数学奥林匹克高中训练题(204).pdf

4 2 中 等 数 学 熬 滁 蓖寓 删艨 2 0 4 中图分类号 C 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 6 0 6 0 0 4 2 0 5 第 一 试 一 填空题 每小题 8 分 共 6 4 分 1 函数厂 一 2 的值域为 2 如 图1 在 4 6的方 格 表 中 单 位格 为 红格 在此 方格表 中包 含红 格 的矩形共有 个 图1 3 已知 a b C 为 A B C的三边长 a b c t 二二 二二二二 口 b b c c 口 则 t 的取值范围是 4 已知实数 口 b 满足 a r c s i n 1 一 a r c s i n b 一 1 则 a r c c o s a 一 b 5 方 程 组 i x e ln 三y 的 解 为 6 已知集合 T 1 2 2 0 1 0 对于 的每一个非空子集的所有元素 计算它们乘 积的倒数 则所有这样倒数的和为 7 已知直线 y 6与双曲线 y k 2 交于点 m 一 1 n 2 则 k o k 的解集为 8 已知内心为 一1 7 的 R t O A B的 三个顶点均为整点 坐标原点 0为直角顶点 则满足条件的 R t O A B的个数为 二 解答题 共 5 6分 9 1 6分 若复数 满足 4 z 一 n 一3 i z 一 加 一3 i z 1 4 0 求t f 1 的 取 值 范 围 z 1 0 2 0分 两两外切且半径分别为 1 2 3的三个实心木球 球 0 球 0 球 0 夹在 V 字型木架之间 每个球与 V字型木架两 个面相切 求 V字型木架两个面 的夹角的 度数 1 1 2 0分 定义在 R上的函数厂 满足 1 9一 9 若 O 0 f 0在 区间 一 4 0 2 0 4 0 2 0 上有 11 个根 求 的最小值 加试 一 4 0分 如 图2 o D与o D 内 切 oD的内接四边 形 A BC D 的 边 B C C D分别与o0 切于 点 B A D的平 分线与删 交于点 证 明 为 BC D 的内心 图 2 二 4 0 分 设实数 x y z 0 满足 12 7 求 y 上 2 5 的最大值 三 s o分 求所有的素数 P 使得P 一 8 7 p 7 2 9为完全立方数 四 5 0 分 证 明 存在一种给集合 M 2 0 1 6年第 6期 4 3 1 2 2 0 1 0 染五种颜色的方法 使得任 何一个 由集合 的元素组成 的 9项等差数 列均不为单色的 参 考 答 案 第 一 试 一 1 0 1 注意到 1 一 1 一 显然 的定义域为 一 1 1 且 为偶函数 当 0 1 时 1 一 1 一 均为增 函数 于是 f x 为增函数 f x 的值域为 0 1 e P l O 1 2 7 2 由于格 A的上 下 左 右分别有 2条水 平线 3条水平线 3条竖线 4条竖线 含格 A的边所在的直线 故所求矩形的个数为 c 21 乙 31 乙 31 c j 2 x 3 3 x 4 7 2 3 13 口 6 6 c c a I 1 一 口 6 6 c c a 因为I a b I c a b 所以 a一 6 C 2 c 2 c a 6 6 c 2 2 a b 6 c c a a 6 c 2 4 a b 6 c c a 于是 t 2 因此 由前两式得 Y 由后两式得 彳 戈 故 Y 与假设矛盾 因此 类似地 y 故 Y 类似地 Y z 从而 Y 厄 于是 e i e Y e 6 2 0 1 0 注意到 在乘积 1 1 1 1 1 展开式的2 2 o I o 项中 每一项均为正整数的倒 数 也恰为集合 的 2 2 0 1 0 个子集中的一个子 集的数的乘积的倒数 删去 1 这一项 其对应 的子集为空集 于是 所求倒数的和为 2 x 3 4 一l 2 01 0 7 2 显然 k o O时 O 不是不等式 的解 直线Y k o X 6 o 与双曲线Y 的反函 数 分 别 为 与 譬 两 个 反 函 数 的 图 像交于点 P 1 m Q 2 如图3 所示 当 0时 不等 式 化为 观 i 0 察图像知其解为 2 当 0时 不等 式 化 为 一k 2 J 二y 一 1 D I 2 图 3 观察图像知其解为 一 1 综上 解集为 2 8 2 如图4 设 x O A 0 c x O l 中 等 数 学 则 一 又 t a n 卢 7 故 t肌 叫JE 一 一 屋二 一 一 1 t a n JE 一3 J D 戈 图 4 t a n t锄 詈 一 co t 一 1 一 3 4 t a I l 则点 A 3 t 4 t B 4 k 3 k Z 从而 O A 5 t O B 5 k R t O A B的内 切圆半径为 r O s i n 4 5 O 5 又r O A 一 佃 5 t S k 一 5 f 5 5 t 一 2 t 一 2 一 2 2 因为 t k 均为正整数 所以 f J 3 4 或 4 3 因此 满足条件的 R t O A B有两个 二 9 将已知等式变形为 4 n 3 i 3 i石一4 0 z 2 0 0 4 z 3 i 4 3 i z I zl 2 0 1 0 1 4 z 3 i I 1 4 3 i J 设 z 口 b i 口 b R 则 l 4 z 3 i I 一 1 4 3 i I 1 4 a 4 6 3 i I 一I 4 3 b 一 3 a i l 1 