小波信号坚持奇异点.doc

德州学院 物理系 2012届 电子信息工程专业 毕业论文小波分析在一维奇异信号检测应用中的应用研究权爱娟(德州学院物理系，山东德州253023)摘 要 小波分析被誉为分析信号的显微镜，能精确刻画信号在小波变换下的局部奇异性。小波分析突破了传统傅里叶变换(Fourier Transform)等信号处理方法的限制，在时域和频域上可同时对信号实现局部化处理，同时，各奇异点的位置，也可以由小波分析的局部模极大值性质检测出来，因而在检测信号性等方面具有广泛的应用价值。突变信号又称奇异信号，突变信号的突和应用变点经常携带比较重要的信息,是信号的重要特征之一。在数字信号处理和数字图像处理中具有非常重要的作用和地位，信号的突变性检测是先对原信号在不同尺度上进行“磨光”，再对磨光后信号的一阶或二阶倒数检测其极值点或过零点。对信号进行磨光处理，主要是为了消除噪声而不是边缘。传统的信号突变检测方法是基于傅立叶变换的，由某一函数的傅立叶变换趋近于零的快慢来推断该函数是否具有突变性，但它只能反映信号的整体突变性，而对信号的局部突变则无法描述。基于小波变换的信号奇异性检测可以应用于故障诊断、图像的多尺度边缘提取、信号恢复和去噪、语音基因周期检测等领域。关键词 小波分析； 模极大值； 奇异信号； 傅里叶变换； 1 绪论 小波分析是傅里叶分析思想的发展与延续，它自产生以来，就一直和傅里叶分析密切相关。信号的奇异性分析是提取信号特征的重要手段，傅里叶变换(Fourier Transform)一直是研究信号奇异性的经典工具，但是由于傅里叶变换对信号的表示要么在时域，要么在频域，缺乏空间局部特性，因而只能确定信号奇异性的整体信息，无法确定奇异点的空间分布。小波变换具有时频局部化特性，能够有效地分析信号的奇异性，确定奇异点的位置与奇异度的大小，为信号奇异性分析提供了有力的工具。在处理信号的领域，对原始信号进行一系列的变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，以获得更多的信息。根据傅立叶变换的理论，在一定的条件下，一个周期函数可以表示为傅立叶级数。傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息在许多情况下，具有实际的物理意义，所以傅立叶变换得到了广泛的应用。但是，这种理论具有一定的局限性，那就是不能表达信号的时域信息，所以应用十分受限。后来提出的短时傅里叶变换虽然可以表达信号的时域信息，但是在空间中的分辨率是固定不变的，应用起来不够灵活，信号的瞬态的特点不能被很好的表达出来。数学上称无限次可导函数是光滑的或没有奇异性，若函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称函数在此处有奇异性,该点就是奇异点。信号的突变点往往包含重要的信息。如果一信号在某个时刻的一个小邻域内发生了突变，那么信号的整个频谱都将会受其影响。突变信号的突和应用变点经常携带比较重要的信息，因此，在非平稳信号分析和实时信号处理的许多应用中，只有傅里叶变换是不够的。小波分析突破了传统傅里叶变换等信号处理方法的限制，在时域和频域上同时对信号实现局部化处理，这更符合信号非平稳的变频带结构特征。2 小波分析的理论基础在信号处理的领域中，存在众多的频域分析方法，其基本思想都是通过研究信号的频谱特征来得到进行信号处理的基本信息，傅里叶分析方法是一种最古老也是发展最充分的方法，但是傅里叶分析方法严重的不足在于不能表达时域信息，应用很受局限，小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方法的限制，在时域和频域上同时对信号实现局部化处理，这更符合信号非平稳的变频带结构特征，在信号检测奇异性等方面具有广泛的应用价值。2.1 小波分析简介 在信号处理领域，对原始信号进行变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，获得更多的信息，而这些信息是原来信号没有直接提供的(隐含的)，小波分析是自1986年以来由Y1Meyer，S1Mallat及I1Daubechies等的研究工作为基础而迅速发展起来的一门新兴学科，他是傅里叶分析(Fourier Analy2sis) 划时代的发展结果。小波分析方法是一种窗口大小（既窗口面积）固定但其形状可以改变，时间窗和频率窗都可改变的时域局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。在大尺度下，可以将信号的低频信息(全局)表现出来，在小尺度下，可以将信号的高频(局部)特征反映出来。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。 小波分析属于时域分析的一种，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，是一种信号的时间尺度（时间频域）分析方法，具有多分辨率分许的特点，而且在时域和频域两域都具有表征信号局部特征的能力，被誉为分析信号的显微镜。小波分析已经广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障与监控、分析以及数字电视等科技领域。