高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质3.1相似三角形的判定学案新人教A版.docx

1相似三角形的判定1了解三角形相似的定义2掌握相似三角形的判定定理，以及直角三角形相似的判定方法(重点、易混点)基础初探教材整理1相似三角形的有关概念阅读教材P10“定义”部分，完成下列问题1定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形2相似比相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)教材整理2相似三角形的判定阅读教材P10P15“思考”以上部分，完成下列问题1预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似2相似三角形的判定定理名称定理内容简述判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.两角对应相等，两三角形相似判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.三边对应成比例，两三角形相似.如图131所示，在ABC中，FDGEBC，则与AFD相似的三角形有() 【导学号：07370011】图131A1个B2个C3个D4个【解析】FDGEBC，AFDAGEABC.【答案】B教材整理3直角三角形的相似阅读教材P13P16“相似三角形的性质”以上部分，完成下列问题1引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边2直角三角形相似的判定定理：(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似下列判断中，不正确的是()A两直角边分别是3.5,2和2.8,1.6的两个直角三角形相似B斜边和一直角边长分别是2，4和，2的两个直角三角形相似C两条边长分别是7,4和14,8的两个直角三角形相似D两个等腰直角三角形相似【解析】由直角三角形相似判定定理知A，B，D正确【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑： 小组合作型相似三角形的判定如图132，在ABCD中，过点B作BECD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且BFEC.图132(1)求证：ABFEAD；(2)若AB4，BAE30，求AE的长【精彩点拨】(1)要证ABFEAD，易知12，只需再找一对角相等，即可利用判定定理1证明两三角形相似(2)解RtABE可求得AE的长【自主解答】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，12，CD180.又CBFE，BFEBFA180，DBFA，ABFEAD.(2)ABCD，BECD，ABE90.在RtAEB中，130，AB4，AE .判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理，还缺少什么条件就推导出这些条件再练一题1如图133，已知在ABC中，ABAC，A36，BD是角平分线，证明：ABCBDC.图133【证明】A36，ABAC，ABCC72.又BD平分ABC，ABDCBD36，ACBD.又CC，ABCBDC.证明线段成比例如图134，已知ABC中，BAC90，ADBC于D，E是AC的中点，连接ED并延长与AB的延长线交于F.求证：.图134【精彩点拨】由条件知：ABACBDAD，转证BDADDFAF，变为证FADFDB.其中BDAD正是两对相似三角形的中间比【自主解答】BAC90，ADBC，CBAD，RtADBRtCDA，.又E是AC的中点，AEDEEC，DAEADE，BADBDF.又FF，FDBFAD.，即.1本题根据，把欲证明的问题转化为证明是解题的关键2求证的成比例线段所在的三角形不相似时，应考虑用中间比过渡，也就是转证其他三角形相似，得到比例线段，最后得证结论再练一题2如图135所示，已知梯形ABCD中，ABDC，AC，BD相交于点O，BEAD交AC的延长线于点E.求证：OA2OCOE.图135【证明】DCAB，AOBCOD，.又ADBE，ODAOBE，即OA2OCOE.证明两直线平行如图136，D为ABC的边AB上一点，过D点作DEBC，DFAC，AF交DE于G，BE交DF于H，连接GH.求证：GHAB.图136【精彩点拨】结合图形的特点可以先证比例式成立，再证EGHEDB，由此得EHGEBD即可【自主解答】DEBC，即.又DFAC，.，.又GEHDEB，EGHEDB，EHGEBD，GHAB.1由平行线可以得到比例式，由比例式也可以确定两直线的平行关系2证明平行关系时，可以由引理找到比例式得证，也可以使用平行线的其他判定方法再练一题3.如图137，在平行四边形ABCD中，直线EFAB，连接AE，BF，DE，CF，分别交于G，H，连接GH.求证：GHBC.图137【证明】四边形ABCD为平行四边形，ABCD，ABCD.又EFAB，ABEFCD，BAGFEG，DCHEFH，GHBC.构建体系1如图138，锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O，图中与ODB相似的三角形的个数是()图138A1B2C3D4【解析】BEAC，CDAB，ODB，ABE，ADC，OCE都是直角三角形又DBOEBA，AA，DOBEOC，ODBAEBADC，ODBOEC，与ODB相似的三角形有3个【答案】C2给出下列四个命题：三边对应成比例的两个三角形相似；一个角对应相等的两个直角三角形相似；一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；一个角对应相等的两个等腰三角形相似其中正确的命题是() 【导学号：07370012】A BCD【解析】都是判定定理，显然正确，中若相等的角是直角，则不一定相似，故不正确中，若相等的角在一个三角形中是顶角，在另一个三角形中是底角，则不一定相似，故不正确【答案】A3如图139所示，DE与BC不平行，当_时，ABCAED.