全向轮机构及其控制设计

毕业设计（论文）报告 题目 全向轮机构及其控制设计 Mecanum 轮 的研究与研制 机械工程 院（ 系 ） 机械设计制造及其自动化 专业 学 号 学生姓名 指导教师 起讫日期 设计地点 -I- 摘要 随着机器人技术的高速发展，机器人已经在我们的生产生活中起了非常重要的作用。 移动 机器人中 的全方位轮式移动 机器人 无需车体做出任何转动便可实现任意方向的移动，并且可以原地旋转任意角度，运动非常灵活。在 此，本文根据国际上流行的 麦克纳姆（ Mecanum） 轮设计 方法 ，对 麦克纳姆 进行参数设计并设计关键零件 制作 成可全方位移动的机器人， 同时分析其运动学及动力学模型， 并设计协调控制电路控制其运动。 实验表明麦克纳姆全向移动机构的运动及转位灵活且 不受限于运动空间 ， 应用 前景非常广阔。 关键字： 全方位轮；麦克纳姆轮；移动机器人；全方位移动机器人 -II- Abstract With the development of robotics, robots have played an important part in our production area. The omnidirectional wheeled mobile mechanism of all can move in all direction without any rotation, and can rotate any angle at the original point flexibly. Based on the international design method for mecanum wheel, some parameters are discussed in the paper, and many key components are designed to make into an omnidirectional mobile robot. Also its kinematical and dynamical model is analyzed, and the control circuit is made out to correspond to the motion. Experiments indicated that mecanum the omnidirectional wheeled mobile mechanism moves and rotates smartly without limits to the space, so a widen application future can be expected. Keywords: omnidirectional wheel; mecanum wheel; mobile robot; omnidirectional mobile robot 目录 摘要 I Abstract II 序言 1 第一章 全方位移动机构的介绍 2 第二章 麦克纳姆轮的 原理及结构 3 2.1 单个轮体运动原理 3 2.2 全方位轮协调运动原理 3 第三章 麦克纳姆轮参数设计 5 3.1 辊子的几何参数的公式推导 5 3.2 辊子的几何参数的设计计算 9 第四章 三维造型与 零件 加工 11 4.1 辊子的设计加工 11 4.2 辊子的安装轮毂的设计加工 11 4.3 全向移动机器人的总体设计及装配 12 第五章 运动学 模型分析 13 5.1 坐标系的建立 13 5.2 轮 体 的雅 可 比矩阵 14 5.3 复合方程 16 5.4 运动学逆问题的解 16 5.5 运动学正问题的解 17 第六章 动 力 学模型 分析 19 6.1 复 合系统在固定坐标系中的加速度 19 6.2 加速度能的计算 21 6.3 全方位移动机构的动力学方程 22 第七章 四轮协调的 控制 测试电路 25 7.1 控制电路的方案选 择 25 7.2 控制电路的设计 25 7.2.1 遥控部分的设计 25 7.2.2 电机调速设计 26 7.2.3 驱动电路的设计 27 第八章 研究总 结与 前景 展望 29 鸣 谢 30 参考文献 （ References） 31 附录东南大学毕业设计论文 1 （共 31 页） 序言 随着电子通信与机电控制等技术的高速发展，人们已经开始并不断的尝试将智能机器或机器人以及高效率的工具引入我们工业的各个领域。