眼科病床的合理安排模型.doc

眼科病床的合理安排模型 摘要： 本文针对眼科病床的安排问题，首先提出了模型的评价指标：（1）对于每一个病人，他考虑的是门诊到出院的时间最短，（2）医院要考虑充分利用现有资源，希望在同等时间内安排的入院人数尽可能多，（3）考虑到社会的公平性，原则上先门诊登记先入院治疗，且在安排住院的过程中，应该考虑不同类型病人队列长度都减少。本文提出了无效等待时间概念，即病人在入院时，由于手术时间的安排原因，不得不在医院多住的天数。阐述了评价指标（1），（2）达到最优就等价于无效等待时间最少。为了确定最优的病人入院安排时间表，通过无效等待时间最小原则，经分析计算，我们建立了优先选取入院病人的原则。为了兼顾社会的公平性，我们确立了候选病人数的公平选取指标，即每次选取70人作为候选病人对象，由此得到本文提出的以无效等待时间为最少且兼顾社会公平的入院的时间安排表。 通过数据结果分析，我们的安排入院结果，能保证在相同的时间内入院人数比本试题中给出的结果提高约10%。我们根据试题中给出的当时住院病人及等待住院病人的统计情况，依据本文给出的方法，分析了手术至出院的日期分布表，通过计算机模拟，我们得到了具体的入院时间区间。在确定具体入院时间后，得到了手术以及出院安排表。对于给出的安排表，充分说明了本文给出的方法，在确定病人门诊时即告知其大致入住时间区间的有效性和可行性。针对在住院部对周六、周日不安排手术的要求，我们重新建立了优先选取入院病人的安排表，并针对白内障手术日期安排在星期一、三或星期二、四或星期三、五，对病人安排表重新安排。通过计算分析，我们知道白内障手术日期安排在星期一、三仍是最优的。从便于管理的角度来说，对问题五我们提出的方案为当外伤病床数不够时，依据白内障、青光眼病、视网膜疾病在床数大致固定的情况下，可挪用他们的病床到外伤病房。若进院的外伤人数比出院人数多，此时顺延优先安排外伤病人，同时其他病人不得转入外伤病房的原则。利用优化方法，我们得到了外伤、白内障、青光眼和视网膜疾病病床数，和平均逗留时间分配表。关键词：无效等待时间；优先选取原则；社会公平性1. 问题的重述1.背景医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。2. 问题问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二模型的条件和假设 1.每位白内障患者的病人的术前准备时间需要1-2天。其他眼科疾病（青光眼和视网膜疾病）的病人的术前准备时间需要2-3天。外伤患者属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 2.考虑到手术医生的安排问题，并且白内障患者手术的时间只能安排在星期一和星期三。 3.医院安排的入住时间和患者实际的入住时间是相符合的，不存在推迟住院或者推迟出院的患者。 4.双眼白内障患者的手术时间只能是周一先做一只，周三再做一只。 5.在有病人排队的情况下，医院床位不会空着。三符号的约定B：i=1，2代表白内障单眼患者和白内障双眼患者，j（j=1，2）分别代表此类患者需要的术前准备时间是j天。E：k(k=2，3)代表其他（青光眼和视网膜疾病）种类的患者需要k天术前准备时间。4 问题的分析和解答1. 评价指标体系 通过对“眼科病床的合理安排”试题的分析，我们建立了如下评价指标体系。（1） 对于每一个病人，他考虑的是门诊到出院的时间最短。（2）医院要考虑充分的利用现有资源，希望在同等时间内安排的入院人数的尽可能的多。（3）考虑到社会的公平性，原则上先门诊登记先入院治疗。且在安排住院的过程中，应该考虑不同类型病人队列长度都减少。 由于病人从门诊到出院可分为三个阶段，即门诊时间至入院时间、入院时间至第一次手术时间、第一次手术时间至出院时间。因为病人的第一次手术到出院时间是由病人的病情与医院的医疗状况决定，我们不对它进行优化。 因为门诊时间至入院时间和入院时间至第一次手术时间是相互关联的，由于要缩短门诊时间至入院时间，只有提供更多的床位数，而医院在保持现有规模的情况下，只有缩短入院时间至第一次手术时间，才能使得门诊时间至出院时间最短。