原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方都可以用小波分析来代替。小波分析优于傅里叶变换的地方就是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。小波变换具有空间局部化性质，小波变换系数由该点附近的局部信息所确定，因此小波变换能够很好的分析信号的奇异点的位置和奇异点的强弱。 奇异点的位置可以通过跟踪小波变换在细尺度下的模极大曲线来检测；而信号点的奇异性强弱（在数学上，通常用Lipshitz指数来刻画信号奇异性的大小）可以由小波变换模极大值随尺度参数的衰减性来刻画。2.2 小波分析的理论基础设(表示平方可积的实数空间，既能量有限的信号空间），其傅里叶变换为。当满足允许条件（Adimissible Condition）： （2.1）时，我们称为一个基本小波或母小波（Mother Wavelet）。讲母函数经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。对于连续的情况，小波序列为 (2.2)其中，伸缩因子，为平移因子。对于离散的情况，小波序列为 (2.3)对于任意的函数的连续小波变换为 （2.4）其逆变换为 （2.5） 小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶的时频窗口不一样。其窗口形状为两个矩形 ，窗口中心为 ，时窗宽和频窗宽分别为和。其中仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而不仅影响窗口在频率轴上的位置的，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的：在低频时小波变换的时间分配率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。这边是它优于经典的傅里叶变换与短时傅里叶变换的地方。从总体上来说，小波变换比短时傅里叶变换具有更好的时频窗口特性。 观测信号含有噪声。应用观测数据代替进行分析处理，要进行平滑和滤波处理。设是一个适当的光滑函数，满足和。一般情况下选为高斯函数，即 （2.6）若令 （2.7）则有 ， （2.8）显然和均为子波函数，现在对函数引入尺度因子，并采用如下表示： （2.9）然后将信号s(t)关于和的小波变换定义为 （2.10）这里用卷积运算来定义小波变换，与标准的小波变换定义不同，不过没有本质区别。将上式代入可得 （2.11）这里用到了卷积和微分可以交换的性质。类似地可得 （2.12）从以上分析，用观测信号的平滑版本取代原信号、和取代的一阶和二阶导数进行分析。表 2.1 噪声的干扰 信号模型预处理突变点拐点 一阶导数模极大值点二阶导数过零点，在该点处为0，且左右频域值必须正负特性相反观察数据含噪声高斯函数做平滑的模极大值点在该点处为0，且左右频域符号相反表2.1比较了含有噪声的信号和不含噪声突变点和拐点的区别。为了使结果更准确，综合考虑和多尺度计算的结果，来判断信号的突变点。2.3常用的小波函数分类标准与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，既小波函数具有多样性。但小波分析在工程应用中一个十分重要的问题是最有小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果，目前主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判断小波的好坏，并由此选定小波基。根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有：（1）、和的支撑长度。既当时间或频率趋于无穷大时，、和从一个有限值收敛到0的速度。（2）对称性。在图像处理中对于避免移相是非常有用的。（3）和（如果存在的情况下）的消失矩阵数。它对于压缩是非常有用的。（4）正则性。它对信号或图像的重构以获得较好的平滑效果是非常有用的。小波空间的性质强烈依赖于小波函数的类型,所以选择合适的小波是测量准确、可靠的重要保证。如小波能够保证正交性,可在一定程度上避免了因小波变换之间的关联而造成分析变换结果困难的问题;所选小波应是尽量满足对称的,可以保证小波的滤波特性具有线性相位等等。为了检测信号中的奇异点,所选择的小波必须很正则(有规则)的,这时的小波可以实现一个更长的冲击响应滤波器。信号的性质可以用它的小波系数来刻画,小波系数较大者,携载的信号能量较多,小波系数较小者携载的信号能量较少,因此可用携载能量的多少作为衡量小波系数在信号中的权重大小。常用的小波函数有：Haar小波、Daubechies(dbN) 小波系、Biorthogonal(biorNd)小波系、Coiflet(coifN) 小波系 、Symlets(symN)小波系、Morlet(morI)小波系、Mexican Hat(mexh)小波、Meyer函数、Battle-Lemarie小波。Daubechies小波是最常用的小波基,它有很多很好的性质。Daub4小波和Daub6小波最适合短时、快速的高频暂态信号的检测,而Daub8和Daub10小波更适合于缓慢变化的暂态过程。