高等物理光学(chap2)_970908654.pdf

第第2章光场的傅里叶分析章光场的傅里叶分析第第2章光场的傅里叶分析章光场的傅里叶分析 2 1 傅里叶变换傅里叶变换 2 2 时间信号的傅里叶分析时间信号的傅里叶分析 2 3 二维傅里叶变换和空间频率二维傅里叶变换和空间频率 2 4 平面波的角谱平面波的角谱 2 5 消逝波消逝波 2 傅里叶光学傅里叶光学 传统上 用光 强 振幅的空 间分布来描述 光学图像 传统上 用光 强 振幅的空 间分布来描述 光学图像 数学 电子技术 通信理论数学 电子技术 通信理论与光学相结合 给光学引入了与光学相结合 给光学引入了 频谱 空间滤波 载波 线性变换频谱 空间滤波 载波 线性变换及相关运算等概念 把图像看作是由缓慢变化的背景 粗的轮廓等比较低的 及相关运算等概念 把图像看作是由缓慢变化的背景 粗的轮廓等比较低的 空间频率空间频率 成分和急剧变化的细节等比较高 的 成分和急剧变化的细节等比较高 的 空间频率空间频率 成分构成的 用频 率的分布和变化来描述光学图像 成分构成的 用频 率的分布和变化来描述光学图像 空域空域 频域频域 光学不仅用光学不仅用光强 振幅和透过率的空间分布光强 振幅和透过率的空间分布描述光学图像 也用 描述光学图像 也用空间频率的分布空间频率的分布变化描述光学图像 变化描述光学图像 2 1 傅里叶变换傅里叶变换 Fourier Transform 2 1 傅里叶变换傅里叶变换 Fourier Transform 2 1 1 Fourier变换变换 2 1 2 Fourier变换的性质 变换的性质 2 1 3 基本基本Fourier变换对 变换对 2 1 4 卷积卷积 法国数学家傅里叶法国数学家傅里叶 Joseph Fourier 1768 1830 4 2 1 1 Fourier变换变换 一 一 Fourier变换定义变换定义 若函数若函数在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件 其傅里叶变换定义为 函数的傅里叶逆变换为 其傅里叶变换定义为 函数的傅里叶逆变换为 exp 2d d xyxy F f ff x yjf xf yx y xy F f f f x y exp2d d xyxyxy f x yF ffjf xf yff 用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某一函数用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某一函数 5 傅里叶频谱概念和狄里赫利条件傅里叶频谱概念和狄里赫利条件 函数是各种频率为的余函数是各种频率为的余 正弦函数的叠加 叠加时的权重因子是 傅里叶变换常称为 正弦函数的叠加 叠加时的权重因子是 傅里叶变换常称为函数的频谱函数的频谱 傅里叶变换存在的充分条件有若干形式 绝对可积和狄里赫利条件是其中一种 傅里叶变换存在的充分条件有若干形式 绝对可积和狄里赫利条件是其中一种 函数绝对平方可积 函数绝对平方可积 狄里赫利条件狄里赫利条件 在任一有限矩形区域里 必须只有有限 个间断点和有限个极大极小点 而且没有无穷大间断点 在任一有限矩形区域里 必须只有有限 个间断点和有限个极大极小点 而且没有无穷大间断点 yx ff xy F ff 2 fx ydxdy x 1 1 0 sign x 代表 相移器 反相器代表 相移器 反相器 位相板位相板 输出输出 输入 输入 exp j 透过率透过率 exp j 1 1 sgn x Fx jf 20 7 矩形函数 矩形函数 Rectangle function 门函数门函数 表示狭缝 矩孔 空间限定 表示狭缝 矩孔 空间限定 1 2 0 a xx rect a 其它 sin sinc x x x af x F rectaafa aaf 21 8 三角形函数 三角形函数 Triangle function 表示光瞳为矩形的非相 干成像系统的光学 传递函数 表示光瞳为矩形的非相 干成像系统的光学 传递函数 OTF 1 0 x xax a a 其它 2 2 2 sin sinc x x x af x Faafa a af x 1 a 0 x a a 2 sin x x af a af 1 a 2 afx 22 9 梳状函数 梳状函数 Comb