理论力学9-拉格朗日方程.ppt

第九章拉格朗日方程 运用矢量力学分析约束动力系统 未知约束力多 方程数目多 求解烦琐 能否建立不含未知约束力的动力学方程 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合 建立动力虚功方程 广义坐标化 能量化 化为拉氏第二类方程 实现用最少数目方程 描述动力系统 9 1动力学普遍方程 9 1 1方程的建立 9 1 2典型问题 1 一般形式 n个质点 对有 9 1动力学普遍方程 9 1 1方程的建立 而双面理想约束 故有 9 1 不论约束完整 定常与否均适用 则有 2 广义坐标形式 设完整约束系统有k个自由度 可取为广义坐标 9 1动力学普遍方程 9 1 1方程的建立 则 代入式 9 1 交换i j次序 得 广义主动力 广义惯性力 式中 因各线性无关故有 9 2 等价形式 仅 9 3 9 1 1方程的建立 9 1动力学普遍方程 式中包含了惯性力虚功 9 1 2典型问题 加惯性力 受主动力如图 给连杆 则 由有 9 1动力学普遍方程 1 由动能定理求导 如何求解 2 如何求约束力 2 已知重量轮纯滚 水平面光滑 求三棱柱加速度 9 1 2典型问题 9 1动力学普遍方程 加惯性力 受力如图 选广义坐标 由 有 又由有 9 1动力学普遍方程 9 1 2典型问题 式 a 代入 b 可得 令时 牵连惯性力并不为零 令时 相对惯性力并不为零 两者相互独立 9 1动力学普遍方程 9 1 2典型问题 3 均质圆柱与薄壁圆柱1 2 用绳相连 并多圈缠绕圆筒 绳与滑轮A的重量不计 已知试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小 9 1动力学普遍方程 9 1 2典型问题 自由度k 2的理想约束系统 取两轮转角为广义坐标 其受力与运动分析 如图 b 所示 a 有 b 9 1动力学普遍方程 9 1 2典型问题 得 c 再令 联立 c 和 d 式 可得 9 1 2典型问题 9 1动力学普遍方程 对于多自由度动力系统 加上主动力和惯性力后 各独立虚位移可任意给定 与受力状态无关 1 如何求绳的张力 圆柱纯滚的条件 2 用动力学普遍定理如何求解 3 计入滑轮A质量 结果有何变化 9 1 2典型问题 9 1动力学普遍方程 9 2拉格朗日方程 对于完整约束系统 动力学普遍方程为 不便计算 拉格朗日方程利用两个经典微分关系 9 2 1两个经典微分关系 第九章拉格朗日方程 9 2 2拉氏方程基本形式 9 2 4拉氏方程的应用 式 9 7 表明 可对的分子与分母 同时消点 9 7 同时消点 证明 9 2 1两个经典微分关系 9 2拉格朗日方程 n个质点 s个完整约束 k 3n s 2 交换关系 求导 将式 9 6 两边对广义坐标 证明 求偏导数 有 而 比较以上两式 可得 9 8 式 9 8 表明 可对求导 交换关系 9 2拉格朗日方程 9 2 1两个经典微分关系 9 2 2拉氏方程基本形式 9 2拉格朗日方程 为拉式第二类方程基本形式 以t为自变量 为未知函数的二阶常微分方程组 2k个积分常量 需2k个初始条件 故 关于的计算 由 见下述例题中 仅 qi 0时 计算所有主动力虚功 9 2拉格朗日方程 9 2 2拉氏方程基本形式 9 2拉格朗日方程 9 2 3势力场中的拉氏方程 若有势主动力 引入拉格朗日函数又称动势 注意 有 此为势力场中第二类拉氏方程 是关于k个广义坐标的二阶常微分方程组 则有 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 应用拉格朗日方程求解受约束系统的动力问题 首先需要判断约束是否完整 这是应用拉氏方程的前提 其次看主动力是否有势 由此选择拉氏方程形式 9 2拉格朗日方程 系统自由度为1 取轮心B沿斜面位移x为广义坐标 平衡位置为零势能位置 则任意x位置时 系统动势 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 1 此处势能V为什么与弹簧初始变形和重力无关 2 试用动能定理求解例1 并比较两种方法的异同 振动圆频率 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 本系统为完整约束 主动力非有势 采用基本形式的拉氏方程求解 判断系统的自由度 取广义坐标 本题中 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 计算系统的T与 则有 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 代入拉氏方程 得系统的运动微分方程 a b 解方程 求加速度 得 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 试用动力学普遍方程 动力学普遍定理 达朗贝尔原理求解例2 并比较各种方法的特点 完整系统多自由度动力问题 采用拉氏方程 步骤规范 便于求解 拉氏方程与动力学普遍方程对于完整系统本质上一致 前者从能量 后者从受力入手考察系统的运动 9 2拉格朗日方程 题型特点 9 2 4拉氏方程的应用 9 2 