许多机、电、计算机一体化的新产品诞生，同时有许多高技术人才在不断探索。 对于新型移动工业机器人，自从进入 80 年代以来，人们也广泛进行了研究与探讨。现在，作为移动机器人而开发的移动机构种类已相当繁多，仅就地面移动而言，移动机构就有车轮式、履带式、腿脚式、躯干式等多种形式。各种 移动机构可谓各有千秋，适应了各种工作环境的不同要求，但车轮式移动机构显得尤其突出，逐渐成为机器人的重要组成部分之一。它的优点很多：能高速稳定地移动、能源利用率高、机构简单、控制方便、能借鉴日益完善的汽车技术和经验等等，它的缺点是移动场所限于平面。但是，目前机器人工作的场所几乎都是相对平坦的平地，所以从这个角度讲，轮式移动机构的在大多场合都有较广的应用。 对于普通的轮式移动机构，转弯都需要一定的旋转半径，在狭小的空间常因无法横向移动而失去作用，这在一定程度上就限制了轮式机器人的使用。而全方位轮则无需车体做出任何转动便可实现任意方向的移动，并且可以原地旋转任意角度，运动非常灵活，可沿平面上任意连续轨迹走到要求的位置，成为机器人中移动机构发展的趋势。 由于轮式全方位轮移动机构移动灵活方便，故其具有一般的轮式移动机构所无法取代的独特特性。在这里我对全方位轮中极具代表性的麦克纳姆轮（本文中若无特别说明全方位轮都指麦克纳姆全方位轮）作一些探讨。 东南大学毕业设计论文 2 （共 31 页） 第一章 全方位移动机构的介绍 在移动机器人应用中，平面内需要三个坐标值来确定唯一状态：其中两个坐标用于确定机器人位置（ X， Y），另外一个用于确定机器人的方向（ ）。全方位移动是 指移动机构在二维平面上从当前位置向任意方向运动的能力。目前我们所见到的绝大多数的轮式移动机构都不是全方位的，具有全方位运动能力的移动机构可以使机器人更加灵活地运动。当装有全方位机构的移动机器人能够实现完美的运动性能，即能够在当前位置沿着任意方向的路径移动时，称之为全方位移动机器人。另外，全方位移动机构可以对自己所处的位置进行细微的调整，因此在需要精确定位和高精度轨迹跟踪的时候也必须使移动机构具有全方位移动能力。 以下为几种常见的全方位移动机构： 1、 图 1-1 全轮转向式全方位移动机构。动力通过蜗轮蜗杆 5、锥齿轮 2 使驱动轮 1 转动。操舵由蜗轮蜗杆6、圆柱齿轮 4 带动轮架旋转而实现，整体共装设转向电机两个，通过离合器的适当转换可以三种移动方式 。 2、 图 1-2 正交轮式。正交轮也是一种新型全方位轮结构。它除了可以完成 360o 任意方向的移动外，还可以同时绕一垂直轴进行自转。这种正交轮由两个各切去一部分球冠的球组成，垂直于被切去球冠并通过球心有一个支撑轴，轴固定在一个框架上，两个球的轴互相垂直，其支撑框架也互相垂直。 3、 图 1-3 Mecanum 轮即麦克纳姆轮，其为瑞典Mecanum 公司的专利。通过将多个 （通常是三个或四个） Mecanum 轮以一定的方式组合，可使移动机构具备全方位移动功能。美国卡内基 梅隆大学的 Muir、Neuman 等人研制出的一台具有四个 Mecanum 轮的全方位移动机器人 URANUS，该机器人可灵活地在地面上自主运动。本文就对这种机构进行探讨。 图 1-1 全轮转向式 图 1-2 正交轮式 图 1-3 Mecanum 轮 东南大学毕业设计论文 3 （共 31 页） 第二章 麦克纳姆轮的原理与结构 2.1 单个辊子的运动原理 Mecanum 外形像一个斜齿轮，轮齿是能够转动的鼓形 辊子 ，辊子的轴线与轮的轴线成 角度。辊子有三个自由度，在绕自身转动的同时又能绕车轴转动，还能绕辊子与地面接触点的转动。这使得轮体本 身也具备了三个自由度：绕轮轴的转动和沿 辊子 轴线垂线方向的平动及绕辊子与地面接触点的转动。这样，驱动轮在一个方向上具有主动驱动能力的同时，另外一个方向也具有自由移动（被动移动）的运动特性。轮子的圆周不是由普通的轮胎组成，而是分布了许多小辊子，这些辊子的外廓线与轮子的理论圆周相重合，并且辊子能自由旋转。