2013高中数学奥数培训资料之向量与向量方法.doc

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）10向量与向量方法（一）1（2004年上海春季高考题）在ABC中，有命题；若，则ABC为等腰三角形；若，则ABC为锐角三角形.上述命题正确的是 ( ) A B C D 2已知O为坐标原点，(1，1)，(5，5)，集合A|RN|2，、A，则_.3已知向量1+32+23，4162+23，31+122+113，问能否表示成1+2的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由4已知，是两非零向量，若+3与75垂直，4与72垂直，试求，的夹角5设向量，满足|1及|32|3. 求|3+|的值.引申 已知向量，满足|r，R，试求的值.6设A、B、C、D是坐标平面上的四点，它们的坐标分别为：A(，)，B(，)，C(，)，D(，)，且它们中任意三点不共线试证明：四边形ABCD为正方形的充要条件为 (，)(，)，OPP1P4P3且()()+()()0. 7如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点. 求证：为定值.8如图，设P1，P2，P3，Pn，是圆O内接正n边形的顶点，P是圆O上的任意点，求证：为定值.9空间有十个点A1，A2，A10，试求一个点P，使为最小.10如图，空间四边形ABCD中，点E分及点F分所成的比均为，则. yxO11一个物体受到同一个平面内三个力、的作用，沿北偏东45的方向移动了8m，其中|2N，方向为北偏东30；|4N，方向为东偏北30；|6N，方向为西偏北60，求合力所作的功.PFBCDENMA12设M、N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且，若B、M、N共线，求的值. 13如图，在OAB中，AD与BC交于M点，设，. (1)用，表示；(2)已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设，求证：.DABCEFOM14（2002年高考试题）已知两点M(1，0)，N(1，0)，且点P使，成公差小于零的等差数列(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P的坐标是(，)，为与的夹角，求tan（二）1已知，令，.则M与N的大小关系是 ( )AMN BMN CMN DM、N间的大小关系不能确定(2000年河北省高中数学竞赛试题)2实数满足，及，则的最小值是_. （1993年上海市高三数学竞赛试题）3（证明恒等式）（1）已知，且、为非零实数，求证：.4（求值）（1）已知，试求的值。5题组（1）求实数、的值，使函数f(，)(1)2+(+3)2+(2+6)2取得最小值. （2001年全国初中数学联赛）（2）若，求的最小值.（3）求函数的值域.变题 求函数的极值.（4）已知点P()在椭圆上，求的最大值.（5）设为正实数，且，试求的最小值.（6）求函数的最大值.（7）已知，且，求的最大值.（1990年首届“希望杯”全国数学邀请赛备选题）6用向量方法证明下列不等式：（1）已知，其中、均为实数. 求证：1+1（2） 已知、，且+1，求证36.（1990年日本IMO选拔试题）（3） 已知、，求证.（第二届友谊杯国际数学邀请赛题）（4）若、，且，n是正整数，求证：. （5）若、，则.（6）对所有的正实数、，证明：1.（2001年第42届IMO试题）7（1）已知、，且cos+coscos(+)，求、的值.（2）求值cos5+cos77+cos149+cos221+cos293.（3）求的值.8设a、b是两个实数，A(x，y)|xn，yna+b，n是整数，B(x，y)|xm，y3m2+15，m是整数，C(x，y)|x2+y2144是平面xOy内的点集合，讨论是否存在a和b，使得：AB(表示空集)， (a，b)C同时成立. （1985年全国高考理科压轴题） 给定正整数n和正数M，对于满足条件M的所有等差数列，试求的最大值.（1999年全国高中数学联赛第一试压轴题）QABOGP10（1） 如图，G为AOB的中线OM的中点，PQ过G，分别交OA、OB于点P、Q，. 问；的值是否为定值. DABCFE（2）试证：三角形三中线的长度的平方和等于三边长度的平方和的.ABDCPSRQM（3）凸四边形ABCD的对角线交于点M，点P、Q分别是AMD和CMB的重心，R、S分别是DMC和MAB的垂心. 求证：PQRS.（4）求证三角形三边上的高交于一点. ABCDEFHDECFAB（5）设D、E、F分别是ABC的所在各边的三等分点，且BC3BD，CA3CE及AB3AF（如右图），证明，ABC和DEF有相同的重心.y(A)OGBEDxH(1,)P(,)F(,1)C（6）正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF和GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE的面积的2倍，试确定HAF的大小，并证明你的结论. （1998年北京市中学生数学竞赛复赛试题）（7）设H、G、O分别为ABC的垂心、重心和外心. 又K为ABC所在平面上一点. 求证：； 用向量法证明H、G、O三点共线，且HG2GO.（欧拉定理）ABCB1C1A1（8）如图，A1、B1、C1分别是三角形的边BC、CA、AB上的定比分点，如果它们把三角形的边分别分成定比，. 那么A1、B1、C1三点共线的充要条件是mnt1. （著名的Menelaus定理）（9）已知三点O1、02、03及另一点M，且点M1是点M关于O1的对称点，点M2是点M1关于O2的对称点，点M3是M2关于O3的对称点，点M4是点M3关于O1的对称点，点M5是点M4关于O2的对称点，点M6是点M5关于O3的对称点，求证：点M6和始点M重合.MM1M2M3M4M5O2O1（10）如图，在ABC中，O为外心，三条高线交于H，D、E、F为垂足，直线ED、AB交于M，直线FD、AC交于N. 求证：（）OBDF，OCDE；()OHMN.NABCDEFOHM(2001，全国高中数学联赛)OABCxyxx11（1）充分暴露美国霸权主义、单边主义的滞留在我海南陵水机场的EP3电子侦察机，终以其被大御八块，由租用的“安124”运输机运回本土而告终，设若该机从日本冲绳美军基地起飞，至我领海外海上空A处，它在地面上的投影O在我两现代化雷达系统B、C两点的延长线上，假定侦察机的高度为h，从B处测得A的仰角为，从C处测得A的倾角为，CO(2+)h，BC2h，试用向量知识求+之值.（2）椭圆的两焦点分别为F1(0，1)、F2(0，1)，直线y4是椭圆的一条准线. 求椭圆的方程；设点P在椭圆上，且1，求的最大值和最小值.（1）在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AA12，AB3，AD，求：()异面直线B1C与BD1所成的角；()当为何值时，使B1CBD1？ABCDD1A1B1C1zxy（2）在边长为2的正方体AC1中，E、F分别为BB1、CD的中点.DAxFEBCyB1C1D1z()求证平面ADE平面A1D1F；()求斜线A1F与平面A1D1E所成的角；()求三棱锥FA1D1E的体积.（3）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的ABCDEFGyxz中点，GC垂直于面ABCD，且GC2，求点B到面EFG的距离. （1991年全国高考试题）（4）（2003年全国高考试题(理)第18题）如图，正方形ABCD、ABEF的边长是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a).()求MN的长；()当a为何值时，MN的长最小；()当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小.（5）设在四面体ABCD中，BDC是直角，D到平面ABC垂线的垂足S是ABC的垂心，试证：(AB+BC+AC)26(AD