因此关键要优化入院时间至第一次手术时间，所以，解决指标体系（1）、（2）问题就等价于入院时间至第一次手术时间最短。由于病人住院至第一次手术需要一定的时间进行手术前的准备工作，我们把必须等待时间规定为有效等待时间。又由于病人在入院时，因为手术时间的安排原因，不得不在医院多住的天数，我们把这段时间定义为无效等待时间。无效等待时间的含义是：从病人的入院到第一次手术的时间减去术前必需的等待时间。因此，缩短无效等待时间等价于缩短病人住院至第一次手术时间，所以评价指标（1）、（2）达到最优就等价于无效等待时间最少。例如，视网膜疾病或青光眼病人在星期一入院时，由于手术时间必须安排在星期四，因此他在医院必须先住3天，由于其中2天是手术前必住天数，因此，他在医院有效等待时间为2天，无效等待时间为1天。如果仅考虑评价指标（1）、（2）的最优，可能会导致先登记的病人无法先入院治疗，可能会有损社会的公平性。但如果仅考虑社会的公平性，可能会导致评价指标（1）、（2）不能达到最优，因此在实际建模过程中，要兼顾评价指标（1）、（2）与（3）的关系。2.对本题中该住院部病床安排模型的评价针对前文中的无效等待时间的概念，我们统计一下原始数据表中各类型病人入院时间与第一次手术的时间之间的平均间隔。表示i类病人入院至第一次手术的时间间隔，j表示这类病人的序号(按门诊先后顺序)。表示原始数据表中i类病人的总人数，则平均第i类病人入院至手术平均等待时间为= ，见表1。 表1： 必要术前准备与入院至手术平均时间 单位：天疾病类型白内障其他眼科疾病外伤必要术前准备时间1-22-31入院至手术平均时间3.002.381可见每位白内障患者平均花费1天的无效等待时间，这在很大程度上增加了病人的时间和经济上的负担，同时也浪费了医院的资源。所以这样的模型安排是不是最好的。2. 对问题二的分析 （1）入院到第一次手术时间的确定 假设医院在每天8：009：00通知病人入院，那么病人必须在隔天8：009：00到医院入住，入住的当天就规定为病人在医院入住的第1天，该天作为手术前的准备时间。根据条件可知白内障、白内障(双眼)病人住院1-2天后就可进行手术，同时视网膜疾病或青光眼病人住院2-3天后就可进行手术。考虑到手术时间安排，对在不同日期进入医院的病人，则顺延手术时间。例如：白内障病人星期一住院，由于手术时间为星期三，因此他入院到做第一次手术时间为2天。 （2）无效等待时间 无效等待时间：病人在入院时，由于手术时间的安排原因，不得不在医院多住的天数。分析数据得到表2。表2：无效等待时间表 星期 等待时间疾病类型白内障单眼（B11）白内障双眼（B21）其他（E2）白内障单眼（B12）白内障双眼（B22）其他（E3）星期一161050星期二050440星期三440330星期四330220星期五220111星期六111000星期日000161 例如，星期一的时候B21入院了，经过一天的术前准备时间，到了星期二，因为白内障患者的手术只安排在星期一和星期三，所以B21只能等到下个星期一才能做手术，即无效等待时间为6天。 （3）优先选取原则 无论何时享有第一优先权的都是外伤人员。由表1知道，从横向的角度来看：同一天的优先权的判断是根据当天的无效等待时间最小。但如果遇到几个无效等待时间相等的并且都最小，选出这些列数，然后从纵向的角度来看，即从这天与第一次遇到非零的数的时间差和非零数的大小所决定的。 例如：星期一的优先入院权是这样确定的：从横向的角度来看，最优入院的只能在B12和E3中挑出来，然后再从纵向的角度看，B12在星期二无效等待时间是“4”，所以星期一的最优先入院的是B12。接着是E3,回到表1的周一这一行，可以看到，次优入院的B11和E2，同样的继续进行纵向比较，B11在星期三的无效等待时间是“4”，所以B11优于E3入院。然后是B22和B21，其无效等待时间是“5”“6”。同样的，我们可以得到如下表3。表3：各类患者的入院的优先级（左边优先权高于右边）星期入院的优先级星期一外伤，B12,E3,B11,E2,B22,B21星期二外伤，B11,E3,E2,B22,B12,B21星期三外伤，E3,E2,B22,B12,B21,B11星期四外伤，E3,E2,B22,B12,B21,B11星期五外伤，E2，B22,B12,E3,B21,B11星期六外伤，B22,B12,E3,B21,B11,E2星期日外伤，B21,B11,E2,B12,E3,B22（4）第二天拟住院病人数的计算方法观察原始数据，分析“入院时间”和“出院时间”，客观上说安排某一天入院的人数与同一天出院的人数是相等的。