4拉氏方程的应用 9 2拉格朗日方程 弹簧的绝对伸长量 为广义坐标 取系统的初始位置为零势能位置 在任意时刻t 有 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 将以上各项代入下列拉氏方程 b 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 c 其中 由式 c 解得 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 将式 d 代入式 c 再将式 c 和 d 代入式 b 得 顺便指出 由式 c 和 d 可知 物B相对于物A作在常力作用下的简谐振动 其振幅为 固有频率为 多自由度完整约束保守系统问题 应用含L的拉氏方程 不需求广义力 求解较为简便 题型特点 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 b 试用质心运动定理和动能定理求解例3 并比较各种方法特点 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 3 两个相同单摆 用刚度为k的弹簧连接已知m k l a 系统静止时 弹簧无变形 不计杆重试求系统振动微分方程及固有频率 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 自由度为2 选为广义坐标 选平衡位置势能为0 则 较小时 9 2 4拉氏方程的应用 9 2拉格朗日方程 而 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 代入和中 有 即 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 方程 b 有非0解条件 即频率方程为 即 c 为系统的主频率 将分别代入式 b 得 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 即 为系统的第一主振型 振动时弹簧不变形 两振型图如下 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 4 1 2 3 4刚性杆长均为a 可不计质量 均质刚杆AB长 质量为2m C D小球质量均为m 求微小运动微分方程及3 4杆相对运动 系统为定常理想完整保守系统 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 而 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 a 并设得 同理可得 9 2拉格朗日方程 9 2 4拉氏方程的应用 9 3 1广义动量积分 守恒 完整 理想约束 保守系统 若L中不含qr 则qr叫循环坐标 且有 即常数 循环积分 广义动量守恒 即 如在重力场中质点质量为m 取x y z为广义坐标 可见x y为循环坐标 则有 第九章拉格朗日方程 如图所示 质量为的某行星A受太阳的引力 为太阳质量 G为万有引力常数 r为极坐标的极轴 为其单位矢 试写出行星作平面曲线运动的循环积分 该系统有二个自由度 选为广义坐标 质点受重力沿方向 在x和y方向均为动量守恒 9 3 1广义动量积分 守恒 第九章拉格朗日方程 可见L中不显含 即是循环坐标 则有循环积分 常数 该广义动量积分表明 行星A对点O的动量矩守恒 若选x y为广义坐标 有无循环积分 问 9 3 1广义动量积分 守恒 第九章拉格朗日方程 9 3 2广义能量积分 机械能守量 定常 完整 理想约束保守系统 n个质点 k个自由度有 则有 故 第九章拉格朗日方程 1 而 则 由Euler公式 若为的m次齐次函数 9 3 2广义能量积分 机械能守量 第九章拉格朗日方程 故 2T T为的二次齐次函数 将式 2 代入式 1 得 故常数 此即拉氏方程能量积分 表明上述系统机械能守恒 即 9 3 2广义能量积分 机械能守量 第九章拉格朗日方程 选x和 为广义坐标 9 3 2广义能量积分 机械能守量 第九章拉格朗日方程 故有循环积分 常数 初始为0 又 约束定常 且完整理想 即 b x方向广义动量守恒 并非系统x方向动量 9 3 2广义能量积分 机械能守量 第九章拉格朗日方程 时 a b 两式为 解之得 1 若接触平面光滑 f 0 结果如何 2 若左边连接一水平弹簧 k 结果又如何 9 3 2广义能量积分 机械能守量 第九章拉格朗日方程 9 3 2广义能量积分 机械能守量 第九章拉格朗日方程 系统保守且约束完整 定常 自由度为2 取与为广义坐标 设圆轮角速度为 则从轮C的速度分析 有 因L不含 其中为循环坐标 故相应的广义动量守恒 并考虑到时 设O为零势能位置 系统动势为 9 3 2广义能量积分 机械能守量 第九章拉格朗日方程 此处利用拉氏方程的循环积分 使问题求解大为简化 即 对t积分 并注意到时 得 故 9 3 2广义能量积分 机械能守量 第九章拉格朗日方程 解出和 再积分 可得和的变化规律 该约束定常 故有T V 常数 即 将此式与例2中 a 式联立 如何求上述和的变化规律 9 3 2广义能量积分 机械能守量 第九章拉格朗