阜新 已知 abc def 其中ab 5 bc 6 ca 9 de 3 那么 def的周长是 9 2014 葫芦岛 如图 ae bd交于点c ba ae于点a ed bd于点d 若ac 4 ab 3 cd 2 则ce 12 10 2015 阜新 如图 点e是 abcd的边ad的中点 连接ce交bd于点f 如果s def a 那么s bcf 4a 11 2015 盘锦 如图 abc中 ab 5 ac 3 点d在边ab上 且 acd b 则线段ad的长为 12 2015 本溪 在 abc中 ab 6cm ac 5cm 点d e分别在ab ac上 若 ade与 abc相似 且s ade s四边形bced 1 8 则ad cm 13 2013 本溪 如图 在矩形abcd中 ab 10 ad 4 点p是边ab上一点 若 apd与 bpc相似 则满足条件的点p有 个 3 14 2015 抚顺 如图 将 abc在网格中 网格中每个小正方形的边长均为1 依次进行位似变换 轴对称变换和平移变换后得到 a3b3c3 1 abc与 a1b1c1的位似比等于 2 在网格中画出 a1b1c1关于y轴的轴对称图形 a2b2c2 3 请写出 a3b3c3是由 a2b2c2怎样平移得到的 4 设点p x y 为 abc内一点 依次经过上述三次变换后 点p的对应点的坐标为 2x 2 2y 2 解 2 图略 3 a3b3c3是由 a2b2c2沿x轴向左平移2个单位 再沿y轴向上平移2个单位得到 比例的基本性质 d 点评 此题考查了比例的性质 此题比较简单 解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形 a 三角形相似的性质及判定 例2 2015 湘潭 如图 在rt abc中 c 90 acd沿ad折叠 使得点c落在斜边ab上的点e处 1 求证 bde bac 2 已知ac 6 bc 8 求线段ad的长度 点评 本题考查了相似三角形的判定和性质 关键是根据 1 折叠的性质 折叠是一种对称变换 它属于轴对称 根据轴对称的性质 折叠前后图形的形状和大小不变 位置变化 对应边和对应角相等 2 勾股定理求解 相似三角形综合问题 例3 2015 黄石 在 aob中 c d分别是oa ob边上的点 将 ocd绕点o顺时针旋转到 oc d 1 如图1 若 aob 90 oa ob c d分别为oa ob的中点 求证 ac bd ac bd 2 如图2 若 aob为任意三角形且 aob cd ab ac 与bd 交于点e 猜想 aeb 是否成立 请说明理由 点评 本题考查了旋转的性质 全等三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 熟练掌握旋转的性质 并能进行推理论证是解决问题的关键 相似多边形与位似图形 例4 2015 漳州 如图 在10 10的正方形网格中 点a b c d均在格点上 以点a为位似中心画四边形ab c d 使它与四边形abcd位似 且位似比为2 1 在图中画出四边形ab c d 2 填空 ac d 是 三角形 等腰直角 解 1 如图所示 2 ac 2 42 82 16 64 80 ad 2 62 22 36 4 40 c d 2 62 22 36 4 40 ad c d ad 2 c d 2 ac 2 ac d 是等腰直角三角形 故答案为等腰直角 点评 画位似图形的一般步骤为 确定位似中心 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点 根据相似比 确定能代表所作的位似图形的关键点 顺次连接上述各点 得到放大或缩小的图形 同时考查了勾股定理及其逆定理等知识 熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键 对应训练 4 2014 营口 如图 在平面直角坐标系中 abc的三个顶点坐标分别为a 2 1 b 1 4 c 3 2 1 画出 abc关于y轴对称的图形 a1b1c1 并直接写出c1点坐标 2 以原点o为位似中心 相似比为1 2 在y轴的左侧 画出 abc放大后的图形 a2b2c2 并直接写出c2点坐标 3 如果点d a b 在线段ab上 请直接写出经过 2 的变化后点d的对应点d2的坐标 解 1 如图 c1点坐标为 3 2 2 如图 c2点坐标为 6 4 3 如果点d a b 在线段ab上 经过 2 的变化后d的对应点d2的坐标为 2a 2b 审题视角三角形内从两个顶点出发 分别与其对边相交的线段 它们又相交于一点 这时 三角形的两边 上述两条相交线段均被有关分点分成不同的线段比 这些线段的比之间存在相互依存和制约的关系 知道其中任意两条线段被分点分成的比 就可以求出其他任一线段被分点所分成的比 这一问题的解决办法 主要是利用平行线 作辅助线 辅助线的作法 主要是过三角形边上的点作欲求分比线段的平行线 构成两对相似三角形 本题可以过点e作eg cd交ab于点g 则有 beg bcd ado age 本题也可过点d作ae的平行线 同样也可以求得相关的比值 答题思路第一步 审题 理解问题 清楚问题中的已知条件与未知结论 第二步 过三角形边上的点作欲求分比线段的平行线 构成两对相似三角形 第三步 根据相似三角形的性质 得出与欲求分比线段相关联的两线段的比值 第四步 根据比例的性质逐步求得欲求分比线段的比值 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点 完善解题步骤 剖析 1 此题中 rt abc与rt adc中 acb adc 90 b可能与 acd相等 也可能与 cad相