从原始数据表中的“入院时间”我们可以看到除了外伤人员外，任何患者的入院时间都是从7月25日后的时间。这类患者需要的是在7月25日后出院，但住院时间在25日前，因为这个数据是截取下来的。原数据表中未提供这些病人的出院资料，但我们可以从数据表中推算出初始出院后可提供床位数。根据原始表，经过统计分析可知在7月25日前住院病人（除外伤病人外）在8月7日已全部出院，因此在8月7日以后，计算第二天拟住院病人数时，只要根据新出院时间表中出院人数来确定即可。在7月25日至8月7日必须根据初始安排的人员数、以及按照无效等待时间最短而得到的新的出院时间确定。 例如：7月25日初始入院的人数为4人，由于此4人不可能在26日出院，因此26日的可入院人数就是原初始表中的8人。但由于按照我们的选取方法，在7月26日住院的病人可能提前住院（或可能推后住院），此时他的出院时间可能提前（或推后），由于病人的住院天数至少3天，因此在计算7月30日的入院人数时，必须要考虑到新的出院时间。 （5） 候选病人数的公平选取指标 根据从2008-07-13到2008-09-11的病人信息，由于无效等待时间以一个星期为周期，所以依据平均每个星期入院人数作为候选入院人数。每个星期的入院人数为平均到60-70人，因此我们可以选取60，70，80人作为候选人数，但为了兼顾到社会公平性，所以我们在实际计算中选取70人作为候选病人按照不同候选人数，我们计算了在同一时间段的住院人数，可得如下表4：表4：选不同候选安排入院病人数时的被安排住院人数 单位：人候选人数原始选60选70选80选85选90选100选1107-25至8-18安排住院人数211230232233235236231229其中表格中人数表示从7月25日到8月18日的住院病人数。当候选住院病人数由70人降为60人时资源的使用效率有明下降，而公平性提高不多，又当候选住院病人数从70增加到110时，资源的使用效率增加不多，而此时社会的公平性可能有较大的减少，因此我们选取70人作为候选住院病人数。（6）候选住院病人的选取方法每次选取70位病人作为候选入院病人并按门诊登记序号进行排序。根据无效等待时间最短原则兼顾先来先服务的原则，结合第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。例如：假设在70病人中有12人患有白内障，18人患有白内障(双眼)，40人患有视网膜疾病或青光眼疾病。若假设拟出院病人数为10人，若在星期一、二，医院应该通知10个白内障病人住院；若在星期三、四、五就应该通知10个视网膜疾病或青光眼住院；若在星期六、天就应该通知10个白内障(双眼)病人住院。若假设拟出院病人数为14人，若在星期一、二，优先安排12名白内障病人，再安排2名视网膜疾病或青光眼病人住院。若在星期三、四、五，优先安排14名视网膜疾病或青光眼疾病病人。若在星期六、天就应该通知14个白内障(双眼)病人住院。若由于拟出院病人数为较少，按照时间优先以及安排优先的原则下，对剩余的病人数放到下一次的候选病人中，重新进行选择。（7）原始表更新与新的出院表生成首先找出原始表中的外伤病人，根据外伤病人门诊时间，按照时间顺序确定外伤病人表。将外伤病人从原表中剔除，得到表B。从表B中，按照门诊时间顺序选取70人，根据选取病人的类别得到入院病人和住院时间，由此产生新的出院表，新的出院表只需记录原序号和新的出院时间表B。以此类推，当候选病人数小于70人，停止选取。表B中的新的出院时间在每次迭代中对于计算第二天拟住院病人数时起着重要作用。在这个过程中首先应该增加一个列“手术到出院时间”，这个列记录着各类病人的的手术到出院的时间，因为这里的时间是受医院的设备以及病人的身体恢复快慢的属性，这列时间是不会发生变化的。通过分析计算我们得到了按照本文模型安排的新的出院时间表，见附录1。从表中可以得到，选取在相同的时间，按本文中模型安排病人住院，可以提高同等时间内床位接纳病人的数目。不妨选从7月25日到8月18日的住院病人数分析，得出的入院人数比原试题中增加约10%，如表4。 