Function 用来表示光栅 对其他普通函数作等间距抽样用来表示光栅 对其他普通函数作等间距抽样 n nxx comb combcomb x Fxf 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x Comb x 23 10 高斯函数 高斯函数 Gaussian Function 用于表示激光束光强分布 用于表示激光束光强分布 2 expx 22 expexp x Fxf 24 基本基本Fourier变换对表变换对表 25 例 用宽度为例 用宽度为 a 的狭缝 对平面上光强分布的狭缝 对平面上光强分布 f x 2 cos 2 f0 x 扫描 在狭缝后用光电探测器记录 求输出光强分布 扫描 在狭缝后用光电探测器记录 求输出光强分布 引言 卷积概念的引入 引言 卷积概念的引入 2 1 4 卷积卷积 convolution 26 探测器的输出光功率分布探测器的输出光功率分布 a f 1 f0 x1 1 1 2 1 2 a x a x g xfd xx g xfrectdf xrect aa 卷积运算卷积运算 27 计算 对比 计算 对比 22 0 22 00 0 2cos 2 sin 2 sin 2 22 2 2 aa xx aa xx x g xf xrectfdfd a aa fxfx a f 2cos csin2 sin 2cos 2 00 0 00 xfafa f afxf a f x 2 cos 2 f0 x 28 设 物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为设 物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h x 物体分布物体分布 成像系统成像系统像平面分布像平面分布 像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果 需用卷积运算来描述 像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果 需用卷积运算来描述 f 成像成像 x 0 1 f 1 h x 1 2 f 2 h x 2 f 0 h x 29 一 卷积的定义一 卷积的定义 对于两个复值函数和 卷积定义为 对于两个复值函数和 卷积定义为 xh xf xhxfdxhfxg 2 1 4 卷积卷积 线性系统的输出 输入信号与系统脉冲响应的卷积线性系统的输出 输入信号与系统脉冲响应的卷积 0 x f x 3 2 1 x h x 3 1 反转 平移 相乘 积分反转 平移 相乘 积分 30 二 卷积运算过程二 卷积运算过程 g xf xh x 31 三 卷积的傅里叶变换三 卷积的傅里叶变换 卷积定理 卷积定理 空间域两函数的乘积 卷积 的傅里叶变换 对应着两者变换式的卷积 乘积 空间域两函数的乘积 卷积 的傅里叶变换 对应着两者变换式的卷积 乘积 二维卷积定义为二维卷积定义为 xyxy F g x yh x yG ffHff xyxy F g x yh x yG ffHff d dg x yh x ygh xy 32 卷积定理 卷积定理 HGhgF HGhgF 33 卷积定理 卷积定理 HGhgF HGhgF 34 卷积定理 卷积定理 HGhgF HGhgF 35 1 交换律 交换律 Commutative Property 2 分配律 分配律 Distributive Property 3 结合律 结合律 Associative Property xfxhxhxf xhxwxhxvxhxwxv xhxwxvxhxwxv 卷积运算定理卷积运算定理 36 1A 2 B 透镜透过函数 透镜透过函数 脉冲响应函数脉冲响应函数 h x 像平面光场分布 像平面光场分布 g x f x h x 物平移物平移x0 像平面光场分布 像平面光场分布 g x x0 f x x0 h x 卷积平移大小形状不变卷积平移大小形状不变 00 xxgxxhxf xgdxhfxhxf 若若 00 xxgxhxxf 则则 4 平移不变性 平移不变性 Shift invariance 37 5 定标性质 定标性质 Scaling 6 函数的卷积 函数的卷积 xfxxf 若若 xgxhxf b x gb b x h b x f 则则 注意 