2.4 Haar小波Haar函数是在小波分析中应用最早的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，它是非连续的，类似一个阶梯函数如下图2.2所示。Haar函数的定义为： （2.13）尺度函数为 （2.14） 图2.2 Haar小波函数图2.5 Daubechies(dbN)小波系Daubechies 函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies 构造的小波函数，除了db1(既Haar小波)外，其他的小波没有明确的表达式，但转换函数h的平方模是很明确的。dbN函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析称为可能。假设，其中，是二项式的系数，则有 （2.15）其中，。（1）小波函数和尺度函数的有效支撑长度为2N-1，小波函数的消失矩阶数为N。（2）dbN大多数不具有对称性，对于有些小波函数，不对称性是非常明显的。（3）正则性随着序号N的增加而增加。（4）函数具有正交性。Daubechies小波函数提供了比Haar组更有效的分析和综合。Daubechies系中的小波基极为dbN，N为序号，且N=1,2,，10。在MATLAB中可以输入命令waveinfo（db）获得Daubechies函数的一些主要性质。2.6 小波分析与傅里叶变换的比较根据傅立叶变换的理论，其应用的局限性如下：（1） 傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数是常数它不随时间的变化而变化，因而只能处理平稳信号。在处理频谱成分有变化的非平稳信号时则会带来较大误差、实际的物理频谱与得到的数学频谱可能会存在很大差别。 （2） 由于余弦函数、正弦函数是整个时间轴上的函数，这就导致了傅立叶系数是全时间域上的加权平均，在处理、捕捉突变信号时，灵敏度很差。（3）加窗傅立叶变换虽然作了改进，但是，由于时间窗是固定不变的，不能同时满足高频与低频的时间局部化。为了克服以上三点局限性，这就要求，将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或 加窗傅立叶变换的窗函数。由于小波系数随时间变化，所以，不论是平稳信号还是非平稳信号得到的小波频谱与实际的物理频谱，都十分接近，由于小波具有紧支撑的性质，即某一区间外为零，局部突变信息的作用能很好地反映出来。这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息，小波分析从理论上克服了上述傅立叶变换的三个缺点。在处理、捕捉突变信号时，灵敏度很高。3 一维奇异信号信号突变的主要特征是信号在时间和空间上存在着局部的变化。根据信号变化的速度快慢，选择合适的分解尺度，小波分析良好的局部分析功能充分发挥，从而方便的解决信号突变点检测的问题。信号的突变点的检测内容包括：突变点的时机、突变点的类型和振幅的改变。本文要用小波分析的方法检测出两类间断点并用Matlab软件进行仿真。3.1 奇异信号的分类 一般信号奇异性分为两种情况：信号在某一时刻其幅值发生突变，引起信号的不连续，这种类型的突变称为第一种类型的间断点；信号外观上很光滑，幅值没有发生突变，但是信号的一阶微分有突变发生且一阶不连续，这种类型的突变称为第二种类型的间断点。比如，在故障诊断（特别是机械故障诊断）中，故障通常表现为输出信号发生突变，因而对突变点的监测在故障诊断中有着非常重要的意义。长期以来，傅里叶变换是研究函数奇异性的主要工具，其方法是研究函数在傅里叶变换域的衰减以推断此函数是否具有奇异性及奇异性的大小。但傅里叶变换缺乏的空间布局性，它只能确定一个函数奇异性的整体性质。因此，利用小波分析来分析信号的奇异性及奇异信号性位置和奇异度大是比较有效的。3.2 有关奇异信号的定义 数学上称无限次可导函数是光滑的或没有奇异性，若函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称函数在此处有奇异性,该点就是奇异点。假设一维信号，为噪声。在t的某一邻域内二阶可导，一阶导数的极值代表了在极值某一相邻区间内，信号线性变化最剧烈的时刻。我们往往对信号变化最剧烈的时刻，也就是的模最大值所在时刻感兴趣。极值点对应于的拐点。的拐点对应于二阶导数的零点位置。的零点不一定是的极值点。通过的零点位置以及零点邻域内值的正负性质，可以判断出变化的凹凸特性，也可以判断该点是否是在某一邻域内的极值(极大值或极小值)。但是的极小值并不一定成为的最大值。 设是一个非负数，如果存在两个常熟和，及次多项式，使得对任意的，均有： （3.1）则我们说在为Lipschitz。如果上式对所有的均成立，且，称为在（a,b）上是一致Lipschitz。显然，在点的Lipschitz刻画了函数在该点的正则性，称为函数在点是 Lipschitz。Lipschitz指数越大，函数越光滑；函数在一点连续，可微，则在该点的Lipschitz指数为1；函数在一点可导，而导数有下界但不连续时，Lipschitz指数仍为1；如果在的Lipschitz1，则称函数在点是奇异的。