浙江省绍兴市诸暨中学高二数学上学期期中试卷（实验班含解析）.doc

浙江省绍兴市诸暨中学2014-2015学年 高二上学期期中数学试卷（实验班）一、选择题：（每题3分，共30分）1（3分）抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则实数a=（）a4bc2d2（3分）函数y=cos（1+x2）+4的导数是（）a2xsin（1+x2）bsin（1+x2）c2cos（1+x2）d2xsin（1+x2）3（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）a4b5c7d84（3分）过点p（2，2），且与有相同渐近线的双曲线方程是（）abcd5（3分）若直线y=kx与圆（x2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为（）abcd6（3分）若点a（2，3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（）a2x3y+1=0b3x2y+1=0c2x3y1=0d3x2y1=07（3分）过圆x2+y2=4外一点p（4，2）作圆的两条切线，切点分别为a，b，则abp的外接圆方程是（）a（x4）2+（y2）2=1bx2+（y2）2=4c（x+2）2+（y+1）2=5d（x2）2+（y1）2=58（3分）已知f1，f2是椭圆和双曲线的公共焦点，p是它们的一个公共点且f1pf2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）abc3d29（3分）已知椭圆上到点a（0，b）距离最远的点是b（0，b），则椭圆的离心率的取值范围为（）abcd10（3分）在平面直角坐标系xoy中已知向量、，|=|=1，=0，点q满足=（+），曲线c=p|=cos+sin，02，区域=p|0r|r，rr若c为两段分离的曲线，则（）a1rr3b1r3rcr1r3d1r3r二、填空题：（每题4分，共28分）11（4分）若直线l1：mx+y（m+1）=0平行于直线l2：x+my2m=0，则m=12（4分）设p为曲线c：y=x2+2x+3上的点，且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为，则点p横坐标的取值范围为13（4分）过抛物线y2=4x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，o为坐标原点若|af|=3，则aob的面积为14（4分）设f1，f2分别是椭圆e：x2+=1（0b1）的左、右焦点，过点f1的直线交椭圆e于a、b两点，若|af1|=3|f1b|，af2x轴，则椭圆e的方程为15（4分）设f为抛物线y2=4x的焦点，a，b，c为该抛物线上三点，若，则=16（4分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆c：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=17（4分）过双曲线=1（a0）的右焦点f作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是三、解答题：（写出必要的文字说明，计算、推理过程，共42分）18（10分）已知圆c：x22x+y2=0，直线l：x+y4=0（1）若直线ll且被圆c截得的弦长为，求直线l的方程；（2）若点p是直线l上的动点，pa、pb与圆c相切于点a、b，求四边形pacb面积的最小值19（10分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（br）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围20（10分）在平面直角坐标系xoy中，点m到点f（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点m的轨迹为c（）求轨迹c的方程；（）设斜率为k的直线l过定点p（2，1），求直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围21（12分）已知椭圆c：的离心率为，椭圆c上的点到左焦点f距离的最小值与最大值之积为1（1）求椭圆c的方程；（2）直线l过椭圆c内一点m（m，0），与椭圆c交于p、q两点对给定的m值，若存在直线l及直线母x=2上的点n，使得pnq的垂心恰为点f，求m的取值范围浙江省绍兴市诸暨中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共30分）1（3分）抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则实数a=（）a4bc2d考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：抛物线方程化为标准方程，求出其准线，利用条件，即可求a的值解答：解：抛物线y=ax2，可化为，其准线方程为y=抛物线y=ax2的准线方程为y=1，a=故选b点评：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题2（3分）函数y=cos（1+x2）+4的导数是（）a2xsin（1+x2）bsin（1+x2）c2cos（1+x2）d2xsin（1+x2）考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：根据复合函数的导数的运算法则求导即可解答：解：y=sin（1+x2）2x=2xsin（1+x2），故选：d点评：本题主要考查了复合函数的求导，属于基础题3（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）a4b5c7d8考点：椭圆的简单性质 专题：计算题分析：先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m解答：解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m210m，即m6，解得m=8故选d点评：本题主要考查了椭圆的简单性质要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了4（3分）过点p（2，2），且与有相同渐近线的双曲线方程是（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设所求的双曲线方程是 =k，由点p（2，2）在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程解答：解：由题意知，可设所求的双曲线方程是=k，点p（2，2）在双曲线方程上，所以，k=2，故所求的双曲线方程是，故选b点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是 =k，属于基础题5（3分）若直线y=kx与圆（x2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为（）abcd考点：直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程 专题：计算题；直线与圆分析：利用对称知识，求出直线的斜率，对称轴经过圆的圆心即可求出b解答：解：因为直线y=kx与圆（x2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，直线2x+y+b=0的斜率为2，所以k=并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=4故选a点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称直线方程的应用，考查分析问题解决问题与计算能力6（3分）若点a（2，3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（）a2x3y+1=0b3x2y+1=0c2x3y1=0d3x2y1=0考点：直线的两点式方程；两条直线的交点坐标 