数值分析—插值拟合复习题.pdf

15 题库分类题库分类 填空题填空题 1 绪论部分 1 设 x 3 214 y 3 213 欲计算 u yx 请给出一个精度较高的 算式 u u yx yx 2 设y f x1 x2 若x1 x2 的近似值分别为x1 x2 令y f x1 x2 作为 y 的近似值 其绝对误差限的估计式为 f x1 x 2 x1 x 1 f x1 x2 x2 x 2 3 要使20的近似值的相对误差限 0 1 应至少取 位有 效数字 20 0 4 10 a1 4 r 1 2 1 a 10 n 1 0 1 故可取 n 4 即 4 位有效数字 4 要使17的近似值的相对误差限 0 1 应至少取 位有 效数字 17 0 4 10 a1 4 r 1 2 1 a 10 n 1 0 1 故可取 n 3 097 即 4 位有效数字 5 对于积分 In e 1 1 0 xnexdx 试给出一种数值稳定的递推公式 In 1 1 In n In 0 易知 I0 1 e 1 In 1 nIn 1 故In 1 1 In n 0k 时 差商 f x x1 xn 0 当 n k 时 该差商是 k n 次多项 式 证明 因 1 n f xxxf n n 注意到 n k 时 f n x 0 n k 时 f n x k ak ak为 f x 的 k 次项系数 7f n k 1 由差分定义递推 查 n k 1 k 2 3f ok 6 c10 分 设 g x 和 h x 分别是 f x 关于互异节点 x1 xn 1以及互异 节点 x2 xn的插值多项式 试用 g x 和 h x 表示 f x 关于互异节 点 x1 xn的插值多项式 解 令 q x Ag x x xn Bh x x x1 为待定 n 次多项式 A B 为待定系数 注意到 g xk f xk k 1 n 1 h xk f xk k 2 n 7f 带入得 A 1 x1 xn B 1 xn x1 带入 ok 7 a10f 设 lk x 是关于互异节点 x0 x1 xn 的 Lagrange 插值基函 数 证明 1 m n k k m k xxlx 0 m 0 1 n 2 n k k m k xlxx 0 0 m 1 2 n 证明 由插值唯一性定理知 1 展开知 2 18 8 a10f 证明对于不超过 k次的多项式 p x 有 xpxlxp n k kk 0 k n lk x 是关于互异节点 x0 x1 xn的 Lagrange 插值基函数 证明 由插值唯一性定理知 9 a10f 设 p x 是任意首次项系数为 1 的 n 1 次多项式 lk x 是关于 互异节点 x0 x1 xn 的 Lagrange 插值基函数 证明 n k nkk xwxlxpxp 0 1 其中 n j jn xxxw 0 1 证明 插值余项直接计算 ok 10 a10f 已知函数 y f x 在点 x0的某邻域内有 n 阶连续导数 记 xk x0 kh k 1 2 n 证明 0 10 0 lim n xf xxxf n n h 证明 因 n f xxxf n n 10 x0 x0 nh 注意到 n 阶导数连 续性 两边取极限 ok 11 c10f 用等节距分段二次插值函数在区间 0 1 上近似函数 ex 如何 估算节点数目使插值误差 2 1 10 6 解 考虑子区间 xi 1 xi 二次插值余项 1 3 21 21 1 21 3 max 6ii iii iii xx x f f xP xxxxxxx e xxxxxx 令 x xi 1 2 s h 2 上式化简为 33 11 2 3 max 1 1 68489 s eheh ss s 令 6 3 10 2 1 9 32 48 eh 得 h 0 028413 故子区间个数为 N 2 h 70 4 取 N 71 故插值节点数为 2N 1 143 12 b10 分 设 f x 在区间 a b 上有二阶连续导数 P1 x 为其以 a b 为 节点的一次插值多项式 证明 max baxxf ab xPxf bxa 8 2 1 证明 利用插值余项结果可得线性插值多项式 P1 x 在子区间 a b 上的 余项估计式 再估计最值 ok max baxxf h bxax f xPxf bxa i 8 2 2 1 13 b10 分 已知 s x 是 0 2 上的已知自然边界条件的三次样条函数 试确定 19 s x 21 1112 10 21 32 3 xxdxcxb xxx 中的参数 b c d 解 利用边界条件 s 2 0 0 及样条函数定义可得 b 1 c 3 d 1 14 b10分 判断下面2个函数是否是 1 1 上以0为内节点的三次样条 函数 设 1 S x 10 23 01 23 23 23 xxxx xxxx 2 S x 10 23 01 235 23 23 xxxx xxxx 