一个在不连续但有界的函数，该点的Lipschitz 指数为0。在利用小波分析这种局部奇异性时，小波系数取决于在的邻域内的特性及小波变换所选的尺度。 局部奇异性定义为设,若对，小波满足且连续可微，并具有阶消失矩（为正整数），有： （其中为常数） （3.2）则称为处的奇异性指数（也称Lipschitz指数）。3.3 Lipschitz指数的定义1.设,称函数在处具有Lipschitz指数（），是指对，存在常数和次多项式，使得 （3.3） 2.如果存在与无关的常数，使得均有 （3.4）则称函数在区间上是一致Lipschitz的。满足在点是的所有Lipschitz的上界刻画了该点的正则性，称为函数在点的Lipschitz指数；同样可以定义区间上的Lipschitz指数。对于任意点，多项式是唯一确定的。若函数在的某个领域内是次连续可微的，则是在点Taylor展开级数的前项构成的多项式，即 （3.5）若，则由Lipschitz指数的定义我们可以看出越大，函数越光滑，奇异性越小；反之，越小表明函数在该点处变换越剧烈，也就是奇异性越大。特别的，如果函数在点是连续可微的，则在该点的Lipschitz指数为1；如果函数在点不连续但有界，则在该点的Lipschitz指数为0。如果函数在点的Lipschitz指数小于1，则称函数在点是奇异的。如果在点的Lipschitz指数满足，则在点是n次可微得，但其n次倒数在点时奇异的，它的Lipschitz指数为，则也描述了这个奇异性。Lipschitz指数还可以扩展到的范围。如果函数的原函数在点为Lipchitz（），则称在点的Lipschitz。负的Lipschitz指数意味着函数具有比不连续更大的奇异性。对Dirac函数而言，它的原函数为一个有界但不连续的函数（阶跃信号），上面已经指出阶跃信号的Lipschitz指数为0，故的Lipschitz指数为-1。S.Mallat在1992年将Lipschitz指数（Lipschitz Exponent LE）与小波变换后系数模的局部极大值联系起来，通过小波变换后局部极大值在不同尺度上的衰减速度来衡量信号的局部奇异性。基于小波变换的信号奇异性检测可以应用于故障诊断、图像的多尺度边缘提取、信号恢复和去噪、语音基因周期检测等领域4 在Matlab下进行一维奇异信号的仿真试验4.1检测第一种类型的间断点信号在某一时刻内，其幅值发生突变，引起信号的非连续，幅值的突变处是一种类型的间断点。下面的例子将介绍用小波分析检测第一类间断点，信号幅值变化的准确时间，即间断点的准确位置。在这个例子中信号的不连续是由于低频特征的正弦信号在后半部分突然加入高频特征的正弦信号的缘故，分析的目的是将加入高频特征的正弦信号的时间检测出来。在MATLAB的命令窗口拟进行如下编程：load freqbrk; %装载文件名为freqbrk的信号s=freqbrk; ls=length(s);c,l=wavedec(s,6,db5);subplot(8,1,1);plot(s);title(用db5小波分解6层);ylabel(s);a6=wrcoef(a,c,l,db5,6);subplot(8,1,2);plot(a6);ylabel(a6);for i=1:6 decmp=wrcoef(d,c,l,db5,7-i); subplot(8,1,i+2); plot(decmp); ylabel(d,num2str(7-i);end 该程序是用db（Daubechies）小波对信号第一类间断点进行分析，结果如下：图图4.1 小波分析对第一类奇异点的检测 由图4.1可以看出，信号的不连续点定位非常精确，既该点在时域中（time500）一个非常小的范围之内。这种情况一般来说是在小波分解的第一层和第二层高频中判断。这个例子也有力的说明了小波分析比传统的傅里叶分析有更大的优越性。如果这种信号用傅里叶分析进行分析，我们在频域中是无法检测出信号的频率变化的。而小波分析中，这种突变点的特征表现的更为明显。在信号处理中，信号中含有噪声是一种相当普遍的现象，而噪声的存在增加了辨别信号不连续点的复杂性。一般说来，如果信号用小波分析的第一层就估计出噪声的大体位置，则信号的断裂点（频率变化点）就能够在小波分解的更深的层次上显现出来。要注意的是，在信号奇异点的检测中，选择小波的正则性非常重要，因为这时小波可实现一个长的冲激响应滤波器。小波空间的性质强烈依赖于小波函数的类型,所以选择合适的小波是测量准确、可靠的重要保证。如小波能够保证正交性,可在一定程度上避免了因小波变换之间的关联而造成分析变换结果困难的问题;所选小波应是尽量满足对称的,可以保证小波的滤波特性具有线性相位等等。4.2检测第二种类型的间断点信号外观上很光滑，幅值没有发生突变，但是信号的一阶微分有突变发生且一阶不连续，这种类型的突变称为第二种类型的间断点。下面的例子将介绍用小波分析检测第二类间断点，信号幅值变化的准确时间，即间断点的准确位置。在这个例子中原始信号是由两个独立的满足指数方程的信号在t=500处连接起来的，因此它看上去是光滑的，但它的一阶微分有突变。