专题：计算题分析：把点a（2，3）代入线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的方程，发现点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x3y+1=0上，从而得到点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程解答：解：a（2，3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，2a13b1+1=0，且2a23b2+1=0，两点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x3y+1=0上，故 点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是2x3y+1=0，答案选 a点评：本题考查两直线交点的坐标和点在直线上的条件7（3分）过圆x2+y2=4外一点p（4，2）作圆的两条切线，切点分别为a，b，则abp的外接圆方程是（）a（x4）2+（y2）2=1bx2+（y2）2=4c（x+2）2+（y+1）2=5d（x2）2+（y1）2=5考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：根据已知圆的方程找出圆心坐标，发现圆心为坐标原点，根据题意可知，abp的外接圆即为四边形oapb的外接圆，从而得到线段op为外接圆的直径，其中点为外接圆的圆心，根据p和o两点的坐标利用两点间的距离公式求出|op|的长即为外接圆的直径，除以2求出半径，利用中点坐标公式求出线段op的中点即为外接圆的圆心，根据求出的圆心坐标和半径写出外接圆的方程即可解答：解：由圆x2+y2=4，得到圆心o坐标为（0，0），abp的外接圆为四边形oapb的外接圆，又p（4，2），外接圆的直径为|op|=2，半径为，外接圆的圆心为线段op的中点是（，），即（2，1），则abp的外接圆方程是（x2）2+（y1）2=5故选d点评：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生熟练运用两点间的距离公式及中点坐标公式根据题意得到abp的外接圆为四边形oapb的外接圆是本题的突破点8（3分）已知f1，f2是椭圆和双曲线的公共焦点，p是它们的一个公共点且f1pf2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）abc3d2考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（aa1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|pf1|=r1，|pf2|=r2，|f1f2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2f1pf2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，在椭圆中，化简为即4c2=4a23r1r2，即，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2，即，联立得，=4，由柯西不等式得（1+）（）（1+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|pf1|=r1，|pf2|=r2，|f1f2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2f1pf2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos=（r1）2+（r2）2r1r2，由，得，=，令m=，当时，m，即的最大值为，故选：a点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键难度较大9（3分）已知椭圆上到点a（0，b）距离最远的点是b（0，b），则椭圆的离心率的取值范围为（）abcd考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设点p（x，y）是椭圆上的任意一点，利用两点间的距离公式可得：|pa|2=x2+（yb）2=f（y），由于椭圆上的点p到点a（0，b）距离最远的点是b（0，b），利用二次函数的单调性可知：f（y）在（b，b）单调递减，可得，即可得出离心率的取值范围解答：解：设点p（x，y）是椭圆上的任意一点，则，化为|pa|2=x2+（yb）2=f（y），椭圆上的点p到点a（0，b）距离最远的点是b（0，b），由二次函数的单调性可知：f（y）在（b，b）单调递减，化为c2b2=a2c2，即2c2a2，又e0离心率的取值范围是故选：c点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点间的距离公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题10（3分）在平面直角坐标系xoy中已知向量、，|=|=1，=0，点q满足=（+），曲线c=p|=cos+sin，02，区域=p|0r|r，rr若c为两段分离的曲线，则（）a1rr3b1r3rcr1r3d1r3r考点：向量在几何中的应用 专题：平面向量及应用；直线与圆分析：不妨令=（1，0），=（0，1），则p点的轨迹为单位圆，=p|（0r|r，rr表示的平面区域为：以q点为圆心，内径为r，外径为r的圆环，若c为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案解答：解：平面直角坐标系xoy中已知向量、，|=|=1，=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cos+sin=（cos，sin），故p点的轨迹为单位圆，=p|（0r|r，rr表示的平面区域为：以q点为圆心，内径为r，外径为r的圆环，若c为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|oq|1rr|oq|+1，|oq|=2，故1rr3，故选：a点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出p的轨迹及=p|（0r|r，rr表示的平面区域，是解答的关键二、填空题：（每题4分，共28分）11（4分）若直线l1：mx+y（m+1）=0平行于直线l2：x+my2m=0，则m=1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：由题意可得=，解之即可解答：解：直线l1：mx+y（m+1）=0平行于直线l2：x+my2m=0，=，解得m=1故答案为：1点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题12（4分）设p为曲线c：y=x2+2x+3上的点，且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为，则点p横坐标的取值范围为考点：直线的倾斜角；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：切线的斜率k=tan设切点为p（x0，y0），k=y|x=x0=2x0+2，上此可知点p横坐标的取值范围解答：解：切线的斜率k=tan=设切点为p（x0，y0），于是k=y|x=x0=2x0+2，x0答案点评：本题考查圆锥曲线的基本性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答13（4分）过抛物线