3、问题三的分析计算机模拟以及对模型的验证根据原始数据表可以统计出每一类的患者“手术到出院”的时间，这样在进行计算机模拟时可以知道系统中的随机时间的概率分布，这个分布可以从实际统计资料中分析得出的，统计结果如下表5。表5：各类患者的“手术到出院”时间类型人数天23456789101112131415白内障单213714白内障双165313青光眼1310128212视网膜疾病3271611181511954外伤3从表中可以统计出来（需要的多组数据的）（1）在这个具有随机因素的系统设计出计算机模拟模型之后，不能只将模型的单次模拟运行结果看作问题的真实答案。事实上，模拟的输出结果是分布特征位置的随机变量，每次的运行结果仅仅是对该随机变量所有观察值总体的一次抽样，对总体的代表行很差。（2）同样的，还有一个问题，对于上述的模拟，可能会造成这样的现象，我模拟出来的入院时间可能会比门诊时间早，所以这点是不对的，将不予以考虑。（3）计算机模拟原始数据表中出院日期情况见附录2。（4）计算机模拟原始数据表中等待入院的病人的入院安排情况见附录3，根据附录3，病人在门诊的时候可以知道自己大致入住时间区间。4、问题四的分析 若住院部周六周日不安排手术，而患者在周六周日前来住院，那么不同患者的无效等待时间会发生变化。具体的时间变化如表6。表6：无效等待时间表星期患病类型白内障单眼（B11）白内障双眼（B21）其他（E2）白内障单眼（B12)白内障双眼（B22）其他（E3）星期一161050星期二050440星期三440330星期四333222星期五222111星期六111000星期天000161因此得到的优先级表7表7：入院优先级星期最优入院患者类型星期一外伤，B12,E3,B11,E2,B22,B21星期二外伤，B11,E2,E3,B22,B12,B21星期三外伤，E2,E3,B22,B12,B21,B11星期四外伤，B22,B12,E3,B21,B11,E2星期五外伤，B22,B12,E3,B21,B11,E2星期六外伤，B22,B12,E3,B21,B11,E2星期日外伤，B21,B11,E2,B12,E3,B22当星期二和星期四是白内障看病的时间 表8：无效等待时间表星期患者类型白内障单眼（B11)2白内障双眼(B21)3其他(E2)4白内障单眼(B12)5白内障双眼(B22)6其他（E3）7星期一000161星期二161050星期三050442星期四442331星期五331220星期六220111星期天111000 当星期三和星期五是白内障看病的时间 表9：无效等待时间表患者类型星期B11B21E2B12B22E3星期一111000星期二000163星期三163052星期四052441星期五441330星期六330220星期天220111通过计算分析，若该住院部周六、周日不安排手术，按照无效等待时间最小原则，医院的手术时间安排不必作出调整。具体比较见附录4。5、 问题五的分析 假设总的床位数为个。设白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤的床位数分别为，个，且+=。选定个病人的门诊时间，作为我们的等待住院病人。首先，病人的类型分成四类，按照他们的门诊进行排序。根据假设的病床数，参照问题三中的研究方法，计算出每个病人的入院时间，第一次手术时间和出院时间，计算出每类病人的总逗留时间（含等待入院及住院时间），分别设为，则所有病人在系统内的平均逗留时间为，求为最小值时的床位分配数。若将各类病人占用病床的比例大致固定，要求系统内的平均逗留时间最短，我们给出的方案为当外伤病床数不够时，依据白内障、视网膜疾病、青光眼病床数大致固定的情况下，挪用他们病床原则，若进院的外伤人数比出院人数多，此时顺延优先安排外伤病人。根据从2008-07-13到2008-09-11的病人信息，我们得到了病床数的分配表10。经分析研究，虽然在外伤病床数为10时，平均逗留时间最短。但同外伤病床数较小一点的偏差平均逗留时间每人约0.3天，所以根据实际情况，我们可以适当减小外伤病床数。 表10 ：病床数分配外伤的床位白内障床位青光眼床位视网膜疾病床位平均逗留时间（天）13011377.8230