大数定律与中心极限定理.doc

第四章 大数定律与中心极限定理4.1 设为退化分布：讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？解：（1）（2）不是；（3）是。4.2 设分布函数如下定义：问是分布函数吗？解：不是。4.3设分布函数列弱收敛于分布函数，且为连续函数，则在上一致收敛于。证：对任意的，取充分大，使有对上述取定的，因为在上一致连续，故可取它的分点：，使有，再令，则有 （1）这时存在，使得当时有 （2）成立，对任意的，必存在某个，使得，由（2）知当时有 （3） （4）由（1），（3），（4）可得，即有成立，结论得证。4.5 设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有。证：对任意的有，故即对任意的有成立，于是有从而成立，结论得证。4.6 设随机变量序列，分别依概率收敛于随机变量与，证明：（1）；（2）。证：（1）因为故即成立。（2）先证明这时必有。对任给的取足够大，使有成立，对取定的，存在，当时有成立这时有 从而有由的任意性知，同理可证，由前述（1）有故，结论成立。4.7 设随机变量序列，是一个常数，且，证明。证：不妨设对任意的，当时有，因而。于是有 。结论成立。4.9 证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为：证：充分性，令，则，故是的单调上升函数，因而，于是有 对任意的成立，充分性得证。必要性，对任给的，令，因为，故存在充分大的使得当时有，于是有 ，由的任意性知，结论为真。4.10 设随机变量按分布收敛于随机变量，又数列，证明也按分布收敛于。证：先证明按分布收敛于。时为显然，不妨设（时的修改为显然），若，的分布函数分别记作，与，则=，当是的连续点时，是的连续点，于是有成立，结论为真。由4.12知，再由4.6(1)知，于是由前述结论及4.11知按分布收敛于，结论得证。4.11设随机变量序列按分布收敛于随机变量，随机变量序列依概率收敛于常数，证明按分布收敛于。证：记的分布函数分别为，则的分布函数为，设是的连续点，则对任给的，存在，使当时有 （1）现任取，使得都是的连续点，这时存在，当时有 （2） （3）对取定的，存在，当时有 （4）于是当时，由（1），（2），（4）式有又因为于是由（1），（3），（4）式有 （6）由（5），（6）两式可得由的任意性即知按分布收敛于，结论得证。4.12设随机变量序列按分布收敛于，随机变量序列依概率收敛于，证明.证：记的分布函数分别为，对任给的，取足够大，使是的连续点且因为，故存在，当时有令，因为，故存在，当时有而其中，当时有因而，由的任意性知，结论为真。4.13 设随机变量服从柯西分布，其密度函数为证明。证：对任意的，有故。4.14 设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为其中为常数，令，证明。证：对任意的，为显然，这时有对任意的，有故成立，结论得证。4.15 设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为令，证明。证：设的分布函数为，有这时有对任意的，有故成立，结论得证。4.17设为一列独立同分布随机变量，都服从上的均匀分布，若，证明。证：这时也是独立同分布随机变量序列，且由辛钦大数定律知服从大数定理，即有，令，则是直线上的连续函数，由4.8题知结论成立。4.18设为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为，且方差存在，证明。证：已知，记，令，则对任给的，由契贝晓夫不等式有故，结论得证。4.19设为一列独立同分布随机变量，且存在，数学期望为零，证明。证：这时仍独立同分布，且，由辛钦大数定律知结论成立。4.21 设随机变量序列按分布收敛于随机变量，又随机变量序列依概率收敛于常数，则按分布收敛于。证：由4.7题知，于是由4.12题有，而按分布收敛于（见4.10题的证明），因而由4.11题知按分布收敛于，结论成立。4.22设为独立同分布的随机变量序列，证明的分布函数弱收敛于分布。证：这时也为独立同分布随机变量序列，且，由辛钦大数定律知，又服从分布，当然弱收敛于分布，由4.21题即知按分布收敛于分布，结论得证。4.23 如果随机变量序列，当时有，证明服从大数定律（马尔柯夫大数定律）证：由契贝晓夫不等式即得。4.26 在贝努里试验中，事件出现的概率为，令证明服从大数定律。证：为同分布随机变量序列，且，因而，又当时，与独立，由4.24知服从大数定律，结论得证。4.28设为一列独立同分布随机变量，方差存在，又为绝对收敛级数，令，则服从大数定律。证：不妨设。否则令，并讨论即可。记，又。因为，故有由4.23知服从大数定律，结论得证。4.30设为一列独立同分布随机变量，共同分布为试问是否服从大数定律？答：因为存在，由辛钦大数定律知服从大数定律。4.31设为一列独立同分布随机变量，共同分布为其中，问是否服从大数定律？答：因为存在，由辛钦大数定律知服从大数定律。4.32 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率的差小于，问至少应该做多少次试验？解：令据题意选取试验次数应满足，因为比较大，由中心极限定理有故应取，即，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有，因而，故可取。4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。解：令因为排版与校对是两个独立的工序，因而是独立同分布随机变量序列，令，其中，由中心极限定理有其中，查分布表即可得，即在校对后错误不多于15个的概率。4.34 在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0.006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问：（1）保险公司亏本的概率多大？（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大？解：保险公司一年的总收入为120000元，这时（1） 若一年中死亡人数，则公司亏本；（2） 若一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；若一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；若一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；令则，记已足够大，于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为（1）同理可求得（2）4.35 有一批种子，其中良种占，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差多少？解：令则，记，其中，据题意即要求使满足。令，因为很大，由中心极限定理有由分布表知当时即能满足上述不等式，于是知，即能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差不超过。4.36 若某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？解：令则，记，其中，记，由中心极限定理有即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。4.37 某螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95？解：令则，记，其中尚待确定，它应满足，由中心极限定理有查分布表可取，由此求得，即在一盒中应装103只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95。4.39 用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。证：设独立同二项分布，即的特征函数为，记的特征函数记作，因为，故，于是有而是参数为的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立，证毕。4.40 设随机变量服从-分布，其分布密度为证：当时，的分布函数弱收敛于分布。证：的特征函数为，易知的特征函数为而因而有故，所以相应的分布函数弱收敛于分布，命题得证。4.41设为一列独立同分布随机变量，且服从上的均匀分布，证明对成立中心极限定理。证：易知，于是故，对任意的，存在，使当时有，因而，从而当，若，由此知即林德贝尔格条件满足，所以对成立中心极限定理，结论得证。4.42 设皆为独立同分布随机变量序列，且独立，其中，证明：的分布函数弱收敛于正态分布。