注意 b x g b x h b x f 函数与任何函数卷积仅重新产生该函数的 严格再生 函数与任何函数卷积仅重新产生该函数的 严格再生 38 卷积的过程 是使函数平滑的过程 原来函数尖锐的部分 在卷积后变得平滑 卷积的过程 是使函数平滑的过程 原来函数尖锐的部分 在卷积后变得平滑 卷积后函数卷积后函数g x 的宽度 等于两个被卷函数 宽度之和 的宽度 等于两个被卷函数 宽度之和 7 卷积的光滑作用 卷积的光滑作用 39 脉冲响应函数脉冲响应函数h x 是对光学系统性能 的定量评价 若 是对光学系统性能 的定量评价 若h x 为 函数 理想线性系统 无像差 无点扩散 为 函数 理想线性系统 无像差 无点扩散 h x 越宽 成像质量越差 越宽 成像质量越差 40 卷积的宽度近似等于被卷函数宽度之和 若两个被卷函数都具有紧凑底座 则严格成立 有限区间外恒为零 卷积的宽度近似等于被卷函数宽度之和 若两个被卷函数都具有紧凑底座 则严格成立 有限区间外恒为零 具有紧凑底座的两个函数的卷积具有紧凑底座的两个函数的卷积 x f3 x f1 x f2 x b3 b1 b2 x f1 x b1 x f2 x b2 41 8 重复卷积 重复卷积 21 xfxfxfxg n 42 多个函数卷积 产生一个比任一被卷函数都光滑得多的函数 当被卷函数越来越多时 卷积结果越来越象高斯函数 多个函数卷积 产生一个比任一被卷函数都光滑得多的函数 当被卷函数越来越多时 卷积结果越来越象高斯函数 21 xfxfxfxg n n函数Gaussxg Gauss函数最光滑 函数最光滑 dhdfdg 9 卷积下的面积 一个卷积下的面积等于被卷函数的面积之积 卷积下的面积 一个卷积下的面积等于被卷函数的面积之积 43 卷积性质的利用卷积性质的利用 l d x y t x y 2 circ 22 l yx x d 2 x d 2 位相板 输出 输入 位相板 输出 输入 exp j 即 透过率即 透过率 exp j 1 x d 2 x d 2 t x y 2 circ 22 l yx 若右边园孔上加若右边园孔上加 位相板 则位相板 则 x 0 d l x yy 2 2 时间信号的时间信号的Fourier分析分析 2 2 时间信号的时间信号的Fourier分析 分析 2 2 1 无限长的单色光振动无限长的单色光振动 单色光单色光 2 2 2 持续时间有限的等幅光振动 持续时间有限的等幅光振动 2 2 3 准单色光 准单色光 2 2 4 具有高斯振幅包络的准单色光具有高斯振幅包络的准单色光 45 2 2 时间信号的傅里叶分析时间信号的傅里叶分析 一维时间函数的傅里叶变换一维时间函数的傅里叶变换 exp 2 dt fF f tf tjt 1 exp2d f tFFFjt 可分解成一系列不同权重的基元函数 的线性叠加 代表基元函数的权重 振幅和相位 代表基元函数的能量分布 可分解成一系列不同权重的基元函数 的线性叠加 代表基元函数的权重 振幅和相位 代表基元函数的能量分布 F exp 2 jt F f t 2 F 46 1 2 0 1 2 012345 0 2 cos 2 t 0 2 cos 6 3 t 2 1 前前3项的和项的和 周期为周期为1方波函数的傅里叶分解方波函数的傅里叶分解 00 122 cos 2 cos 6 23 f ttt an fn 0 13 频谱图频谱图 1 2 2 2 3 47 2 2 1 无限长的单色光振动无限长的单色光振动 单色光单色光 00 exp 2 exp 2 U r tA ritrU rit 严格的单色光是无限长的单频振动严格的单色光是无限长的单频振动 振幅和相位是位置振幅和相位是位置r的函数 在空间任意位置上的波函数是频率和时间 的函数 在空间任意位置上的波函数是频率和时间t的简谐函数的简谐函数 0 复振幅 复振幅 exp U rA rjr P Im Re Im Re 0 exp 2 U r tU rit 48 无限长的单色光振动所对应的频谱 只含有单一的频率 理想的单色波在时间上是无限 其频谱为没有宽度 无限窄 的单一频率 无限长的单色光振动所对应的频谱 只含有单一的频率 理想的单色波在时间上是无限 其频谱为没有宽度 无限窄 的单一频率 的的Fourier 变换 变换 00 exp 2d FU rjtU r U r t 0 49 2 2 2 持续时间有限的等幅光振动持续时间有限的等幅光振动 