高考数学总复习 第八章 立体几何 第3讲 点、直线、平面之间的位置关系课件 文.ppt

第3讲 点 直线 平面之间的位置关系 1 平面基本性质即三条公理的 图形语言 文字语 言 符号语言 列表 续表 公理2的三条推论 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一 个平面 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 l a b c不共线 a b c确定平面 p p 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理 空间中如果两个角的两条边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 2 空间线 面之间的位置关系 异面 无数个 没有 3 异面直线所成的角过空间任一点o分别作异面直线a与b的平行线a 与b 那么直线a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 其范围是 锐角或直角 0 90 1 2013年安徽蚌埠二模 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 b a l1 l2 l2 l3 l1 l3b l1 l2 l2 l3 l1 l3c l1 l2 l3 l1 l2 l3共面d l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共面 2 若空间中有两条直线 则 这两条直线为异面直线 是 a 这两条直线没有公共点 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 3 在长方体abcd a1b1c1d1中 既与ab共面也与cc1 共面的棱的条数为 c a 3条 b 4条 c 5条 d 6条 解析 如图d33 用列举法知 符合要求的棱为 bc cd c1d1 bb1 aa1 故选c 图d33 d 4 若a b a l b l p l 则 a p b p c l d p 考点1 平面的基本性质 例1 若直线l不平行于平面 且l 则 a 内的所有直线与l异面b 内不存在与l平行的直线c 内存在唯一的直线与l平行d 内的直线与l都相交 解析 不妨设直线l m 过点m的 内的直线与l不异面 故a错误 假设存在与l平行的直线m 则由m l 得l 这与l m矛盾 故b正确 c显然错误 内存在与l异面的直线 故d错误 故选b 答案 b 规律方法 直线在平面内也叫平面经过直线 如果直线不在平面内 记作l 包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形 反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点 线 面位置关系的基础 三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据 公理1是判断直线在平面内的依据 公理2的作用是确定平面 这是把立体几何转化成平面几何的依据 公理3是证明三 多 点共线或三线共点的依据 互动探究 1 下列推断中 错误的个数是 a a l a b l b l a b c a b c 且a b c不共线 重合 l a l a a 1个c 3个 b 2个d 0个 考点2 空间内两直线的位置关系 例2 如图8 3 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分 别是bc1 cd1的中点 则下列判断错误的是 图8 3 1 a mn与cc1垂直c mn与bd平行 b mn与ac垂直d mn与a1b1平行 答案 d 规律方法 判断直线是否平行比较简单直观 可以利用公理4 判断直线是否异面则比较困难 掌握异面直线的两种判断方法 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 再由假设的条件出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 在客观题中 也可用下述结论 过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不过该点的直线是异面直线 互动探究 2 如图8 3 2所示的是正方体和正四面体 p q r s分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形是 填上所 有正确答案的序号 图8 3 2 3 如图8 3 3 g h m n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则使直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 图8 3 3 解析 图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点在三棱柱的侧面上 mg与这个侧面相交于g m 平面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连接mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n共面 但h 平面gmn 因此gh与mn异面 答案 考点3 异面直线所成的角 例3 在正方体abcd a1b1c1d1中 1 求ac与a1d所成角的大小 2 若e f分别为ab ad的中点 求a1c1与ef所成角的大小 解 1 如图8 3 4 连接ab1 b1c 由abcd a1b1c1d1是正方体 易知a1d b1c 从而b1c与ac所成的角就是ac与a1d所成的角 ab1 ac b1c b1ca 60 即a1d与ac所成的角为60 图8 3 4 图8 3 5 2 如图8 3 5 连接ac bd 在正方体abcd a1b1c1d1中 ac bd ac a1c1 e f分别为ab ad的中点 ef bd ef ac ef a1c1 即a1c1与ef所成的角为90 规律方法 求异面直线所成角的基本方法就是平移 有时候平移两条直线 有时候只需要平移一条直线 直到得到两条相交直线 最后在三角形或四边形中解决问题 b 考点4 三点共线 三线共点的证明 例4 如图8 3 6 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 图8 3 6 图8 3 7 同理点p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da 点p 直线da ce d1f da三线共点 规律方法 要证明m n k三点共线 由公理3知 只要证明m n k都在两个平面的交线上即可 证明多点共线 问题 可由两点连一条直线 再验证其他各点均在这条直线上 可直接验证这些点都在同一条特定的直线上 相交两平面的唯一交线 关键是通过绘出图形 作出两个适当的平面或辅助平面 证明这些点是这两个平面的公共点 互动探究 5 在空间四边形abcd