第三章一元一次方程知识点梳理及典型例题牛园园.doc

第三章 一元一次方程知识要点梳理及典型例题一.元一次方程及解的概念1、一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a0)。典型例题：下列方程是一元一次方程的是（ ）A.x+y=1 B. C.3x+7=16 D. 做题要点：判断一元一次方程必须满足的3个条件： 只含有一个未知数； 未知数的次数是1次； 整式方程。2、方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。典型例题：以x为未知数的方程的解是x=3，求a的值。做题要点：将方程的解代入方程，得到一个以a为未知数的新方程，解得a的值。二.方程变形解方程的重要依据1、等式的基本性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：如果，那么；(c为一个数或一个式子)。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：如果，那么；如果，那么典型例题：1）、下列等式变形中不正确的是（ ）A、若x=y,则x+5=y+5 B.若 ，则x=yC.若-3x=-3y，则x=y D.mx=my,x=y2）、若2x+1=8,那么4x+2= 。2、分数的基本的性质分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。即： （其中m0）注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程： =1.6，将其化为的形式： 。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。典型例题三.解一元一次方程的一般步骤1、解一元一次方程的基本思路 通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成xa的形式。2、解一元一次方程的一般步骤是 变形名称具体做法去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(移项要变号)合并同类项把方程化成axb(a0)的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x 注意： 解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活安排求解步骤。 去分母时，不要漏乘没有分母的项。 去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“”号，括号内各项要改变符号。典型例题：1、 2、 2(2x+1)=3(x-2)-(x-6)3、 4、 5、一元一次方程应用题专题总结一、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程（4）解方程（5）检验，看方程的解是否符合题意（6）写出答案二、解应用题的书写格式：设根据题意解这个方程答。(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x的代数式表示。(2)解应用题时，不能漏掉“答”， “设”和“答”中都必须写清单位名称。(3)列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。(4)一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。三、典型例题：1. 和、差、倍、分问题： （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。 例.某校共有学生1050人，女生占男生的一半，求男生的人数。 分析：等量关系为：男生人数+女生人数=学生总人数解：设男生人数为x x+0.5x=1050 1.两个村共有834人，甲村的人数比乙村的人数的一半还少111人，两村各有多少人？2.两组工人，按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额20、第二组超额15完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件。问本月原计划每组各生产多少个零件？2. 劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 例. 甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。 分析：等量关系(1)原来甲车间的人数+100=（原来乙车间的人数-100） 6(2)原来甲车间的人数-100=原来乙车间的人数+100 解：设求原来乙车间的x人，由等量关系(2)得原来甲车间的人数=x+200,代入(1)中得方程 x+200+100=(x-100） 61.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？2.甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还多15人。求甲、乙两队原有人数各多少人？3. 比例分配问题： 这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：总量各部分之和, 比值相等。 例. 三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？解：设最小的数为x，则中间数为2x，最大数字为4x x+2x+4x=84 1.图纸上某零件的长度为32cm，它的实际长度是4cm，那么量得该图纸上另一个零件长度为12cm，求这个零件的实际长度。2.一时期，日元与人民币的比价为25.2：1，那么日元50万，可以兑换人民币多少元？4. 数字问题 （1）要搞清楚数的表示方法：一个二位数的十位数字为a，个位数字是b（其中a、b均为整数，且1a9， 0b9）则这个三位数表示为：10a+b。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n2表示；奇数用2n+1或2n1表示。例. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数分析：等量关系:(1)现在的两位数-原来的两位数=36(2)原来的两位数个位上的数=十位上的数2解：原来的两位数十位上的数为x,则由(2)得原来的两位数个位上的数为2x现在的两位数=2x10+x,所以由(1)得方程（2x10+x） - （x10+2x）=36 现在的两位数 原来的两位数1.将连续的奇数1，3，5，7，9，排成如下的数表：（1）十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由.5. 工程问题： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1，则 工作效率 = 例. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析:设工程总量为单位1，等量关系为：甲、乙合作3天后+乙单独完成剩下工程=1解：设乙还要x天才能完成全部工程1.某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。如先由甲队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？2.有一个水池，用两个水管注水。如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开乙管，5小时注满水池。 如果甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把水池注满？ 