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单自由度系统的振动 2020年2月1日 2 教学内容 单自由度系统自由振动 无阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动简谐激励下的受迫振动基础简谐激励下的受迫振动周期激励下的振动分析瞬态激励下的振动分析 2020年2月1日 3 什么是自由度 在振动过程中任何瞬时都能完全确定系统在空间的几何位置所需要的独立坐标的数目 刚体在空间有6个自由度 三个方向的移动和绕三个方向的转动 如飞机 轮船 质点在空间有3个自由度 三个方向的移动 如高尔夫球 质点在平面有2个自由度 两个方向的移动 加上约束则成为单自由度 单自由度系统 仅需一个独立坐标来描述的系统 注意 对于实际系统 当考虑问题的深度 广度不同时 则可能简化成不同自由度的振动系统 1 1概述 2020年2月1日 4 1 1概述 构成机械振动系统的基本元素 构成振动系统的基本元素有惯性 质量 恢复性 弹簧 和阻尼 阻尼器 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质 阻尼就是阻碍物体运动的性质 从能量的角度看 惯性是保持动能的元素 恢复性是贮存势能的元素 阻尼是使能量散逸的元素 2020年2月1日 5 Modeling Why 分析复杂的实际问题 发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律 把这个实际问题化成一个数学问题 这就称为建模 建模要抓住实际问题的主要因素 模型建立起来了 实际问题化成了数学问题 1 1概述 单自由度系统振动方程 2020年2月1日 6 1 1概述 Modeling 实际系统 有限元模型 离散模型 简化系统 简化系统 连续体模型 对于振动问题的适应性强 应用范围广 能详细给出各种数值结果 并通过图像显示还可以形象地描述振动过程 单自由度系统振动方程 2020年2月1日 7 1 1概述 自由度和广义坐标 牛顿第二定律 质系动量矩定理 机械能守恒定律 D Alembert原理 Lagrange方程 单自由度系统振动方程 2020年2月1日 8 1 1概述 步骤 建立广义坐标作质量元件的隔离体受力分析图建立振动微分方程并整理成标准的形式 单自由度系统振动方程 2020年2月1日 9 1 1概述 Example1 SDOFdampingsystem 单自由度系统振动方程 2020年2月1日 10 1 1概述 SDOFdampingsystem 建立广义坐标 取质量元件沿铅垂方向的位移作为广义坐标x 原点在系统的静平衡位置 向下为正 隔离体受力分析 由力学原理得到 Example2 单自由度系统振动方程 2020年2月1日 11 1 1概述 Pendulum Example3 单自由度系统振动方程 2020年2月1日 12 1 1概述 Pendulum 建立广义坐标 单摆偏离平衡位置的转角 坐标零位在铅垂位置 逆时针方向为正 隔离体受力分析 由动量矩原理得到 Example3 R mg 单自由度系统振动方程 2020年2月1日 13 1 1概述 Vibrationoffluid Example4 单自由度系统振动方程 2020年2月1日 14 1 1概述 Vibrationoffluid 建立广义坐标 设系统平衡时液面的位置为广义坐标的零位 液柱沿直管上升的距离y为广义坐标 受力分析 由D Alembert原理得到 Example4 单自由度系统振动方程 2020年2月1日 15 1 1概述 单自由度振动系统微分方程的一般形式 单自由度系统振动方程 2020年2月1日 16 2020年2月1日 17 力学模型 给图示系统一个初始扰动 便会产生振动响应 其中 s为静变形 数学模型 即 1 2无阻尼系统的自由振动 令 单位 弧度 秒 rad s 则有 固有频率 2020年2月1日 18 求解方程 1 2无阻尼系统的自由振动 令 得到特征方程 有 If 微分方程转变成代数方程 2020年2月1日 19 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 20 1 2无阻尼系统的自由振动 简谐振动 固有频率固有圆频率固有频率 周期 振幅 相位 只与系统本身元件的参数有关 InitialconditionsPhysicalproperties 无阻尼系统的振动特性 2020年2月1日 21 考虑系统在初始扰动下的自由振动 设的初始位移和初始速度为 解得 1 2无阻尼系统的自由振动 零初始条件下的自由振动 2020年2月1日 22 零初始条件下的自由振动 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后 其自由振动是以为振动频率的简谐振动 并且永无休止 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式 有初始位移即转入了弹性势能 有初始速度即转入了动能 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 23 零初始条件下的自由振动 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后 其自由振动是以为振动频率的简谐振动 并且永无休止 初始条件 固有频率从左到右 时间 位置 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 24 固有频率计算的另一种方式 在静平衡位置 则有 对于不易得到m和k的系统 若能测出静变形 则用该式计算是较为方便的 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 