九年级上 第四章 相似.doc

相似三角形4.1比例线段1、 比例基本性质：和分比性质：等比性质：例1：如果，那么 已知线段满足那么 若，则 若，且，则 若，求的值。2、 黄金分割：如果点P把线段AB分成两条线段AP和BP，使得,则称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，线段AP与AB的比叫做黄金比。如图所示： 则：黄金分割点的尺规作图：当把AB看成1时，注意到：1、和组成勾股数，所以按如下方式作图。 例2：如果一个矩形中，,哪么这个矩形就称为黄金矩形，在黄金矩形内作正方形，得到一个小矩形，则矩形是否为黄金矩形？4.24.3相似三角形3、 相似三角形的判定： 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似。两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似。相似的五大基本形态：“A字型”，定理一的基本形态，能得到以下比例式：；“八字型”，一般有两种形态，如左上，此时，而在右上图中相似中的四点共圆，如果，则有，于是就得到比例式：，也就有，事实上，因为有这个条件，、四点共圆，而则就是割线定理。如果ACD，则有，于是就得到比例式：，也就有，事实上，如果存在，哪么就有射影定理：如上图所示在RtABC中，CDAB，可以证明：ACBADCCDB （） （）角平分线定理：如图（）所示：在ABC中，AD平分BAC，则证明：做CEAD交BA的延长线于点E，则BAD=E（同位角）、CAD=ACE（内错角） AD平分BAC E=ACE AC=AE ECAD 即需要说明的是，对于外角的角平分线，角平分线定理也是适用的。 即，对于图（）,如果AD是ABC的外角平分线,则也有比例式成立例：如图，已知ABC 中，D 为 AC 上的一点，E为 CB 延长线上的一点，BE = AD，ED 和 AB 相交于点 F， 求证：EFFD = ACBC已知，E 为ABC 的 AC 边的中点，过 E 作 FD 交 AB 于 D，交 BC 的延长线于 F , 求证：ADBF = BDCF已知，如图，梯形 ABCD 中，ABDC，梯形外一点 P，连结 PA、PB 分别交DC 于 F、G，且 DF = FG，对角线 BD 交 AF 于 E，求证：APPF = AEEF 在矩形ABCD中，AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，（1）请在图中分别找到一对相似的直角三角形和相似的非直角三角形，并加以证明。（2）图中还有几对相似但不全等的三角形（不添加线段），请直接写出答案如图，在梯形ABCD中，ADB，AC、BD相交于点，点，分别在AB、CD上，（1） 若EF过点O且EFAD,求证：OE=OF（2） 若EFAD，分别交BD、AC于M、N,则ME=NF是否成立4.4相似三角形的性质及其应用4、 相似三角形的性质: 相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方。 当两个三角形相似时，面积比等于相似比的平方，当两个三角形不相似时，注意等底或者同高的情况。例4：如图，BAC =，在CB的延长线上分别取点D、E，使DAB =BAE =C，求证： 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据科学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为_米（精确到0.1米）.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为？ 4.6图形的位似5、 图形的位似：如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线斗经过同一点，哪么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。显然，位似图形是相似图形的特殊情况，其相似比叫做位似比。位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质：若原图形上坐标，像与原图形的位似比为，则像上的对应点坐标为或 注意位似中心是否是坐标原点，当位似中心不是坐标原点时，应该先进行坐标平移，把位似中心转化为坐标原点，然后用以上公式计算。例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.xoBACDABCD相 似 图 形一、选择题（83=24）1、下列说法“凡正方形都相似；凡等腰三角形都相似；凡等腰直角三角形都相似；直角三角形斜边上的中线与斜边的比为12；两个相似多边形的面积比为49，则周长的比为1681.”中,正确的个数有（）个A、1B、2C、3D、42、在坐标系中,已知A（-3，0），B（0，-4），C（0，1）,过点C作直线L交x轴于点D,使得以点D、C、O为顶点的三角形与AOB相相似,这样的直线一共可以作出（）条. A、6B、3C、4D、53、RtDABC中，CD是斜边AB上的高，BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F。图中共有8个三角形，如果把一定相似的三角形归为一类，那么图中的三角形可分为（ ）类。A2 B3 C4 D5ABDC第6题（第5题）第4题第3题4、如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN，下列结论正确的是（ ）ADABMDACB BDANCDAMB CDANCDACM D DCMNDBCA5、在梯形ABCD中，ABCD，AB=a，CD=b，两腰延长线交于点M，过M作DC的平行线，交AC、BD延长线于E，EF等于（ ）A B C DADE1BC第7题6、如图，ABC中，ADBC于D，下列条件：BDAC90；BDAC；=；其中一定能够判定ABC是直角三角形的有（）A、1B、2C、3D、47、如图，D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，1B，AEEC4，BC10，AB12，则ADE和ACB的周长之比为（）A、B、C、D、BEFHI第10题GCDA8、在ABC与中，有下列条件：；A；C。如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断ABC的共有（）组。A、1B、2C、3D、4二、填空题（93=27）9、设=，则=_，=_.10、如图，四边形EFGH是DABC内接正方形，BC=21cm，高AD=15cm，则内接正方形边长EF=_。