高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第4课时二次函数与幂函数教案.docx

二次函数与幂函数1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数.()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.()(4)函数y2x是幂函数.()(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.()(6)当nf(1)，则()A.a0,4ab0 B.a0,2ab0 D.af(1)，所以函数图像应开口向上，即a0，且其对称轴为x2，即2，所以4ab0，故选A.2.已知函数f(x)ax2x5的图像在x轴上方，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析由题意知即得a.3.如图所示为二次函数yax2bxc的图像，则|OA|OB|等于()A.B.C.D.无法确定答案B解析|OA|OB|OAOB|x1x2| (a0).4.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_.答案1,2解析如图，由图像可知m的取值范围是1,2.5.已知幂函数yf(x)的图像过点，则此函数的解析式为_；在区间_上递减.答案yx(0，)题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.解方法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0).由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.方法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图像的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.方法三(利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数的最大值是8，即8.解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.(1)二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_.(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.答案(1)f(x)x22x1(2)2x24解析(1)依题意可设f(x)a(x2)21，又其图像过点(0,1)，4a11，a.f(x)(x2)21.f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称，b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.题型二二次函数的图像与性质命题点1二次函数的单调性例2已知函数f(x)x22ax3，x4,6，(1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间.解(1)函数f(x)x22ax3的图像的对称轴为xa，要使f(x)在4,6上为单调函数，只需a4或a6，解得a4或a6.故a的取值范围是(，64，).(2)当a1时，f(|x|)x22|x|3其图像如图所示.又x4,6，f(|x|)在区间4，1)和0,1)上为减函数，在区间1,0)和1,6上为增函数.命题点2二次函数的最值例3已知函数f(x)x22x，若x2,3，则函数f(x)的最大值为_. 答案8解析f(x)(x1)21，2x3(如图)，f(x)maxf(2)8.引申探究已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值.解函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论，当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，当21时，ymin1.命题点3二次函数中的恒成立问题例4(1)(2015石家庄模拟)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_.(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_.答案(1)(2)解析(1)由题意得a对1x4恒成立，又22，.(2)2ax22x30在1,1上恒成立.当x0时，适合；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a2xm成立，求实数m的取值范围.解(1)由f(0)2，得c2，所以f(x)ax2bx2 (a0)，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)2ax2bx24ax4a2b.因为f(x2)f(x)16x，所以4ax4a2b16x，解得a4，b8.所以f(x)4x28x2.(2)由f(x)2xm，可得mf(x)2x4x210x2，设g(x)4x210x2，x1,2.则g(x)maxg(2)2，m(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C.(1,2) D.答案(1)C(2)D解析(1)由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.(2)因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m.解2m1m2m1，得1m2，综上所述，m2.思维升华(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴.(1)已知幂函数f(x)的图像经过(9,3)，则f(2)f(1)等于()A.3 B.1C.1 D.1(2)若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_.答案(1)C(2)1，)解析(1)设幂函数为f(x)x，则f(9)93，即323，所以21，即f(x)x，所以f(2)f(1)1，故选C.(2)易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解之得1a0时，f(x)ax22x图像的开口方向向上，且对称轴为x.3分当1，即a1时，f(x)ax22x图像的对称轴在0,1内，f(x)在0，上递减，在，1上递增.f(x)minf().6分当1，即0a1时，f(x)ax22x图像的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减.f(x)minf(1)a2.9分(3)当a0时，f(x)ax22x的图像的开口方向向下，且对称轴x0)，且f(m)0 D.f(m1)0，f(x)的大致图像如图所示.由f(m)0，得1m0，f(m1)f(0)0.4.若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于()A.1 B.1C.2 D.2答案B解析函数f(x)x2axa的图像为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得，f(0)a，f(2)43a，或解得a1.5.幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图像如图所示，则m与n的取值情况为()A.1m0n1 B.1n0mC.1m0n D.1n0m1答案D解析可作直线x2，观察直线x2和各图像交点的纵坐标可知212n202m21，1n0m0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，因此选C.7.当0xg(x)f(x)解析如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图像，由此可知，h(x)g(x)f(x).8.已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_.答案1或3解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.9.已知函数f(x)ax2bx1(a，b为实数，a0，xR).(1)若函数f(x)的图像过点(2,1)，且方程f(x)0有且只有一个根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x1,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围.解(1)因为f(2)1，即4a2b11，所以b2a.因为方程f(x)0有且只有一个根，所以b24a0.所以4a24a0，所以a1，所以b2.所以f(x)x22x1.(2)g(x)f(x)kxx22x1kxx2(k2)x121.由g(x)的图像知：要满足题意，则2或1，即k6或k0，所以所求实数k的取值范围为(，06，).10.已知函数f(x)x2ax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.解要使f(x)0恒成立，则函数在区间2,2上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a).(1)当4时，g(a)f(2)73a0，得a，故此时a不存在.(2)当2,2，即4a4时，g(a)f3a0，得6a2，又4a4，故4a2.(3)当2，即a4时，g(a)f(2)7a0，得a7，又a4，故7a4，综上得7a2.B组专项能力提升(时间：20分钟)11.已知函数f(x)ax22ax4(0a3)，x1x2，x1x21a，则()A.f(x1)f(x2)B.f(x1)f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定答案B解析函数的对称轴为x1，设x0，由0a3得到1.又x1x2，用单调性和离对称轴的远近作判断得f(x1)1时，恒有f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)x的图像在yx的图像的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图像，由图像可知1，则af(x)b的解集由两个区域构成)，于是有f(a)f(b)b，而由f(b)b，得b4或，而函数yf(x)图像的对称轴为x2，故b4，则f(a)4，解得a0(a4舍去)，所以ab4.14.设0，不等式8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，则的取值范围为_.答案解析由8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，得(8sin )248cos 20，即64sin232(12sin2)0，得到sin2.0，0sin ，0或.即的取值范围为.15.已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR，cR