25 例 提升机系统 重物重量 钢丝绳的弹簧刚度 重物以的速度均匀下降 求 绳的上端突然被卡住时 1 重物的振动频率 2 钢丝绳中的最大张力 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 26 解 振动频率 重物匀速下降时处于静平衡位置 若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置 则t 0时 有 振动解 静平衡位置 k u W v 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 27 振动解 绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 动张力几乎是静张力的一半 由于 为了减少振动引起的动张力 应当降低升降系统的刚度 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 28 例 重物落下 与简支梁做完全非弹性碰撞 梁长L 抗弯刚度EJ 求 梁的自由振动频率和最大挠度 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 29 解 由材料力学 自由振动频率为 取平衡位置 以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系 静变形 m h 0 l 2 l 2 u 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 30 撞击时刻为零时刻 则t 0时 有 则自由振动振幅为 梁的最大扰度 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 31 例 圆盘转动 圆盘转动惯量I 在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置 扭振固有频率 为轴的扭转刚度 定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩 由牛顿第二定律 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 32 由上例可看出 除了选择了坐标不同之外 角振动与直线振动的数学描述是完全相同的 如果在弹簧质量系统中将m k称为广义质量及广义刚度 则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动 以后不加特别声明时 弹簧质量系统是广义的 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 33 从前面两种形式的振动看到 单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件 惯性元件是感受加速度的元件 它表现为系统的质量或转动惯量 而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件 它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体 同一个系统中 若惯性增加 则使固有频率降低 而若刚度增加 则固有频率增大 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 34 例 复摆 刚体质量m 对悬点的转动惯量 重心C 求 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率 a 0 C 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 35 解 由牛顿定律 因为微振动 则有 固有频率 实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法 若已测出物体的固有频率 则可求出 再由移轴定理 可得物质绕质心的转动惯量 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 36 例 弹簧 质量系统沿光滑斜面做自由振动 斜面倾角300 质量m 1kg 弹簧刚度k 49N cm 开始时弹簧无伸长 且速度为零 求 系统的运动方程 重力角速度取9 8 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 37 解 以静平衡位置为坐标原点建立坐标系 振动固有频率 振动初始条件 初始速度 运动方程 1 2无阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 38 作业1 P44题1 3P45题1 5 2020年2月1日 39 2020年2月1日 40 等效系统 1 3等效单自由度系统 多个质量 弹性 阻尼 元件等效为一个质量 刚度 阻尼 元件 连续系统的质量和弹性等效成一个质量元件和一个弹性元件 单自由度振动系统微分方程的一般形式 平动 转动 2020年2月1日 41 等效系统 1 3等效单自由度系统 1等效刚度计算方法 1从刚度的定义 2等效前后系统势能不变 斜向布置的弹簧 等效弹簧刚度 2020年2月1日 42 等效系统 1 3等效单自由度系统 1等效刚度计算方法 1从刚度的定义 2等效前后系统势能不变 并联和串联弹簧 2020年2月1日 43 等效系统 1 3等效单自由度系统 1等效刚度计算方法 1从刚度的定义 2等效前后系统势能不变 并联弹簧 Parallelsprings 等效弹簧刚度 2020年2月1日 44 等效系统 1 3等效单自由度系统 SeriesSprings 串联弹簧 等效弹簧刚度 