当电机驱动车轮旋转时，车轮以普通方式沿着垂直于驱动轴的方向前进，同时车轮周边的辊子沿着其各自的轴线自由旋转。图 2-1 为 Mecanum 轮的各结构和运动参量。 图 2-1 Mecanum 轮运动参量的定义 若干个这种 车轮适当地组合就可以构成在平面上具有三个自由度（ X 方向平动、 Y 方向平动、绕中心垂直轴 Z的转动）的全方位移动机构。同时由于这种结构相对复杂，其车轮与地面的有效接触面积小，使得其有效负载能力变小，效率变低，轮缘上的小 辊子 因受力不好而容易磨损，运动轨迹的精确性也相对降低，但它的优点和设计思路还是可取的。 2.2 全方位轮协调运动原理 YO1243图 2-2 车轮组合图 上图为采用全方位移动机构的车轮组合情况，轮中的小斜线表示触地 辊子 的轴线方向，分左旋和右旋两种。每个全 方位轮都由一台直流电机独立驱动，通过四个全方位轮的转速转东南大学毕业设计论文 4 （共 31 页） 向适当组合，可以实现机器人在平面上三自由度的全方位移动。 由多个全方位轮以一定的方式组成，运动十分灵活。下图为由 4 个全方位轮组成的机器人底座的受力分析图，其中aF为轮子滚动时小辊子受到轴向的摩擦力；rF为小辊子做从动滚动时受到的滚动摩擦力；为各轮转动的角速度。 纵 向 移 动横 向 移 动斜 向 移 动原 地 旋 转 aF rF aFrFaFrF rFaF aFrFaF rFaFrF rFaF aFrFaFrrFrFaF aFrFrFrFaFrFaF图 2-3 组合运动图 由于各轮都 独立驱动，故在转动的过程中可以自由地改变方向，正确控制各轮的转向和转速，即可实现全方位移动功能。若使用普通车轮，在此情况下，这种组合只能实现前后的运动，若要转向，则需要加装转向辅助轮作为其从动轮。但对于全方位轮来说，其特点就是能产生一个相对于轮体的轴向分力，通过调整各个轮子的转向和转速，形成一个与地面固定坐标系成一定角度的合力，从而实现了整个轮系的全方位运动。对于上图的四个全方位轮的安装形式，在以上坐标系内，沿 X、 X 向移动时，四个车转向及转速是相同的；当沿 Y、 Y 向移动时，同侧两轮相向而动，且四个车轮的转 速相同。其它形式的运动，四个车轮根据运动模型中的转换矩阵来求得各个全方位轮的转向及转速。 东南大学毕业设计论文 5 （共 31 页） 第三章 麦克纳姆轮参数设计 作为机器人驱动机构中，关键是全方位轮的设计。 Mecanum 全方位轮的最大特点是在轮子的圆周上均布了一周小辊子，且小辊子的轴线与轮平面有一定的夹角。因此，全方位轮的几何设计主要有辊子尺寸及轮子整体结构的设计。 3.1 辊子的几何参数的公式推导 图 3-1 为麦克纳姆轮的小辊子的受力情况，它的轮缘上的小辊子是斜向分布的，一般与轮子轴线呈 45o 角。设小 辊子所受轴向摩擦力为af，径向摩擦力为rf（由于小辊子滚动起 来后，所受的滚动摩擦一般可以忽略不计，但此处不能忽略，这一点将在下面加以说明），小辊子轴两端所受的径向约束反力分别为AX、AY、BX、BY。先不考虑rf，由于小辊子斜向 45o 分布，轮子若要产生某一驱动力 F，小辊子轴需承受 22F 的轴向力。另外，由于结构上的限制，小辊子的直径不可能做得很大， 这给小辊子轴上轴承的安装带来了很大的困难，能承受轴向力的向心推力球轴承等都无法使用，而滚针轴承的安装成了大难题，故只好用小型深沟球轴承代替，这使得小辊子较容易损坏，承载能力也有所下降。 由于辊子斜向分布，在垂直于轮子轴的轮子宽 度中心的截面上，轮子可以简化为如右所示的轴向截面简化图，并不是一个实质的轮子，由于滚动摩擦力很小，轮子能获得的驱动力将大为减小，故效率降低，承载能力也也有所下降。当全方位轮运转时，由于小辊子斜向布置，当在轮心上加一个转矩时，轮子的滚动方向不是向前而是偏向小 辊子 轴的方向，即轮子的滚动影响小 辊子 的滚动；反过来，在轮心上给轮子一个垂直与小 辊子 轴的推力，使小 辊子做纯滚动，则轮子也会向前滚动，总之，轮子的滚动和小 辊子 的滚动并非相互独立，而是紧密相关，相互影响。 若将相对两轮展开，则相当于如下所示的情况： 图 3-2 辊子展开图及轮轴向截面图 图 3-1 辊子受力图 东南大学毕业设计论文 6 （共 31 页） 图 3-4 辊子尺寸 显然，当轮子滚动时，小 辊子 并非纯滚动而是相对有滑动。