0 exp 2 2 0 t Ajtt f t 其它 0 2 0 02 sin exp 2 t t t FAjt dtA t t 0 0 sin t t 2 0 0 sin t t 0 1 t 1 t 1 t v v F v 50 2 2 3 准单色光准单色光 1 t 00 exp 2 exp 2 f tjtFjt d 0 1 准单色光条件 准单色光条件 exp2d f tFjt 0 0 exp 2 exp 2 A tFjt d f tA tjt A t为慢变函数 振幅包络为慢变函数 振幅包络 51 2 2 4 具有高斯振幅包络的准单色光具有高斯振幅包络的准单色光 222 0000 exp exp 2 2 Ft 以高斯函数为包络的光振动以高斯函数为包络的光振动 2 0 00 2 expexp 2 tt f tAt 2 0 2 exp tt 2 3 二维二维Fourier变换的空间频率变换的空间频率 2 3 二维二维Fourier变换的空间频率变换的空间频率 2 3 1 空间频率 空间频率 2 3 2 空间频率的物理意义空间频率的物理意义 53 平面波的空间频率平面波的空间频率 空间频率的倒数即为振荡周期 空间频率的倒数即为振荡周期 X Y Z xyz exp zyx zfyfxfjazyxU 2 2 3 1 空间频率空间频率 方向余弦方向余弦 方向上的空间频率 方向上的空间频率 coscoscos XYZ coscoscos xyz fff 平面波的复振幅 的一般表达式 平面波的复振幅 的一般表达式 54 空间频率空间频率 与平面波的传播方向有关 波矢量与轴的夹角越大 在轴上的投影就越大 在该方向上的空间频率就越小 与平面波的传播方向有关 波矢量与轴的夹角越大 在轴上的投影就越大 在该方向上的空间频率就越小 xyz 平面波空间频率的物理意义 在 轴上单位距离内的复振幅周期变化的次数 平面波空间频率的物理意义 在 轴上单位距离内的复振幅周期变化的次数 空间周期空间周期 cos x d cos y d cos x f cos y f 空间频率 周空间频率 周 mm 55 一幅图象的明暗所组成的各个空间频率及相应的一幅图象的明暗所组成的各个空间频率及相应的 振幅振幅 空间频谱空间频谱 空间周期 空间周期 Tx d 空间频率 空间频率 fx 1 d Tx dx Ty dy fx 1 dx fy 1 dy 频谱中所有的频率成分和相应的振幅 就是这幅图象所包含的光学信息 频谱中所有的频率成分和相应的振幅 就是这幅图象所包含的光学信息 明暗空间周期性变化的图像明暗空间周期性变化的图像 56 平面波的复振幅的传播平面波的复振幅的传播 三个空间频率不相互独立三个空间频率不相互独立 平面波的复振幅即平面波方程为平面波的复振幅即平面波方程为 结论 在任一位置结论 在任一位置z的平面上的复振幅分布 由在平面上的复振幅和与传播距离 及方向有关的一个复指数函数的乘积给出 的平面上的复振幅分布 由在平面上的复振幅和与传播距离 及方向有关的一个复指数函数的乘积给出 1 2 2 2 2 2 2 zyx fff 1 2 2 2 2 yxz fff 0 z 2222 2222 2 exp 2 exp 1 2 0 exp 1 xyxy xy U x y zajxfyfjzff U x yjzff 57 方向角方向角 的平面波在平面的平面波在平面 x1 y1 的复振幅的复振幅 常数 coscos 11 yx coscos1exp 22 0 ikzAu设设 2 yx 平面波等位相线方程为 等位相线 平面波等位相线方程为 等位相线 相位值相差的一组波面 与平面的交线 相位值相差的一组波面 与平面的交线 一组平行等距的斜直线一组平行等距的斜直线 coscos exp 110 yxikuu 平面波的等位相线平面波的等位相线 58 平面波的位相因子平面波的位相因子 平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无关的两部分平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无关的两部分 与坐标有关的 表征平面波特点的线性位相因子 当平面上复振幅分布的 表达式中包含有这种因子 就可以认为有一个方向余弦为 的平面波经过此平面 与坐标有关的 表征平面波特点的线性位相因子 