1等效刚度计算方法 1从刚度的定义 2等效前后系统势能不变 2020年2月1日 45 等效系统 1 3等效单自由度系统 Example求图示系统对A点的等效质量 Spring lever masssystem 等效前系统的动能 等效后系统的动能 2等效质量等效前后系统动能不变 2020年2月1日 46 作业 m 已知 m 0 3kg求等效刚度ke和固有频率 2020年2月1日 47 2020年2月1日 48 阻尼自由振动 前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响 实际系统的机械能不可能守恒 因为总存在着各种各样的阻力 振动中将阻力称为阻尼 例如摩擦阻尼 电磁阻尼 介质阻尼和结构阻尼 尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法 但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定 最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼 在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体 通常就认为受到粘性阻尼 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 49 粘性阻尼力与相对速度称正比 即 c 为粘性阻尼系数 或阻尼系数 单位 数学模型 或写为 固有频率 相对阻尼系数 k c 力学模型 取坐标如图 静平衡位置为坐标原点 据牛顿定律写出运动微分方程 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 50 动力学方程 设有特解 特征方程 特征根 三种情况 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 求解方程 代入微分方程得 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 51 第一种情况 欠阻尼 动力学方程 特征方程 特征根 特征根 阻尼固有频率 有阻尼的自由振动频率 通解 a1 a2 初始条件决定 一对共轭复数根 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 52 欠阻尼 振动解 设初始条件 则 或 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 53 欠阻尼 振动解 阻尼固有频率 阻尼自由振动周期 T0 无阻尼自由振动的周期 特性一 阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 54 欠阻尼 响应图形 振动解 特性二 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 0 1 时间 位置 阻尼大 则振动衰减快 阻尼小 则衰减慢 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 55 评价阻尼对振幅衰减快慢的影响 与t无关 任意两个相邻振幅之比均为 衰减振动的频率为 振幅衰减的快慢取决于 这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部 减幅系数 定义为相邻两个振幅的比值 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 56 减幅系数 含有指数项 不便于工程应用 实际中常采用对数衰减率 特性三 振幅按几何级数衰减 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 57 第二种情况 过阻尼 动力学方程 特征方程 特征根 特征根 两个不等的负实根 通解 a1 a2 初始条件决定 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 58 设初始条件 则 一种按指数规律衰减的非周期蠕动 没有振动发生 响应图形 振动解 过阻尼 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 59 动力学方程 特征方程 特征根 特征根 二个重根 通解 a1 a2 初始条件决定 第三种情况 临界阻尼 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 60 振动解 临界阻尼 则 仍然是按指数规律衰减的非周期运动 但比过阻尼衰减快些 临界阻尼系数 设初始条件 响应图形 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 61 临界也是按指数规律衰减的非周期运动 但比过阻尼衰减快些 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动 没有振动发生 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 62 小结 动力学方程 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 按指数规律衰减的非周期蠕动 按指数规律衰减的非周期运动 比过阻尼衰减快 振幅衰减振动 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 63 例 阻尼缓冲器 静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大位移为初始位移的10 求 缓冲器的相对阻尼系数 