分析的目的是将第二类间断点找出来，在MATLAB的命令窗口拟进行如下编程：t=1:0.01:2;s1=exp(t);s2=exp(4*t);s=s1,s2;%设置由不同的指数函数组成的信号subplot(5,1,1);plot(s);title(原始信号);ds=diff(s);%计算信号的一阶微分%显示信号的一阶微分结果subplot(5,1,2);plot(ds);Ylabel(s微分);c,=wavedec(s,2,db1);%用db1小波分析分解信号到第二层%对分解结构c,1中的第二层低频部分进行重构a2 = wrcoef(a,c,1,db1,2);%显示重构结果subplot(5,1,3);plot(a2);Ylabel(a2);%对分解结构c,1中的各层高频部分进行重构并显示结果d2= wrcoef(d,c,1,db1,2);subplot(5,1,4);plot(db2);Ylabel(d2);d1=wrcoef(d,c,1,db1,1);subplot(5,1,5);plot(d1);Ylabel(d1);该程序是用db小波对信号第而类间断点进行分析，结果如下： 图4.2 第二类突变点的原始信号图图4.3 MATLAB的仿真输出 我们看到，该信号的一阶微分曲线在t=100的点处，有明显的不连续。将该信号进行小波分解后，第一层的高频部分d1将信号的不连续点显示的相当的明显，这个断裂点在信号的中部发生，在其他地方可以忽略。由上图4.3可以看出，利用小波分析进行信号的不连续点的定位非常精确。像这样间断点的定位，一般来说，是在小波分解的第一层和第二层的高频部分进行判断的。注意：在选择小波的过程中，正则性是一条很重要的规则，在这里我们选择的是db1小波，这种小波的正则性很好，若选择db4小波，会发现在为t=100点处，高频部分的值几乎为0,检测不出信号的不连续点（第二类间断点）。为了检测出信号的奇点，所选择的小波必须很正则（很规则），如小波能够保证正交性,可在一定程度上避免了因小波变换之间的关联而造成分析变换结果困难的问题，这是的小波可实现一个更长的冲击响应。5 结论小波分析是傅里叶分析思想的发展与延续，它自产生以来，就一直和傅里叶分析密切相关。它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅里叶分析，两者是相辅相成的。第一类间断点的仿真图有力的说明了小波分析比传统的傅里叶分析有更大的优越性。如果这种信号用傅里叶分析进行分析，我们在频域中是无法检测出信号的频率变化的。而小波分析中，这种突变点的特征表现的更为明显。第二类间断点的仿真图可以说明，利用小波分析进行信号的不连续点的定位非常精确。像这样间断点的定位，一般来说，是在小波分解的第一层和第二层的高频部分进行判断的。信号奇异点可通过信号的小波变换局部极大值来定位，而奇异性运用该点的Lipschitz 来定量描述。运用该理论来实现信号的奇异性检测，比常规手段更优越。需要注意的是：选择不同的小波分析信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小，其检测效果也不一样，因此，选择合适的小波非常重要。参考文献1 童诗白,华成英.模拟电子技术基础(3版)M.北京:高等教育出版社, 2003:34-402 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wavelet analysis of the microscope known as the analytical signal can be accurately portrayed the local singularity of signals under the wavelet transform. Wavelet analysis has broken through the traditional Fourier transform (Fourier Transform) the restriction of the signal processing method in the time domain and frequency domain signal to the localized treatment, the same time, the location of the singular point, the wavelet analysis the nature of the local maxima detected, and thus in the detection signal such as a wide range of applications. The mutant signal, also known as the singular signal, conflicts and change point of the mutant signal often carry important information, is one of the important features of the signal. Has very important role and position in the digital signal processing and digital image processing, signal mutation detection is the original signal at different scales polishe