解 1 是 2 否 15 a10f 令 f x x7 x4 3x 1 求 f 20 21 27 及 f 20 21 28 解 n f xxxf n n 10 f 20 21 27 1 f 20 21 28 0 16 a10f 证明 n 阶均差有下列性质 1 若 F x cf x 则 F x0 x1 xn c f x0 x1 xn 2 若 F x f x g x 则 F x0 x1 xn f x0 x1 xn g x0 x1 xn 证明 n k kkn xfaxxxf 0 10 其中 ak 1 110nkkkkkk xxxxxxxx ok 17 a10f 回答下列问题 1 什么叫样条函数 2 确定 n 1 个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多 少 3 三转角法中参数 mi的数学意义是什么 答 1 略 2 4n 个 3 mi S xi 即样条函数在节点 xi处的一阶导数 18 a10f 回答下列问题 1 何谓 Hermite 插值问题 2 Hermite 插值与一般多项式插值有什么区别 第第 2 章章 拟合拟合 1 1 采采用用正正交交多多项项式式拟拟合合可可避避免免最最小小二二乘乘或或最最佳佳平平方方逼逼近近中中常常见见的的 9 问问题题 2 在函函数数的最佳一致逼近问题中 评价逼近程度的指标用的是函数 的 10 范数 在函数的最佳平方逼近问题中 评价逼近程度的 指标用的是函数的 11 范数 无穷范数 f 2 范数 3 计算题计算题 1 b10f 设 f x a a 的最佳一致逼近多项式为 P x 试证明 1 f x 是偶函数时 P x 也是偶函数 2 f x 是奇函数时 P x 也是奇函数 20 证明 1 令 t x 考查 axa max f x P x ata max f t P t ata max f t P t 故 P x 也是 f x a a 的最佳一致逼近多项式 由最佳一致逼近多项式的唯一性知 P x P x 2 略 2 a10f 试确定 0 1 区间上 2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式 p x 该多项式唯一否 解 p x 3 2 x 唯一 3 求 f x 2x3 x2 2x 1 在 1 1 上的最佳二次逼近多项式 P x 已知 T0 x cos0 1 T1 x cos x T2 x cos2 2x2 1 T3 x cos3 4x3 3x T4 x cos4 8x4 8x2 1 解 f x 2x3 x2 2x 1 P x 2 13 2 1 T3 x 2 1 T3 x 故 P x f x 2 1 T3 x 2x3 x2 2x 1 2 x3 2 1 3x x2 2 7 x 1 4 求 f x 2x4在 1 1 上的 3 次最佳一致逼近多项式 P x 已知 T0 x cos0 1 T1 x cos x T2 x cos2 2x2 1 T3 x cos3 4x3 3x T4 x cos4 8x4 8x2 1 解 P x 2x2 1 4 5 求 f x 2x4在 0 2 上的 3 次最佳一致逼近多项式 P x 已知 T0 x cos0 1 T1 x cos x T2 x cos2 2x2 1 T3 x cos3 4x3 3x T4 x cos4 8x4 8x2 1 解 令 x t 1 t 1 1 f x g t t 1 4 故 g t 的 3 次最佳一致逼近多项式为 P3 t 4t3 7t2 4t 7 8 故 f x 的 3 次最佳一致逼近多项式为 P x P3 x 1 4x3 5x2 2x 1 8 6 设 f x C a b 证明 f x 的最佳零次一致逼近函数为 s x M m 2 其中 M 和 m分别为 f x 在 a b 上的最大与最小值 7 证明 a b 上的正交函数系 H h1 x h2 x hm x 是线性无关的 函数系 证 写出线性组合式子 2 分 作内积求系数 2 分 8 10 分 求 f x lnx x 1 2 上的二次最佳平方逼近多项式的法 正 规 方程组 要求精确表示 即不使用小数 解 取 span 1 x x2 a b 1 2 法方程组为 1 0 1 0 10 11101 01000 nnnnnn n n f f f a a a 计算知 972 3 8 4322 22 53141537 4153723 37231 2 1 0 ln ln ln a a a 解之得 21 a0 1 142989 a1 1 382756 a2 0 233507 最佳平方逼近多项式为 P2 x 1 42 1 38x 0 233x2 平方误差为 f P2 22 f f a0 f 0 a1 f 1 a2 f 2 0 4 10 5 9 设 f x 在有限维内积空间 span 0 n 