11、如图，要使DAEF和DACB相似，已具备条件_，还需补充的条件是_，或_，或_。12、平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N，则CN=_。13、RTDABC中，ACBC，CDAB于D，AC=8，BC=6，则AD=_。14、已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC=_。第12题第13题第14题第11题ABDFGCE第17题15、如图，C为线段AB上的一点，ACM、CBN都是等边三角形，若AC3，ABCDO第16题ABCDMN第15题BC2，则MCD与BND的面积比为 。16、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于O点，SAOD:SCOB1:9，则SDOC:SBOC 17、如图,已知点D是AB边的中点,AFBC,CGGA=31,BC=8,则AF 三、解答题（共69分）18、（6）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F，求证：。19、（8）如图：四边形ABCD中，A=BCD=90，过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？20、（6）如图，在ABC中，DEBC，且SADE :S四边形BCED1:2，BC2。求DE的长。ABCDE21、（6）如图，矩形EFGH内接于ABC，ADBC于点D，交EH于点M，BC10，AM8，SABC1002。求矩形EFGH的面积。ABCDEFMHGABCDEF22、（6）已知：如图，ABC中，AECE，BCCD，求证：ED3EF。23、（6）已知：如图，在ABC中，BAC900，ADBC于D，E是AB上一点，AFCE于F， AD交CE于G点，求证：BCFDABCDEFG ABCDEFG24、（6）已知：如图，BDCCEAFGB，求证：BEBACDCABC225、（9）矩形ABCD中，AB4，BC6，M是BC的中点，DEAM，E是垂足。求ABM的面积；求DE的长；求ADE的面积。 26、（8）如图：PQR是等边三角形，APB120（1）求证：QR2AQRB（2）若AP，AQ2，PB。求RQ的长和PRB的面积。 27、（8）如图，矩形ABCD中，CHBD，垂足为H，P点是AD上的一个动点（P与A、D不重合），CP与BD交于E点。已知CH，DHCD513，设AP，四边形ABEP的面积为。（1）求BD的长；（2）用含的代数式表示。第四章 相似单元试卷一、填空题（每小题2分，共24分）1、若3a=4b，则a:b= 。2、ABCD的对角线AC与BD交于点O，E为OA的中点，则AE:AC= 。3、如果两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40、60，那么另一个三角形的最大角为 。4、如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当 时，ADE与ABC相似。 （第4题图）（第5题图） （第6题图）5、如图，BC平分ABD，AB=12，BD=15，如果ACB=D，那么BC边的长为 。 （第7题图）6、如图，在直角坐标系中，有两个点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C坐标为 时，使得由B、O、C三点组成的三角形和AOB相似。7、如图，在平行四边形ABCD中，找出一对是位似图形的三角形： 。8、两个相似多边形最长边分别为10cm和25cm，它们的周长之差为60cm，则这两个多边形的周长分别是 。9、如图，若B=C，则图中的相似三角形有 。10、如图，AB是斜靠在墙脚的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，则梯子长为 。 （第9题图） （第10题图） （第11题图） （第12题图）11、如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD （填“是”或“不是”）位似图形。12、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形。如图，请你在44的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使A1B1C1与格点三角形ABC相似（相似比不为1）。二、选择题（每小题3分，共18分）13、在ABC和ABC中，若A=68,B=40,A=68,C=72，则这两个三角形（ ）A、既全等又相似 B、相似 C、全等 D、无法确定14、一个运动场的实际面积是6400m2，那么其在比例尺1:1000的地图上的面积是（ ）。A、6.4cm2 B、640cm2 C、64cm2 D、8cm215、若ABCABC，A=A，C=C，且AC=3cm，BC=5cm，AC=4cm，AB=7cm，则ABC的周长为（ ）。A、12cm B、13cm C、14cm D、15cm16、下列说法中，正确的是（ ）A、两个矩形相似 B、两个梯形相似 C、两个正方形相似 D、两个平行四边形相似17、如图，ABC中，BAC=90，ADBC于D，若AB=2，BC=3，则DC的长是（ ）。A、 B、 C、 D、18、下列说法中，正确的是（ ）A、两个图形如果是位似图形，那么它们一定全等。B、两个图形如果是位似图形，那么它们不一定相似。C、两个图形如果相似图形，那么它们一定位似。D、两个图形如果是位似图形，那么它们一定相似。三、解答题（共6小题，计58分）19、（8分）如图，AEB和FEC是否相似？说明理由。20、（10分）如图，小军欲测量学校旗杆AB的高度，他站在旗杆影子上前后移动，直到他的影子的顶端与旗杆影子的顶端重合，此时他距离旗杆2米，已知小军的身高1.6米，他的影长1米，求旗杆的高度。21、（12分）如图，ABC的顶点分别为（1，1）、（4，1）、（2.5，3），将ABC作下列变换，画出相应的图形并写出变换后三个顶点的坐标。（1）关于y轴对称；（2）沿y轴向下平移3个单位；（3）以点O为位似中心，放大1倍。22、（8分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，问AOB与COD是否相似？有一位同学解答下：ADBC ADO=CBO，DAO=BCOAODBOC 又AOB=DOC AOBCODC请判断这位同学的解答是否正确？并说明理由。23、（8分）如图，O的两条弦AB、CD相交于点E，连接AC、BD，试证明: AEBE=CEDE。 24、（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点