高考常考的函数奇偶性专题.docx

专题七 高考常考的函数奇偶性的题型总结学习本专题必备知识点总结：1. 奇偶函数的定义：（1）奇函数：若函数对于定义域内任意的自变量都有=，则称该函数为奇函数；（2）偶函数：若函数对于定义域内任意的自变量都有=，则称该函数为偶函数. 奇偶函数的定义要注意两点：（1）与的关系；记忆时可联系初中的知识点：负数的奇次方为负数，负数的偶次方为正数. 所以，有负号的为奇函数，没有负号的为偶函数.（2）与关系成立的前提是对于定义域内的自变量都成立，也就是说定义域一定要关于原点对称. 时，既不是奇函数也不是偶函数；在时，则为偶函数了.2. 奇偶函数的图像：奇函数的图像关于原点对称，如；偶函数的图像关于轴对称，如.我们可以通过判断函数的奇偶性得到函数图像是关于原点对称，还是关于轴对称.3. 奇偶函数的性质：（1）奇函数+奇函数=奇函数；（2）偶函数+偶函数=偶函数；（3）奇函数偶函数=奇函数；（4）奇函数奇函数=偶函数；（5）偶函数偶函数=偶函数；（6）奇函数+偶函数=非奇非偶函数. 上述6个运算性质可以这样记忆：把奇函数看作负数，偶函数看作正数进行运算，若运算的结果一定为正数，则函数为偶函数；若运算的结果一定为负数，则函数为奇函数；若结果不定，则函数为非奇非偶函数。（7）若函数为奇函数或偶函数，则和. （8）若奇函数在原点有定义，则=0.一、关于函数奇偶性定义和图像的题型函数奇偶性定义的题型一般以两种形式考察：（1）直接用定义证明函数的奇偶性；（2）利用奇偶函数的性质先判断函数的奇偶性，再利用奇偶函数的知识点来解题。例1. 证明下列函数的奇偶性并说明它的图像特征：（1） 解析：题（1）是三个奇函数相加，由定义或性质都易得题（1）中的函数为奇函数；题（2）是与对数函数有关的函数奇偶性的题目，用定义也不难得出为偶函数；题（3）为一个非奇非偶函数加上一个奇函数的题目，用定义来判断知其为非奇非偶函数?.证明: (1) 函数的定义域为一切实数，所以定义域关于原点对称. (2) 函数的定义域为一切实数，所以定义域关于原点对称. (3) 函数的定义域为一切实数，所以定义域关于原点对称. 总结：（1）用奇偶性的定义来证明时，要把握住定义的两个要点：定义域首先要关于原点对称；与的关系. （2）关于某个函数图像特征的题目，可以先判断该函数的奇偶性，如果是奇函数，则它的图像关于原点对称，如果为偶函数，则它的图像关于轴对称?.（3）对于小题，还可以用奇偶函数的运算性质来判断.练习1. 证明下列函数的奇偶性并说明它的图像特征：（1）参考答案：（1）偶函数，图像关于轴对称；（2）奇函数，图像关于原点对称； （3）非奇非偶函数，图像既不关于原点对称也不关于轴对称.例2. 解下列各题：（1）设奇函数的定义域为5,5.若当0,5时, 的图像如右图,则不等式0的解是 . （2）设函数为奇函数，则（ ）c A0B1CD5（3）已知偶函数在区间单调增加，则满足的 取值范围是（ ）A.（，） B.，） C.（，） D. ，） 解析：题（1）给出了奇函数在0,5时的图像，由奇函数的图像关于原点对称，我们容易画出题（2）也是已知函数为奇函数，且给出一些条件，让我们求？. 题（3）是已知为偶函数且在区间单调增加，要求我们解抽象函数的不等式的题目.（1）由上面的解析知5,5的图像，根据图像知0的解是(2,0)(2,5.（2） （3）由于是偶函数,故 得，再根据的单调性 得|21| 解得. 所以答案选A.总结：已知奇偶函数在一定范围内的函数图像，可以利用奇偶函数图像的特点画出对应的另一部分图像（如例2（1），然后利用图像易解. 当已经给出函数是奇函数或偶函数时，除了利用图像的特点外，别忘记定义中与的关系！已知函数为奇（偶）函数，并给出函数的单调性，解抽象函数的不等式时，注意由所给条件，可以转化成为基本不等式来解. 本专题典型的函数奇偶性的高考真题汇总及解析较容易的基础题：1. 函数的图像关于（ ）A轴对称 B直线对称 C坐标原点对称 D直线对称2. 函数的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线对称C. 关于轴对称 D. 关于直线对称3. ，是定义在上的函数，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）充要条件 充分而不必要的条件必要而不充分的条件既不充分也不必要的条件4已知函数（ ）ABC2D25是（ ）A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为的奇函数6. 已知函数，若为奇函数，则 .7设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当时，则满足的取值范围是_.中等难度的提高题：1. 函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 是奇函数2. 已知函数，常数 （1）当时，解不等式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由较容易的基础题的参考答案：1. C 2. A 3. B 4. B 5. D 6. 7. (1,0)(1,+).第1题解析：第2题解析：第3题解析：第4题解析：方法一：由奇函数的定义易知函数第5题解析：第6题解析：方法一：因为为奇函数，所以.因此，第7题解析：中等难度题的参考答案：1. D 2. （1）； （2）当时，为偶函数；当时，函数既不是奇函数，也不是偶函数