假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。如果三管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？6. 行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度时间。 （2）基本类型有 相遇问题； 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 例. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 （1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）分析：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车路程+快车路程=480， 慢车时间=快车时间+1小时解：设快车开出t小时后两车相遇140t+90(t+1)=480（2）分析：相背而行，画图表示为： 等量关系是：慢车路程+快车路程+480=600,慢车时间=快车时间解：相背而行t小时后两车相距600公里 140t+90t+480=600（3）分析：追及问题,画图表示为 等量关系为：快车路程+480公里慢车路程=600公里, 慢车时间=快车时间解：设x小时后两车相距600公里， 140t+480-90t=600（4）分析：追及问题，画图表示为： 等量关系为：慢车路程+480公里=快车路程, 慢车时间=快车时间解：设t小时后快车追上慢车90t+480=140t（5）分析：追及问题画图表示为： 等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里,慢车时间=快车时间+1解：快车开出后t小时追上慢车140t=90(t+1)+4801. 某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？2.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6Km，骑自行车的人的速度是每小时10.8Km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车人的时间是26秒。（1）火车的速度为每秒多少米；（2）求这列火车的身长是多少米。7. 利润赢亏问题（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（2）有关关系式：商品售价=商品利润+商品进价商品利润= 商品进价商品利润率 商品售价=商品标价折扣率例. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？分析：探究题目中隐含的条件是关键，可直接设成本为x元进价折扣率标价售价利润x元8折（1+40%）x元80%（1+40%）x15元等量关系：售价=利润+进价解：设进价为x元， 80%（1+40%）x =15+x1.某商品进价1500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润率为20%，则此商品是按几折销售的？2.某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？8. 储蓄问题(1) 本金：顾客存入银行的钱。利息：银行付给顾客的酬金。本息和：本金与利息的和。期数：钱存入银行的时间（以年为单位）。 (2) 本息和=本金+利息 利息=本金年利率期数 利息税=利息税率例. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析：等量关系：本息和=本金+本金利率期数，半年的期数为0.5年解：设半年期的年利率为x，250+250x0.5=252.71.莉莉的叔叔将打工挣来的25000元钱存入银行，整存整取三年，年利率为3.24%，三年后本金和利息共有 元（不计利息税）2.国家规定：存款利息税=利息20%，银行一年定期储蓄的年利率为1.98%.小明有一笔一年定期存款，如果到期后全取出，可取回1219元。若设小明的这笔一年定期存款是x元，则下列方程中正确的是（ ）（） （）（） （）9行船问题：顺水航速=静水船速+水流速度 逆水航速=静水船速-水流速度 例. 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？分析：等量关系：顺水航行距离=逆水航行距离解：设船在静水中的速度为x千米每小时2(x+3)=3(x-3)1.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离。10配套问题：各件的总数比例和每一套中各件的比例相等例：机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？分析：等量关系：一套中的小齿轮数大齿轮总数=一套中的大齿轮数小齿轮总数 加工大齿轮工人+加工小齿轮工人=85解：设x名工人加工大齿轮，则加工小齿轮的工人有（85-x）人 316x =210(85-x)1.包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，将两张圆形铁片与和一张可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配套？2.某厂生产一批西装，每2米布可以裁上衣3件，或裁裤子4条，现有花呢240米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？11比赛积分问题：1.某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了几道题。2.某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？12.方案设计与成本分析：1. 某市剧院举办大型文艺演出，其门票价格为：一等席300元人,二等席200元人，三等席150元人,某公司组织员工36人去观看,计划用5850元购买2种门票,请你帮助公司设计可能的购票方案。2.小明家搬了新居要购买新冰箱，小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱其中，甲冰箱的价格为2100元，日耗电量为1度；乙冰箱是节能型新产品，价格为2220元，日耗电量为0.5度，并且两种冰箱的效果是相同的.老板说甲冰箱可以打折，但是乙冰箱不能打折，请你就价格方面计算说明，甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算？（每度电0.5元，两种冰箱的使用寿命均为10年，平均每年使用300天）3.牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若在市场上直接销售鲜奶（每天可销售8吨），每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每加工1吨鲜奶可获利润1200元；制成奶片销售，每加工1吨鲜奶可获利润2000元该厂的生产能力是：若制酸奶，每天可加工3吨鲜奶；若制奶片，每天可加工1吨鲜奶；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕请你帮牛奶加工厂设计一种方案，使这8吨鲜奶既能在4天内全部销售或加工完毕，又能获得你认为最多的利润3. 我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售每吨获利7500元。当地一家农工商企业收购这种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行细加工，每天可以加工6吨，但两种加工方式不能同时进行。受季节条件限制，