y2=4x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，o为坐标原点若|af|=3，则aob的面积为考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设直线ab的倾斜角为，利用|af|=3，可得点a到准线l：x=1的距离为3，从而cos=，进而可求|bf|，|ab|，由此可求aob的面积解答：解：设直线ab的倾斜角为（0）及|bf|=m，|af|=3，点a到准线l：x=1的距离为3，2+3cos=3，即cos=，则sin=m=2+mcos（）m=aob的面积为s=故答案为：点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键14（4分）设f1，f2分别是椭圆e：x2+=1（0b1）的左、右焦点，过点f1的直线交椭圆e于a、b两点，若|af1|=3|f1b|，af2x轴，则椭圆e的方程为x2+=1考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出b（c，b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程解答：解：由题意，f1（c，0），f2（c，0），af2x轴，|af2|=b2，a点坐标为（c，b2），设b（x，y），则|af1|=3|f1b|，（cc，b2）=3（x+c，y）b（c，b2），代入椭圆方程可得，1=b2+c2，b2=，c2=，x2+=1故答案为：x2+=1点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题15（4分）设f为抛物线y2=4x的焦点，a，b，c为该抛物线上三点，若，则=6考点：抛物线的应用 专题：计算题分析：先设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据 =0，判断点f是abc重心，进而可求x1+x2+x3的值最后根据抛物线的定义求得答案解答：解：设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3）抛物线焦点坐标f（1，0），准线方程：x=1=，点f是abc重心则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|fa|=x1（1）=x1+1|fb|=x2（1）=x2+1|fc|=x3（1）=x3+1|fa|+|fb|+|fc|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故答案为：6点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，平面向量的基础知识考查了学生分析问题和解决问题的能力解本题的关键是判断出f点为三角形的重心16（4分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆c：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=2考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；直线与圆分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即=cos45，由此求得a2+b2的值解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，=cos45=，a2+b2=2，故答案为：2点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到=cos45是解题的关键，属于基础题17（4分）过双曲线=1（a0）的右焦点f作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（，）考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先确定双曲线的渐近线斜率23，再根据=，即可求得双曲线离心率的取值范围解答：解：由题意可得双曲线的渐近线斜率23，=e双曲线离心率的取值范围为（，）故答案为：（，）点评：本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用=，属于中档题三、解答题：（写出必要的文字说明，计算、推理过程，共42分）18（10分）已知圆c：x22x+y2=0，直线l：x+y4=0（1）若直线ll且被圆c截得的弦长为，求直线l的方程；（2）若点p是直线l上的动点，pa、pb与圆c相切于点a、b，求四边形pacb面积的最小值考点：直线和圆的方程的应用 专题：直线与圆分析：（1）设出直线l方程，利用弦长为，结合勾股定理，即可求直线l的方程；（2）表示出s四边形pacb=2spac=|pa|ac|，s四边形pacb=2spac=|pa|ac|，而pa2=pc2r2=pc21，所以当pc取最小值时，pa取得最小值，从而可得结论解答：解：（1）因为直线ll，所以直线l的斜率为1，设直线l方程为y=x+b，因为截得弦长为，所以圆心c到直线l的距离为，即，解得或，所以直线l方程为：或（5分）（2）s四边形pacb=2spac=|pa|ac|，因为|ac|=r=1，所以当|pa|取得最小值时四边形pacb的面积最小因为pa2=pc2r2=pc21，所以当pc取最小值时，pa取得最小值，由点到直线的距离公式可得，所以（10分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题19（10分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（br）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得到对任意x（0，）恒成立由单调性求出的范围得答案解答：解：（1）当b=4时，f（x）=（x2+4x+4）=（x），则=由f（x）=0，得x=2或x=0当x2时，f（x）0，f（x）在（，2）上为减函数当2x0时，f（x）0，f（x）在（2，0）上为增函数当0x时，f（x）0，f（x）在（0，）上为减函数当x=2时，f（x）取极小值为0当x=0时，f（x）取极大值为4；（2）由f（x）=（x2+bx+b），得：=由f（x）在区间（0，）上单调递增，得f（x）0对任意x（0，）恒成立即5x23bx+2x0对任意x（0，）恒成立对任意x（0，）恒成立b的取值范围是点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题20（10分）在平面直角坐标系xoy中，点m到点f（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点m的轨迹为c（）求轨迹c的方程；（）设斜率为k的直线l过定点p（2，1），求直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设出m点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到m的轨迹c的方程；（）设出直线l的方程为y1=k（x+2），和（）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y1=k（x+2）中取y=0得到然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x00求解使直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解答：解：（）设m（x，y），依题意得：|mf|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x点m的轨迹c的方程为；（）在点m的轨迹c中，记c1：y2=4x（x0），c2：y=0（x0）