这将造成一些不利影响，如运动不稳定，运动轨迹不准确等。究其最主要根源是在于麦克纳姆轮轮缘上的小 辊子 是斜向分布的，故其应用也有一定的局限性。 假设图 3-3 中所示的圆柱是全方位轮的理论设计圆柱，曲线 AB 是轮子滚动时 辊子 与地面的接触线。曲线 AB 是等速螺旋线，曲线 AB 绕直线 AB 旋转一周就形成了全方位轮 辊子的曲面。 由图 3-3 可知： R=K b （ 3.1） 其中 螺旋线绕 Z轴转角（ rad）； R 辊子 轴线所在圆柱面半径（ mm）； B 全方位轮宽度（ mm）； 由于式（ 3.1）中 K=1，所以有： =b/R (3.2) 图 3-4 中 A、 B 分别是螺旋线的端点， C 是线上任意一点。 故三点的坐标分别为： A（ R， 0， 0）， B（ Rcos， Rsin， R）， C（ Rcos， Rsin， R） 故有矢量： Pur =ACuur =P1 P2 P3ijkrrr（ 3.3） 图 3-3 辊子生成图 东南大学毕业设计论文 7 （共 31 页） 轴线 AB 的方向矢量： ABuur =R(cos -1) Rsin R ijkrrr（ 3.4） ABuur 的单位方 向矢量： ur =ABAB =2c o s22 RAB = 1 2 3ijkrrr（ 3.5） 其中 1 c o s 1 / D， 2 sin / D，3 / D， D= 2cos22 由于 C 是螺旋线上任意一点，所以可得到 辊子 曲面方程，过程是首先将矢量 Pur 绕轴矢量ur 旋转一个角度后得到矢量： Pur =P1 P2 P3 （ 3.6） 根据一矢量绕空间一矢量旋转公式得： 21 1 1 2 1 3 2 3 1 2 3 c o s 1 c o s 1 c o s s i n 1 c o s s i nP u P u u u P u u u P 22 2 1 3 1 2 2 3 2 1 3 1 c o s s i n c o s 1 c o s 1 c o s s i nP u u u P u P u u u P 23 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 c o s s i n 1 c o s s i n c o s 1 c o sP u u u P u u u P u P （ 3.7） 曲线上点 C 绕轴 AB 旋转后，得到曲面上点 C （ R+P1 ， P2 ， P3）。所以可得到以和为参数的辊子双参数曲面方程，简单表示如下： 321),(),(),(PzzPyyPRxx（ 3.8） 当为常数时，含一个参数的方程表示的是一个圆。当为常数时，含一个参数的方程表示的是辊子的一条母线。 全方位轮的一些关键几何参数： 辊子最小端半径min(mm)； 辊子 轮廓上任意一点相对于 AB 的距离及其最大值max(mm)和最小值min(mm)，由前面的推导知道minmin，辊子最大半径max=max； 辊子轴线与轮子 Z 轴的夹角 (rad)； 辊子轴线与轮子 Z 轴的最小距离minS(mm)； 辊子的数目 N； 辊子的长度 l(mm)； 东南大学毕业设计论文 8 （共 31 页） 轮子的实际宽度 b (mm)； 全方位轮的运动连续性比率系数。 由于在设计全方位轮时，机器人的整体结构设计决定了全方位轮的轮宽 b 和轮的外圆 柱半径 R，所以在设计时， b 和 R 为已知，由此可以得出其他的参数： A Smin和的确定 ur Zur = Z cos = 1 2 3 30 0 1 g g g （ 3.9） ur ， Zur 都是单位方向矢量，所以有： cos =Z3 = 3=D （ 3.10） 直线 AB 的方程为： 1cos Rx=siny=z(3.11) 因此有直线上点的坐标为： 000000c o s 1s i nx R zyzzzgg 2020202220200 )s i n(1c o s2)1c o s()( zr rzrrRzrrRyxzf (3.12) 令 0)s i n(21c o s2)1c o s(2)( 02020 zr rrrRzrrzf (3.13) 得到： z0=2Rg(3.14) 轮廓线上任一点到直线 AB 的距离 S： S= 2020 yx (3.15) 将 z0代入，得： minS= )cos1(22 R(3.16) B 的计算 这里的定义为全部 辊子 参与运动的接触线总长与轮子周长的比率，称为运动连续性比率系数。