图139【解析】ABC与AED有一个公共角A，当A的两夹边对应成比例，即时，这两个三角形相似【答案】4如图1310所示，在ABC中，ACB90，CDAB，AC6，AD3，则AB_.图1310【解析】在ACD和ABC中，AA，ADCACB90.ACDABC，AB12.【答案】125如图1311，ABC是等边三角形，且点E，D在直线BC上，且DAE120，求证：EABEDA.图1311【证明】因为DAE120，ABC是等边三角形，所以ABE120DAE，又E为公共角，在EAB和EDA中，有两组对应角相等，所以EABEDA.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1如图1312，在正方形网格上有6个三角形：ABC，BCD，BDE，BFG，FGH，EFK.其中，中与三角形相似的是()图1312ABCD【解析】由相似三角形判定定理知选B.【答案】B2如图1313，在ABC中，M在BC上，N在AM上，CMCN，且，下列结论中正确的是()图1313AABMACBBANCAMBCANCACMDCMNBCA【解析】CMCN，CMNCNM.AMBCNMMCN，ANCCMNMCN，AMBANC.又，ANCAMB.【答案】B3如图1314，正方形ABCD中，E为AB的中点，AFDE于点O，则等于()【导学号：07370013】图1314A. B.C.D.【解析】AFDE，RtDAORtDEA，.【答案】D4如图1315，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得，则有()图1315AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD【解析】因为AC，2，所以AEDCBD.【答案】B5.如图1316所示，已知点E，F分别是ABC中AC，AB边的中点，BE，CF相交于点G，FG2，则CF的长为()图1316A4 B4.5C5D6【解析】E，F分别是ABC中AC，AB边的中点，FEBC，由相似三角形的预备定理，得FEGCBG，.又FG2，GC4，CF6.【答案】D二、填空题6如图1317，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3，则DE_，CE_.图1317【解析】在RtACE和RtADB中，A为公共角，ACEADB，AE8，则DEAEAD5，在RtACE中，CE2.【答案】527如图1318，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则AE_.图1318【解析】由BD，AEBC及ACD90可以推得：RtABERtADC，故AE2.【答案】28.如图1319，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DEEC12，则BFBE_. 【导学号：07370014】图1319【解析】DEEC12，DCEC32，ABEC32.ABEC，ABFCEF，.【答案】35三、解答题9如图1320，已知ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于点F.求证：PB2PEPF.图1320【证明】连接PC.ABAC，ABCACB.AD是中线，AD垂直平分BC，PBPC，PBDPCD，ABPACP.又CFAB，ABPFACP，而CPEFPC.PCEPFC，PC2PEPF，即PB2PEPF.10.如图1321，某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且ABCD900米，ADBC1 700米自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B，C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC500米若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元图1321(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？【解】(1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线(2)在RtABE中，AB900米，BE1 7005001 200米，AE1 500(米)，由ABECFE，得到，即，可得CF300(米)由BHECFE，得，即，可得BH720(米)由ABEDGA，得，即，可得DG1020(米)所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720800576 000(元)，300800240 000(元)，1 020800816 000(元)能力提升1.如图1322所示，要使ACDBCA，下列各式中必须成立的是()图1322A.B.CAC2CDCBDCD2ACAB【解析】CC，只有，即AC2CDCB时，才能使ACDBCA.【答案】C2如图1323所示，AOD90，OAOBBCCD，则下列结论正确的是()图1323ADABOCABOABODACBACBDADOACABD【解析】设OAOBBCCDa，则ABa，BD2a，且ABCDBA，BACBDA.【答案】C3如图1324所示，BACDCB，CDBABC90，ACa，BCB.当BD_时，ABCCDB.图1324【解析】由即可得到【答案】4如图1325所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，连接FC(ABAE)图1325(1)AEF与ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由；(2)设k，是否存在这样的k值 ，