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 64 解 由题知 设 求导 设在时刻t1质量越过平衡位置到达最大位移 这时速度为 即经过半个周期后出现第一个振幅u1 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 65 由题知 解得 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 66 例 刚杆质量不计 求 1 写出运动微分方程 2 临界阻尼系数 阻尼固有频率 小球质量m 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 67 解 阻尼固有频率 无阻尼固有频率 m 广义坐标 力矩平衡 受力分析 1 4有阻尼系统的自由振动 2020年2月1日 68 2020年2月1日 69 阻尼在所有振动系统中是客观存在的 大多数是非粘性阻尼 其性质各不相同 非粘性阻尼的数学描述比较复杂 处理方法之一 采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼 原则 等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量 1 5等效粘性阻尼 讨论以下几种非粘性阻尼情况 干摩擦阻尼 低粘度流体阻尼 结构阻尼 2020年2月1日 70 1 干摩擦阻尼 库仑阻尼 摩擦力 摩擦系数 正压力 符号函数 摩擦力一个周期内所消耗地能量 等效粘性阻尼系数 1 5等效粘性阻尼 2020年2月1日 71 2 低粘度流体阻尼 工程背景 低粘度流体中以较大速度运动地物体 阻力系数 等效粘性阻尼系数 阻尼力与相对速度地平方成正比 方向相反 摩擦力 在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量 再乘2 1 5等效粘性阻尼 2020年2月1日 72 3 结构阻尼 由于材料为非完全弹性 在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为结构阻尼 比例系数 等效粘性阻尼系数 特征 应力 应变曲线存在滞回曲线 内摩擦所耗散的能量等于滞回环所围的面积 加载和卸载沿不同曲线 1 5等效粘性阻尼 2020年2月1日 73 2020年2月1日 74 1 6简谐力激励下的受迫振动 振动系统在外力作用下引发的振动 受迫振动也称强迫振动 2020年2月1日 75 弹簧 质量 阻尼系统 设 外力幅值 外力的激励频率 力学模型 1 6简谐力激励下的受迫振动 数学方程 2020年2月1日 76 振动微分方程 显含时间t非齐次微分方程 非齐次微分方程通解 齐次微分方程通解 非齐次微分方程特解 阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应 持续等幅振动稳态响应本节内容 1 6简谐力激励下的受迫振动 振动微分方程的解 2020年2月1日 77 1 6简谐力激励下的受迫振动 其中 u1 t 为相应齐次方程的解瞬态响应 u2 t 为方程的特解稳态响应 振动微分方程的解 2020年2月1日 78 1 6简谐力激励下的受迫振动 系统的全响应为 上式中的待定系数由初始条件确定 当时 R不一定为零 这是它与自由振动的区别 表示有阻尼自由振动响应 它是衰减振动 仅在振动开始后一段时间内有意义 属于瞬态解 表示受迫振动响应 它是持续的等幅振动 属于稳态解 振动微分方程的解 2020年2月1日 79 1 线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 而相位滞后激振力的简谐振动 2 稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 m k c 和激振力的频率及力幅 而与系统进入运动的方式 即初始条件 无关 结论 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 80 稳态响应的特性 以 为横坐标画出曲线 幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性 1 当 1 激振频率相对于系统固有频率很低 结论 响应的振幅A与静位移B相当 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 81 稳态响应特性 2 当 1 激振频率相对于系统固有频率很高 结论 响应的振幅很小 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 82 稳态响应特性 3 在以上两个领域 1 1 结论 系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的 对应于不同值 曲线较为密集 说明阻尼的影响不显著 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 83 稳态响应特性 结论 共振振幅无穷大 4 当 对应于较小值 迅速增大 当 但共振对于来自阻尼的影响很敏感 在 1附近的区域内 增加阻尼使振幅明显下降 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 84 稳态响应特性 5 对于有阻尼系统 并不出现在 1处 而且稍偏左 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 85 稳态响应特性 6 当 振幅无极值 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 86 稳态响应特性 记 品质因子 在共振峰的两侧取与对应的两点 