当 1 时，就可保证轮子的运动连续性。根据定义，可得到： =R RN 2 )2( 0=2N( -2 0) (3.17) 东南大学毕业设计论文 9 （共 31 页） 式中 o 辊子端点所对应的角 (rad)； C 、 min、 max的计算 up =R 22 2 c o s ( ) c o s c o s 1 ( 2 2 c o s ) 2 2 c o sr r rrr g (3.18) 与相对应的 x： c o s ( ) c o s c o s 1 22AB R D Rx R u r r rD ur r ggg (3.19) 可得： max 20min (3.20) 设计规定当 =2l时，0。因此可以有方程： c o s ( ) c o s c o s 122R D R lr r rD g g(3.21) 利用牛顿迭代法或 Matlab 计算可求出 0。 3.2 辊子的几何参数的设计计算 在确定了 b, R, l, N 后，用 MatLab 编程计算后（具体程序见附录一），可以得到各设计的辊子外轮廓图形。取 b=56,R=56,l=56,N=9,旋转角度为 45o 后，绘制的结果为（图中横轴平行于辊子轴）： 图 3-6 辊子轮廓曲线 图 3-5 计算图示 东南大学毕业设计论文 10 （共 31 页） 根据结构和尺寸的要求，以及电机的选取，预先决定了轮宽 b=73，轮的半径 R=56。根据辊子两端轴承选取的尺寸，预先取一个min，然后利用 Matlab 解方程（或 Newton 迭代法）解出0，将0代入上式得到初步的0l值，再根据0l取定 辊子 长度的设计值 l 。选取 辊子 数目时兼顾了运动的连续性和不发生运动干涉，预选取一个 N，若 1，则可以通过程序得到辊子 的轮廓线，在计算机中模拟，观察 辊子 是否干涉。如果条件不满足，则需要变换 N，直到两个条件都满足。根据参考文献最后选定参数如下（表 3-1）： 表 3-1 辊子的关键参数 R （ mm） B （ mm） l （ mm） N min （ mm） max （ mm） (o) Smin （ mm） (o) 0 （ mm） b （ mm） 56 73 56 9 7.97 11.48 42.94 44.52 74.69 16.87 1.02 40.99 东南大学毕业设计论文 11 （共 31 页） ( 0 . 5 7 5 4 ， - 9 9 . 4 8 6 9 )( - 0 . 5 0 8 8 , - 1 0 5 . 5 8 1 1 )(0.0655,-1 0 0 . 2 3 5 7 )( 0 , - 1 0 2 . 0 9 5 8 )( - 0 . 0 6 5 5 , - 1 0 0 . 2 3 5 7 )(0.5088,-1 0 5 . 5 8 1 1 )1 1 0 . 9 0 11 1 7 . 0 9 11 1 1 . 7 1 51 1 3 . 5 7 61 1 1 . 7 1 51 1 7 . 0 9 11 1 0 . 9 0 1圆 心 ( 参 考 尺 寸 )半径圆弧段( 2 8 , 7 . 9 7 )( 2 0 , 9 . 7 0 )( 1 2 , 1 0 . 8 4 )( 4 , 1 1 . 4 1 )( - 4 , 1 1 . 4 1 )( - 1 2 , 1 0 . 8 4 )( - 2 0 , 9 . 7 0 )( - 2 8 ， 7 . 9 7 )( - 0 . 5 7 5 4 ， - 9 9 . 4 8 6 9 )注 ： 回 转 轮 廓 线 ( 等 速 螺 线 ) 为 7 段 圆 弧 近 似 而 成 , 各 参 数 如 下第四章 三维造型与 零件 加工 本文利用 AutoCAD、 Matlab 等软件及在 Solidworks 中模拟设计出 Mecanum 全方位轮，并用软件辅助关键零件的设计加工。 