当平面上复振幅分布的 表达式中包含有这种因子 就可以认为有一个方向余弦为 的平面波经过此平面 yx coscos exp yxjk cos cos 59 2 3 2 空间频率的物理意义空间频率的物理意义 平面波在平面上的空间频率和空间周期平面波在平面上的空间频率和空间周期 yx 平面内等相位面平面内等相位面 0 cos y f y方向均匀方向均匀 yx 60 空间频率的调制空间频率的调制 平面波对应的空间频率 电磁波对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率 平面波对应的空间频率 电磁波对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率 实际上是表示出电磁波的传播方向 或传播方向与坐标轴的夹角 且大小受到光波长的限制 实际上是表示出电磁波的传播方向 或传播方向与坐标轴的夹角 且大小受到光波长的限制 空间频率的最大值是波长的倒数空间频率的最大值是波长的倒数 2 4 平面波的角谱平面波的角谱 2 4 平面波的角谱平面波的角谱 2 4 1 角谱 角谱 2 4 2 角谱的传播 角谱的传播 2 4 3 局域空间频率局域空间频率 62 平面上的复振幅分布看作频率不同的复指数分 量的线性组合 各频率分量的权重因子是 平面上的复振幅分布看作频率不同的复指数分 量的线性组合 各频率分量的权重因子是 传播方向余弦 传播方向余弦 exp 2 xyxyxy U x yA ffjxfyfdf df 利用傅里叶变换对位于单色光场中的利用傅里叶变换对位于单色光场中的x y平面上的复振幅 分布进行傅里叶分析 有 平面上的复振幅 分布进行傅里叶分析 有 2 4 1 角谱角谱 exp 2 xyxy A ffU x yjxfyfdxdy cos x f cos y f xy A ff U x y exp 2 xy jxfyf 复振幅分布可视为不同方向传播的单色平面波 分量的线性叠加 为的空间频谱 复振幅分布可视为不同方向传播的单色平面波 分量的线性叠加 为的空间频谱 U x y xy A ff U x y 63 coscoscoscos exp 2 AU x yjxydxdy xy A ff用方向余弦表示用方向余弦表示 cos cos A 为为x y平面上复振幅分布的角谱 平面上复振幅分布的角谱 1 单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向 传播的单色平面波的叠加 单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向 传播的单色平面波的叠加 2 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位 它们的值分别取决于角谱的模和幅角 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位 它们的值分别取决于角谱的模和幅角 引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义 引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义 64 2 4 2 角谱的传播角谱的传播 复振幅分布的空间频谱表示为复振幅分布的空间频谱表示为 以平面波传播方向的角度为宗量以平面波传播方向的角度为宗量 平面和平面上的光场分布分别为平面和平面上的光场分布分别为 研究角谱的传播就是要找到两个角谱之间的关系 研究角谱的传播就是要找到两个角谱之间的关系 2 dxdyyxjzyxUzA coscos exp cos cos 0 z zz cos cos coscos exp cos cos ddyxjAyxU 20 0 cos cos coscos exp cos cos ddyxjzAzyxU 2 65 从亥姆霍兹方程讨论传播规律从亥姆霍兹方程讨论传播规律 将表达式代入亥姆霍兹方程 改变积分与微分的顺序 可导出二阶线性微分方程 将表达式代入亥姆霍兹方程 改变积分与微分的顺序 可导出二阶线性微分方程 该二阶常微分方程的一个基本解 该二阶常微分方程的一个基本解 平面上的角谱为 因而有平面上的角谱为 因而有 zyxU 0 1 222 2 2 cos cos coscos