6 a 4 b 3 一 4 3 6 一 9 a 7 口 b 一 1 7 I z l 一 1 若 l 4 3 i zI 而式 中 有 l如 3 i I 1 亦推出矛盾 因此 I I 1 令 z e 3 4 i 5 e 贝 IJ t 3 4 i z 3 4 i 5e l 0 5e一 8 a 1 0 c o s 0 一 1 0 1 0 故所求取值范围是 一 1 O 1 0 1 O 设 V字型木架的两个面为 与 JE 的交线为 Z 三个球心所在的面为 设 一Z 一 0 贝 IJ z 一 z 一 J 一 z 一 记点 0 0 0 在面 上的投影分别为 0 D D 注意到 01 02 3 01 03 4 02 03 5 Ol O 1 D 2 0 2 0 3 0 3 面 0 1 o l o o 与直线 Z 交于点 丝 由 MO l D MO 3 0 得 01 M 2 03 6 若面 0 D D D 3 与直线 Z 交于点 如图 5 过点 D 3 作 0 3 P上 Z 于 点 P 联结 P 则 D P上 Z 从 而 0 3P O 罢 易求 D 3 N 1 5 在 D 1 0 2 0 3 中 由余 弦定理得 c s D D D s i n D D 3 D 在 M N O 中 由余弦定理得 MN 3 叉 s MN o3 P 1 03M 03 Ns i n 0l D3 D2 于是 s P 1 8 图 5 2 0 1 6年第 6期 4 5 s i n 0 n 0 3 P O 0 2a r e s i n 1 1 用4一 替换 1 9一 中的 得 5一 5 于是 5为 的对称轴 类似地 9也为 的对称轴 又 1 一 1 9 一 1 8 则 8 为 的一个周期 因为 0 0 所以 8 0 厂 2 5 3 厂 5 3 8 0 则厂 在区间 8 8 k 1 k z 内至少有两个根 而 4 0 2 0 8 5 0 2 4 故 0在 区 间 0 4 0 2 0 内至少有 5 0 2 X 2 2 1 0 0 6个 根 在 区间 一 4 0 2 0 0 内至少有 5 0 2 2 1 0 0 4个根 因此 0在 区间 一 4 0 2 0 4 0 2 0 内至少有 1 0 0 6 1 0 0 4 2 0 1 0个根 可构造出一个 锯齿型 函数 如图6 满足上述所有条件 其在区间 一 4 0 2 0 4 0 20 内有2 0 1 0个根 除此之外不再有其他的棍 J I 1 一 8 6 D 2 5 8 1 0 元 图 6 故所求 的最小值为 2 0 1 0 加试 一 如图 7 联结 C O 与 MN交于点 延长 C O 与oD交于点 过点A作oD的 直径 A F 联结 A C M D E 0 由相交弦定理得 ol C o E 0t A 0 F 图 7 0 E O A A F D s i n B C D O E A F D s i n 1 曰 c D 又 D O Ms i n 1 c D O As i n 1 j 5 cD 则 I E 0 E 0 AF s i n BC D DE 类似地 E 加 故 为 B C D的内心 在 R t 0 MC中 由射影定理得 0 t M 0t I 0 t c 于是 O A 0 0 C 故 A D C O A O A I A c D 注意到 B t 9 0 o一 0 一 AC B 9 0 一 Bc o 9 0 一 1 j 5 c D 类似地 D A I 9 0 一 1 B C D 则 B M D M 即 平分 B A D 从而 点 与 J 重合 因此 为 B C D的内心 二 令 m 5 一 m o m 则 厂 m 詈 2 d 5 一 5 一 巾 等 数 学 5 一 m 5 一 m I 2 于是 m 4 2 从而 0 m 3 5 一 m 2 6 当且仅当 时 以上各式等号成立 故 南 南 南 v 4 6 3 6 3 6 3 去 4 学 于 是 走 去 一 学 当且仅当 Y 时 以上各式等 号成立 因 此 所 求 最 大 值 为 一 半 三 当 P 2 3 5 7时 P 一8 7 p 7 2 9的 值依次 为 5 5 9 4 7 7 3 1 9 1 6 9 均不 为完全立 方数 因此 p 1 1 设 P 一8 7 p 7 2 9 口 口 N 则 口为奇数 当 17 为小于 1 7的奇数时 可一一检验 不存在符合题意的素数 P 因此 口 1 7 注意到 P P一 8 7 口 9 口 9 a 8 1 由 口 p 一 8 7 p 7 2 9 p 故 P 一定为 口 9 D 8 1 的因子 从而 O 2 9 a 8 1 P一 8 7 k 0 9 其 中 2 将式 代人式 消去P得 口 9 a 8 1 k 2 a 8 7 k 一 9 k k 口 9 口 9 a 9 3 川8 口 1 8 D 否则 由式 导出矛盾 令 k C m m 2 7 m Z 代人式 得 1 8 a 8 1 m a 8 7 k 一 9 m 显然 3 I 由式 且 3十 P 知 3十 因此 3 I 玩 当 m 1 2时 由式 得 口 1 5 7 1 3 此时 P 2 0 1 1 素数 其他情形不符合题意 综上 符合题意的P为 2 0 1 1 四 集合M的不同五色染色数为5 m 令 为集合 中项成等差数列的数 目 则每一种染色中要包含单色的成等差数列的 9项总数小于 5 A 5 m 若 5 A 5 啪一 A 5 0 吆 5 啪 即A 5 则题设的性质可以满足 设等差数列的第一项为 k 公差为