4.1 辊子的设计加工 设计出辊子参数后，本文先用 Matlab 计算出辊子廓线上各点值，然后在 AutoCAD 中用若干段圆弧去近似等速螺线，工程图中给出各段圆弧的数控制加工参数（圆心、半径、起终点等，见图 4-1A），最后在数控车床上加工（ 辊子及其空间布置的模拟见图 4-1B）。 A.多段圆弧近似的等速螺线 B.辊子空间布置图 图 4-1 辊子阵列图 辊子在数控车床上编程加工 ，加工出后以图 4-1B 方式安装在轮毂上。但要注意辊子的安装有左右旋之分（具体体现在轮毂的斜孔空间角度加工上），图示为左旋即全方位移动机器人的右上角与左下角的轮体辊子布置方案。 4.2 辊 子 的安装轮毂的设计加工 本文的理论设计难点是辊子的参数设计及加工，但实际操作中，各参 数涉及的空间角度复杂，故轮毂的设计加工更是难点。轮毂的设计加工包括辊子安装直接影响 Mecanum 轮的运动精度。参见图 4-2。 A.轮毂三维模拟 B.轮体安装图 图 4-2 轮毂及轮体安装图 东南大学毕业设计论文 12 （共 31 页） 4.3 全向移动机器人的总体设计及装配 由于本文的另一目的即是设计的 Mecanum 全向轮可以为其他需要全方位移动场合提供硬件支持，如导游机器人、导购机器人、电动轮椅、拥挤的仓库作业及需要灵活平稳运动的自动 测量 仪器 等。 只要将本文所设计的全方位轮，以一定的数量（一般为 4 个）组合安装 到需全方位移动的实体上，即可使上述的实体实现灵活快捷的移动。如，可将 Mecanum 全向轮安装到有自动检验仓库货物任务的机器人本体上，这样的机器人就可在狭小的仓库中游刃有余的工作。 由于本文着重于轮体的设计，故设计了简易的车体便于安装测试电路，三维造型与实物图如下： A.三维模拟图 B.实物图 图 4-2 全向移动机器人 三维模拟图与实物图 全方位移动机构设计好后，只要辅以控制电路及程序算法即可实现全方位运动。 具体 电路及其控制部分见第七章 。 上述图片仅供参考，具体以最终实物为准。具 体 零件 设计 参见附件 图纸。 东南大学毕业设计论文 13 （共 31 页） 第五章 运动学 模型分析 运动学建模可以从理论上证明全方位轮是如何协调实现机器人的全方位运动的，并且为进一步建立动力学模型提供基础。现作三个合理的假设： 1 忽略本体及辊子的柔性； 2 忽略工作场地的不规则，即四个全方位轮能同时正常运转； 3 全方位轮与工作面有足够大的摩擦力，轮体不存在打滑现象。 5.1 坐标系建立 YXOLZXXXZ Z4C 2C2C1C3C4CYXYXYXYXYXG45 45 45 45 sdu图 5-1 机器人的坐标系 上图为机器人的坐标系。机器人本体坐标系 L 是动坐标系，固定于本体几何中心和本体一起运动。全局坐 标系 G 是固定坐标系，固定于工作平面。机器人的绝对运动也就是坐标系 L 相对于固定坐标系 G 的运动。各车轮与地面的接触点的坐标系为iC（ i 1,2,3,4），其坐标原点到坐标系 L 各轴的距离分别为 s、 d、 u。所有这些坐标系各相应坐标轴均平行同向， Z 轴方向符合右手判则。 由于轮式移动机器人的轮 地面和机器人 地面的关系式为三维高副连接，存在 X 方向、 Y 方向平动和方向转动三个自由度的运动，因坐标系的位置在不断的变化，描述机器人及其各部件的速度时需要设置“瞬时重合坐标系”。 设 A 的瞬时重合坐标系为 Aur ，那么与A 有相同的方向和位置，但 A 为动系， Aur 固定在绝对坐标系 G 中， Aur 相对于 G 静止。在这样的坐标系下描述机器人的运动，与机器人的位置无关。所以，对于每个动坐标系 L 和iC（ i=1,2,3,4），在每一时刻，都有与之相对应的瞬时重合坐标系 Lur 和iCur（ i=1,2,3,4）。 参量符号说明：小写字母（如 a）表示标量；带箭头的小写字母（如 ar ）表示矢量；大写字母（如 A）表示矩阵；前上角标表示参考坐标系，如 Arr 是矢量 rr 在坐标系 A 中的表示；后下角标表示矢量或矩阵的坐标或元素，如变换矩阵 BAK 阵表示从坐标系 B 到坐标系 A 的变换，xr是矢量 rr 的元素之一。 