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1 4 2写出一维近自由电子近似 第n个能带 n 1 2 3 中 简约波矢的零级波函数 一维近自由电子近似中 用简约波矢表示的波函数 第n个能带零级波函数 第四章能带理论习题 2 第一个能带 3 第二个能带 第三个能带 4 4 3电子在周期场中的势能函数 且a 4b 是常数 1 画出此势能曲线 并计算势能的平均值 2 用近自由电子模型 计算晶体的第一个和第二个带隙宽度 5 6 势能的平均值 令 7 在近自由电子近似模型中 势能函数的第n个傅里叶系数 第一个带隙宽度 8 第二个带隙宽度 4 4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数 s态原子能级相对应的能带函数 9 任选取一个格点为原点 最近邻格点有12个 s原子态波函数具有球对称性 10 12个最邻近格点的位置 11 类似的表示共有12项 归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带 12 对于体心立方格子 任选取一个格点为原点 有8个最邻近格点 最近邻格点的位置 13 类似的表示共有8项 归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带 14 只计入最近邻格点原子的相互作用时 s态原子能级相对应的能带函数表示为 4 7一维单原子链 原子间距a 总长度为L Na1 用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数2 求出其能带密度函数的表达式3 如每个原子s态中只有一个电子 计算T 0K时的费密能级和处的能态密度 15 对于一维情形 任意选取一个格点为原点 有两个最近邻的格点 坐标为 a和 a 能带密度函数的计算 16 对于一维格子 波矢为具有相同的能量 此外考虑到电子自旋有2种取向 在dk区间的状态数 17 能带密度 T 0K的费密能级计算 总的电子数 其中 18 T 0K的费密能级 T 0K费密能级处的能态密度 19 20 半金属的能带1和能带2如图所示 能带1的能态密度 21 同理能带2的能态密度 22 半金属如果不发生能带重合 电子刚好填满一个能带 由于能带交叠 能带1中的电子填充到能带2中 满足 23 24 晶体布里渊顶角 a a 处的能隙 在近自由电子近似模型中 势能函数的第n个傅里叶系数 25 晶体势场 26 布里渊顶角 代入 27 布里渊顶角处的能隙 例题 设晶格常数为a的一维晶格的周期性势场为 用自由电子近似的微扰论 近似地求出布里渊区边界 a处的能隙 发现傅立叶系数只有两个 即 而布里渊区边界 a正好是第一布里渊的边界 能级在此发生分裂 分裂值为 考虑一个二维正方格子 其晶格势场为 用自由电子近似的微扰论 近似地求出布里渊区顶角 a a 处的能隙 考虑一个二维正方格子 其晶格势场为 在U x 展开为复数傅立叶级数时只有4个系数 即 V 1 1 V 1
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