上的最佳平方逼近为 p x 试证明 f x p x 与 中所有函数正交 证明 查 n k kk xaxp 0 f x p x j f j p x j 注意到 ak是法方程组的解 而法方程组 1 0 1 0 10 11101 01000 nnnnnn n n f f f a a a 两边的 j th 分量为 j 0 j 1 j n p x j ok 10 设 n k kk xaxp 0 是 在 空 间 span 0 n 中 对 f x C a b 的最佳平方逼近 证明 f p f p f f n k kk fa 0 证 注意到 ak是法方程组的解 而法方程组 1 0 1 0 10 11101 01000 nnnnnn n n f f f a a a 故 k 1 n f x p x k 0 5 分 p f p 0 5 分 f p f p f f 2 f p p p f f f p p f p f f f p 5 分 11 求下列矛盾方程组的最小二乘解 43 322 2 1 21 21 21 21 xx xx xx xx 解 x1 29 12 x2 39 12 写出相应的法方程组 ATAx ATb 5 分 求解 x1 29 12 x2 39 12 5 分 12 推导用最小二乘法解矛盾方程组 Ax b 的法方程组 ATAx ATb 解 给出目标函数 h x Ax b 2 5 xTATAx 2xTATb bTb 5 求偏导得到驻点方程组 ATAx ATb 0 5 13 证明 0 n 为点集 xi mi 1上的线性无关族 法方程 GTGa GTy 有唯一解 其中 10 11110 00100 mnmm n n xxx xxx xxx G 22 证 充分性 首先注意到若 a0 a1 an 为方程组 a0 0 a1 1 an n 0 9 的解 则必为方程组 的解 事实上 令 0 1 n 分别与 9 两端作内积得 10 知也 设 GTG 0 10 仅有 0 解 9 也仅有 0 解故 0 n 无关 证必要性 0 n 无关 9 仅有 0 解 即 a a0 a1 an 0 Ga 0 aTGTGa Ga T Ga Ga 22 0 GTG 正 定 GTG 0 GTG 0 14 若 0 x 1 x n x 是点集 x1 x2 xm 上的离散正交族 n k kk xax 0 为给定数据对 xi yi i 1 2 m 的最小二乘 拟和函数 证明 1 0 nk y a kk k k 证 法方程系数矩阵为 QTQ nnnn n n 10 11101 01000 nn 00 0 0 00 11 00 此时法方程为 1 0 1 0 11 00 nnnn y y y a a a 故 1 0 nk y a kk k k 15 若 0 x 1 x n x 是 a b 上的正交族 n k kk xax 0 为 f x 的最佳平方逼近 证明 10 nk f a kk k k 证 法方程系数矩阵为 QTQ nnnn n n 10 11101 01000 0 0 a0 1 0 a1 n 0 an 0 0 1 a0 1 1 a1 n 1 an 0 0 n a0 1 n a1 n n an 0 10 23 nn 00 0 0 00 11 00 此时法方程为 nnnn f f f a a a 1 0 1 0 11 00 故 1 0 nk y a kk k k 16 求函数 f x x 在 1 1 上求关于函数族 span 1 x2 x4 的最佳平方 逼近多项式 解 由内积 f g 1 1 dxxgxf 令 0 1 1 x2 2 x4 计算知法方程 1 0 1 0 10 11101 01000 nnnnnn n n f f f a a a 得 31 21 1 927252 725232 52322 2 1 0 a a a 解之得 a0 15 185 0 117 a1 105 64 1 64 a2 105 128 0 820 最佳平方逼近多项式为 0 117 1 64x2 0 820 x4 17 求函数f x x 1 在 1 3 上求关于函数族span 1 x 的最佳平方逼近 多项式 解 由内积 f g 3 1 dxxgxf 令 0 1 1 x 计算法方程 1 0 1 0 10 11101 01000 nnnnnn n n f f f a a a 得 2 3 3264 42 1 0 ln a a 解之得 a0 13 2 ln3 6 1 14 a1 3 3ln3 0 295 最佳平方逼近多项式为 1 14 0 295x 18 求 a b c 的值 使 0 22 dxcxbxax sin达到最小 解 就是求 f x sinx 关于函数族 span 1 x x2 在 0 上的最佳平方逼 近 由内积 f g 0 dxxgxf 令 0 1 1 x 2 x2 计算知法方程 24 1 0 1 0 10 11101 0