带宽 Q与有关系 阻尼越弱 Q越大 带宽越窄 共振峰越陡峭 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 87 稳态响应特性 相频特性曲线 1 当 1 以s为横坐标画出曲线 相位差 位移与激振力在相位上几乎相同 2 当 1 位移与激振力反相 3 当 共振时的相位差为 与阻尼无关 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 88 有阻尼单自由度系统 外部作用力规律 假设系统固有频率 从左到右 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 89 高速旋转机械中 偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源 旋转机械总质量为M 转子偏心质量为m 偏心距为e 转子转动角速度为 u 机器离开平衡位置的垂直位移 则偏心质量的垂直位移 由达朗伯原理 系统在垂直方向的动力学方程 简化图形 偏心质量引起的强迫振动 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 90 me 不平衡量 不平衡量引起的离心惯性力 设 得 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 91 B又写为 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 92 偏心质量小结 解1 解2 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 93 例 偏心质量系统 共振时测得最大振幅为0 1m 由自由衰减振动测得阻尼系数为 假定 求 1 偏心距e 2 若要使系统共振时振幅为0 01m 系统的总质量需要增加多少 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 94 解 1 共振时测得最大振幅为0 1m 由自由衰减振动测得阻尼系数为 共振时最大振幅 2 若要使系统共振时振幅为0 01m 1 6简谐力激励下的受迫振动 2020年2月1日 95 2020年2月1日 96 背景 地基振动特点 激振惯性力的振幅与频率的平方成正比例 坐标 动力学方程 基座位移规律 u1相对基座位移 受力分析 D 基座位移振幅 1 7基础简谐激励下的受迫振动 2020年2月1日 97 动力学方程 回顾 令 有 其中 1 7基础简谐激励下的受迫振动 2020年2月1日 98 幅频曲线 相频曲线 1 7基础简谐激励下的受迫振动 2020年2月1日 99 有阻尼的单自由度承受支撑运动 支撑运动 系统固有频率从左到右 1 7基础简谐激励下的受迫振动 2020年2月1日 100 若以绝对位移u为坐标 其中 则有 1 7基础简谐激励下的受迫振动 2020年2月1日 101 1 7基础简谐激励下的受迫振动 2020年2月1日 102 代入 无阻尼情况 1 7基础简谐激励下的受迫振动 2020年2月1日 103 幅频曲线 可看出 当时 振幅恒为支撑运动振幅D 当时 振幅恒小于D 增加阻尼反而使振幅增大 1 7基础简谐激励下的受迫振动 2020年2月1日 104 习题 m 已知 求m为多大时 系统会发生共振 2020年2月1日 105 作业 P45题1 11 2020年2月1日 106 2020年2月1日 107 将作为振源的机器设备与地基隔离 以减少对环境的影响称为第一类隔振 隔力 隔振前机器传到地基的力 隔振材料 k c 隔振后系统响应 1 8振动的隔离 第一类隔振 隔力 2020年2月1日 108 隔振后通过k c传到地基上的力 隔振材料 k c 1 8振动的隔离 2020年2月1日 109 隔振前机器传到地基的力 隔振后通过k c传到地基上的力 隔振系数 隔振材料 k c 1 8振动的隔离 2020年2月1日 110 例 机器安装在弹性支承上 已测得固有频率 阻尼比 参与振动的质量是880kg 机器转速n 2400r min 不平衡力的幅值1470N 求 1 机器振幅 2 主动隔振系数 3 传到地基上的力幅 解 频率比 弹性支承的刚度 机器振动的振幅 主动隔振系数 传到地基上的力幅 1 8振动的隔离 2020年2月1日 111 将地基的振动与机器设备隔离 以避免将振动传至设备 称为第二类隔振 隔幅 基础位移 隔振前振幅 D 隔振后系统响应 1 8振动的隔离 第二类隔振 隔幅 2020年2月1日 112 2020年2月1日 113 前面讨论的强迫振动 都假设了系统受到激励为简谐激励 但实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励 周期函数的激励付氏级数即表示为简谐函数之和的激励 具体步骤 将任意周期激励分解为各简谐激励 展开成付氏级数 求单个简谐激励的响应 求各简谐激励响应的和 得到任意周期激励的响应 运用线性系统的叠加原理求解 1 9周期激励下的振动分析 2020年2月1日 114 假定粘性阻尼系统受到的周期激振力 T0为周期 傅立叶级数展开 记基频 记 n的偶函数 n的奇函数 为任一时刻 1 9周期激励下的振动分析 2020年2月1日 115 运动微分方程 叠加原理 系统稳态响应 不计阻尼时 代表着平衡位置 当作用于系统上所产生的静变形 周期激励通过傅氏变换被表示成了一系列频率为基频整数倍的简谐激励的叠加 这种对系统响应的分析被成为谐波分析法 1 9周期激励下的振动分析 2020年2月1日 116 例 质量 弹簧系统受到周期方波激励 求系统响应 1 9周期激励下的振动分析 2020年2月1日 117 解 激励的周期 弹簧 质量系统固有频率 激励力的基频 因a0一周期内总面积为0 0 区间内 关于