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文档简介
第四章 大数定律与中心极限定理4.1 设为退化分布:讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数?解:(1)(2)不是;(3)是。4.2 设分布函数如下定义:问是分布函数吗?解:不是。4.3设分布函数列弱收敛于分布函数,且为连续函数,则在上一致收敛于。证:对任意的,取充分大,使有对上述取定的,因为在上一致连续,故可取它的分点:,使有,再令,则有 (1)这时存在,使得当时有 (2)成立,对任意的,必存在某个,使得,由(2)知当时有 (3) (4)由(1),(3),(4)可得,即有成立,结论得证。4.5 设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与,证明这时必有。证:对任意的有,故即对任意的有成立,于是有从而成立,结论得证。4.6 设随机变量序列,分别依概率收敛于随机变量与,证明:(1);(2)。证:(1)因为故即成立。(2)先证明这时必有。对任给的取足够大,使有成立,对取定的,存在,当时有成立这时有 从而有由的任意性知,同理可证,由前述(1)有故,结论成立。4.7 设随机变量序列,是一个常数,且,证明。证:不妨设对任意的,当时有,因而。于是有 。结论成立。4.9 证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为:证:充分性,令,则,故是的单调上升函数,因而,于是有 对任意的成立,充分性得证。必要性,对任给的,令,因为,故存在充分大的使得当时有,于是有 ,由的任意性知,结论为真。4.10 设随机变量按分布收敛于随机变量,又数列,证明也按分布收敛于。证:先证明按分布收敛于。时为显然,不妨设(时的修改为显然),若,的分布函数分别记作,与,则=,当是的连续点时,是的连续点,于是有成立,结论为真。由4.12知,再由4.6(1)知,于是由前述结论及4.11知按分布收敛于,结论得证。4.11设随机变量序列按分布收敛于随机变量,随机变量序列依概率收敛于常数,证明按分布收敛于。证:记的分布函数分别为,则的分布函数为,设是的连续点,则对任给的,存在,使当时有 (1)现任取,使得都是的连续点,这时存在,当时有 (2) (3)对取定的,存在,当时有 (4)于是当时,由(1),(2),(4)式有又因为于是由(1),(3),(4)式有 (6)由(5),(6)两式可得由的任意性即知按分布收敛于,结论得证。4.12设随机变量序列按分布收敛于,随机变量序列依概率收敛于,证明.证:记的分布函数分别为,对任给的,取足够大,使是的连续点且因为,故存在,当时有令,因为,故存在,当时有而其中,当时有因而,由的任意性知,结论为真。4.13 设随机变量服从柯西分布,其密度函数为证明。证:对任意的,有故。4.14 设为一列独立同分布随机变量,其密度函数为其中为常数,令,证明。证:对任意的,为显然,这时有对任意的,有故成立,结论得证。4.15 设为一列独立同分布随机变量,其密度函数为令,证明。证:设的分布函数为,有这时有对任意的,有故成立,结论得证。4.17设为一列独立同分布随机变量,都服从上的均匀分布,若,证明。证:这时也是独立同分布随机变量序列,且由辛钦大数定律知服从大数定理,即有,令,则是直线上的连续函数,由4.8题知结论成立。4.18设为一列独立同分布随机变量,每个随机变量的期望为,且方差存在,证明。证:已知,记,令,则对任给的,由契贝晓夫不等式有故,结论得证。4.19设为一列独立同分布随机变量,且存在,数学期望为零,证明。证:这时仍独立同分布,且,由辛钦大数定律知结论成立。4.21 设随机变量序列按分布收敛于随机变量,又随机变量序列依概率收敛于常数,则按分布收敛于。证:由4.7题知,于是由4.12题有,而按分布收敛于(见4.10题的证明),因而由4.11题知按分布收敛于,结论成立。4.22设为独立同分布的随机变量序列,证明的分布函数弱收敛于分布。证:这时也为独立同分布随机变量序列,且,由辛钦大数定律知,又服从分布,当然弱收敛于分布,由4.21题即知按分布收敛于分布,结论得证。4.23 如果随机变量序列,当时有,证明服从大数定律(马尔柯夫大数定律)证:由契贝晓夫不等式即得。4.26 在贝努里试验中,事件出现的概率为,令证明服从大数定律。证:为同分布随机变量序列,且,因而,又当时,与独立,由4.24知服从大数定律,结论得证。4.28设为一列独立同分布随机变量,方差存在,又为绝对收敛级数,令,则服从大数定律。证:不妨设。否则令,并讨论即可。记,又。因为,故有由4.23知服从大数定律,结论得证。4.30设为一列独立同分布随机变量,共同分布为试问是否服从大数定律?答:因为存在,由辛钦大数定律知服从大数定律。4.31设为一列独立同分布随机变量,共同分布为其中,问是否服从大数定律?答:因为存在,由辛钦大数定律知服从大数定律。4.32 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率,为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率的差小于,问至少应该做多少次试验?解:令据题意选取试验次数应满足,因为比较大,由中心极限定理有故应取,即,但图钉底部重,尖头轻,由直观判断有,因而,故可取。4.33 一本书共有一百万个印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为0.0001,校对时每个排版错误被改正的概率为0.9,求在校对后错误不多于15个的概率。解:令因为排版与校对是两个独立的工序,因而是独立同分布随机变量序列,令,其中,由中心极限定理有其中,查分布表即可得,即在校对后错误不多于15个的概率。4.34 在一家保险公司里有10000个人参加保险,每人每年付12元保险费,在一年里一个人死亡的概率为0.006,死亡时家属可向保险公司领得1000元,问:(1)保险公司亏本的概率多大?(2)保险公司一年的利润不少于40000元,60000元,80000元的概率各为多大?解:保险公司一年的总收入为120000元,这时(1) 若一年中死亡人数,则公司亏本;(2) 若一年中死亡人数,则利润中死亡人数元;若一年中死亡人数,则利润中死亡人数元;若一年中死亡人数,则利润中死亡人数元;令则,记已足够大,于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为(1)同理可求得(2)4.35 有一批种子,其中良种占,从中任取6000粒,问能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差多少?解:令则,记,其中,据题意即要求使满足。令,因为很大,由中心极限定理有由分布表知当时即能满足上述不等式,于是知,即能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差不超过。4.36 若某产品的不合格率为0.005,任取10000件,问不合格品不多于70件的概率等于多少?解:令则,记,其中,记,由中心极限定理有即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。4.37 某螺丝钉厂的不合格品率为0.01,问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95?解:令则,记,其中尚待确定,它应满足,由中心极限定理有查分布表可取,由此求得,即在一盒中应装103只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95。4.39 用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。证:设独立同二项分布,即的特征函数为,记的特征函数记作,因为,故,于是有而是参数为的普哇松分布的特征函数,由特征函数的逆极限定理即知定理成立,证毕。4.40 设随机变量服从-分布,其分布密度为证:当时,的分布函数弱收敛于分布。证:的特征函数为,易知的特征函数为而因而有故,所以相应的分布函数弱收敛于分布,命题得证。4.41设为一列独立同分布随机变量,且服从上的均匀分布,证明对成立中心极限定理。证:易知,于是故,对任意的,存在,使当时有,因而,从而当,若,由此知即林德贝尔格条件满足,所以对成立中心极限定理,结论得证。4.42 设皆为独立同分布随机变量序列,且独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于正态分布。
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