由于本系统中任何两个坐标系都不重合，并且各坐标系都绕 Z 轴转动。所以任两个坐标系都有相对平动位移 ABxd、 AByd、 ABzd和相对角位移 AB。可以得到 4 4 的变换矩阵： 东南大学毕业设计论文 14 （共 31 页） 10001000c o ss in0s inc o sBzAByABABABxABABABAdddK（ 5.1） 由式 5.1 和图 5-1 可得到坐标系iC（ i=1,2,3,4）与 L 的变换矩阵： 11 0 00 1 00 0 10 0 0 1LCsdKu21 0 00 1 00 0 10 0 0 1LCsdKu31 0 00 1 00 0 10 0 0 1LCsdKu41 0 00 1 00 0 10 0 0 1LCsdKu(5.2) 由于各坐标系的相应坐标都平行且同向，所以可得到如上所示的稀疏矩阵，这样的坐标系可以简化运动学模型。 5.2 轮体的雅可比矩阵 LLVur 是车体的速度在与动系 L 相对应的瞬时静系 Lur 中的描述，以后在文中，用 Vur 简化表示，其三个运动分量 LLxVur、 LLyVur、LzLVur相应表示为xV、yV、zW。具有三个自由度的全方位轮 i 的速度矢量 Wur 的三个分量是：轮转速iy、辊子转速ir和触地点转速iz。 则 iiV JWur uuri=1,2,3,4 。 (5.3) 考虑iy、ir及iz转向，由矩阵 BAK 得到车轮 i 的雅可比矩阵iJ表示如下： s i n s i n ( )c o s c o s ( )0 0 1L L Li C i i C i i C i yL L Li i C i i C i i C i xR r dJ R r d (5.4) 式中 iR 车轮的半径 (mm)； ir 车轮的滚子半径 (mm)； i 辊子的角度 (rad) iJ sini i irR ，当 180 o 时，iJ为非奇异阵。由于辊子角度是 45 o ，iJ的秩是 3。东南大学毕业设计论文 15 （共 31 页） 所以每个车轮有三个自由度。四个全方位轮分左旋和右旋两种（14 45 o ，2345o ）。其他结构完全相同（ R1 R2 R3 R4 R， r1 r2 r3 r3 r），所以得到各车轮的运动方程： 车轮 1： Vur 11jwur或 zyxwVV10022220srRdrzrywww111 (5.5) 车轮 2： Vur 22jwuur或 zyxwVV10022220srRdrzrywww222 (5.6) 车轮 3： Vur 33jwur或 zyxwVV10022220srRdrzrywww333 (5.7) 车轮 4： Vur 44jwuur或 zyxwVV10022220srRdrzrywww444 (5.8) 东南大学毕业设计论文 16 （共 31 页） 上面四式中 R、 r、 d、 s 分别为轮子半径、滚子半径、同侧轮距、两侧轮距。具体尺寸位置参考图 5-1。 5.3 复合方程 综上所述，四个车轮复合的全方位移动机器人本体的运动学模型可表示为： IIIIVur 4321000000000000JJJJ1234WWWWuuruuruuruur（ 5.9） 即： 11BWAVur uur（ 5.10） 式中 I 3 3 的单位矩阵； 1A 一个 12 3 的矩阵； 1B 一个 12 12 的对角块矩阵； Wur 四个车轮合成的车轮的速度矢量。 5.4 运动学逆问题解 在给定速度 Vur 的情况下，由式 5-1-8 求解得到各车轮的速度，即为运动学的逆问题。由前文中的前提假设，可知全方位车轮的三个运动分量iy、ir及iz是耦合的，所以，在逆问题中只要求出可控制的运动分量iy，就 可以实现机器人预定速度 Vur 的目标。 将运动学方程（式 5.10）分解成两个部分，可表示为： Vur i i iu iuJ W J Wuuur uuur（ 5.11） 其中： iaWuur 可控制参量； iuWuur 非控制参量； 整理（式 5.9）如下： 东南大学毕业设计论文 17 （共 31 页） IIIIVur aaaaaaaaJJJJJJJJ4321432100000000000000000000000012341234aaaauuuuWWWWWWWWuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（ 5.12） 即： 11apuWVBWuururuur (5.13) 其最小二乘解为： auWWuuruur ( pTpBB 11 ) 1 11TpB AVur (5.14) 由于在本案中四个全方位轮的转速是由四个直流电机分别控制，故转速iyW是可控制运动分量，irW、izW是非控制参量。由此可得到： RWWWWyyyy143211 1 ( )1 1 ( )1 1 ( )1 1 ( )sdsdsdsd zyxWVV WzyxWVV(5.15) 5.5 运动学正问题的解 本节讨论由车轮的位置 Uur 和速度 Wur 求得车体的速度，即称为运动学的正问题。首先将车轮速度分为已知和未知两部分，得： Vur is is in inJ W J Wuuur uuur(i=1,2,3,4) (5.16) 式中 isWur 已知速度参量； inWuur 未知速度参量。 变化上式可得： 东南大学毕业设计论文 18 （共 31 页） nnnnJJJJIIII43210000000000001234nnnnVWWWWuruuruuruuruurssssJJJJ43210000000000001234ssssWWWWuuruuruuruur(5.17) 即为： nAnVWuruursB sWur (5.18) 求出其最小二乘解为： nVWuruur 1TT sn n n sA A A B W uur （ 5.19） 化简上式可得最小二乘的运动学正问题解为： zyxWVV1111ababababababababllllllllyyyyWWWW4321 WyyyyWWWW4321(5.20) 其中abl s+d 。 东南大学毕业设计论文 19 （共 31 页） 第六章 动力学模型分析 6.1 复合系统在固定坐标系中的加速度 加速度的求取涉及到坐标系之间的相对运动，轮 地面和机器人 地面坐标系之间的转换。换算的最终目的是得到系统质心的绝对加速度，故建立三个坐标系：绝对静止坐标系XYZO ，固定于车 体中心上的动系 O X Y Z ，还有与动系 O X Y Z 相对应的瞬时静止坐标系 OXYZ ，它与绝对静止坐标系 XYZO 相对静止。三个坐标系的各相应轴都平行同向，在瞬时静止坐标系 OXYZ 中，动系 O X Y Z 相对于 OXYZ 的 速度表示为沿坐标轴方向的平动 Vur 12 0TVV和转动 uur 0 0 T ，设车体的质心是 G，其坐标为12( , ,0)ee，相应的在 O X Y Z 中有从点 O 指向点 G 的一常矢量，在坐标系 OXYZ 中表示为 rr OGuur ，速度为 Vur ，加速度为 ar 。 用 Vur ， ur 和 rr 表示 Vur 和 ar ： 由于动系 O X Y Z 相对于定系 OXYZ 不仅有平动还有相对转动，所以可以得到： drdtr drdtur ur rr Vur （ 6.1） 由 于 rr 在坐标系 O X Y Z 中是常矢量，所以在坐标系 O X Y Z 中求导 drdtur 0。 故有： Vur drdtur ur rr Vur 0 00& 120VV 120VV 12210VeVe& （ 6.2） 在定坐标系 OXYZ 中对其速度 V 求导，得到加速度 a ： a dtVd ( )d d r d Vrd t d t d t gur uurur ur 22( ) d r d d Vrrd t d t d t gggur ur u urur ur ur ur （ 6.3） 由于动坐标系 O X Y Z 相对于定坐标系 OXYZ 有相对运动，在 t 时间内，动系 O X Y Z 相对于定系 OXYZ 有相对位移： X V1cos( ) V2sin( ) t （ V1 V2 21V1 2 61V2 3 ） t Y V1sin( ) V2cos( ) t （ V2 V1 21V2 2 61V2 3 ） t 东南大学毕业设计论文 20 （共 31 页） (6.4) 又因 0limt t & (6.5) 所以 xV0limt tX 1V (