（试题 试卷 真题）中考冲刺数学专题2 ——探索型问题

中考冲刺数学专题2 探索型问题【备考点睛】探索型问题是指那些条件不完备、结论不明确、或答案不唯一、给学生留有较大探索余地的试题。从最近几年来中考中探索性问题逐年攀升的趋势，可预测探索性问题仍将是中考命题“孜孜以求的目标”。探索型问题一般有两类：（1）探索条件的开放题；（2）探索结论的开放题。探索型问题的特点：（1）题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的；（2）结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论；【经典例题】类型一 条件开放型问题例题1（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.EA DB CNMFEA DB CNM解答：ABE是等边三角形，BABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）.当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小. 如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小. 理由如下：连接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长.过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF906030.设正方形的边长为x，则BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，x（舍去负值）.正方形的边长为.例题2如图，四边形ABCD是平行四边形O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明 解答：分析：考察了相似的两种基本图形，平行四边形中利用全等三角形的简单证明.（1） AEH与DFH（或AEH与BEG， 或BEG与CFG ，或DFH与CFG）（2）OE=OF证明：四边形ABCD是平行四边形，CD， ， 例题3（2010 甘肃）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解答：（1）设该抛物线的解析式为，由抛物线与y轴交于点C（0，3）,可知. 即抛物线的解析式为 把A（1，0）、B（3，0）代入, 得 解得. 抛物线的解析式为y = x22x3 顶点D的坐标为. （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. 理由如下：过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.在RtBOC中，OB=3，OC=3， . 在RtCDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1， . 在RtBDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2， . ， 故BCD为直角三角形. （3）连接AC，可知RtCOA RtBCD，得符合条件的点为O（0，0） 过A作AP1AC交y轴正半轴于P1，可知RtCAP1 RtCOA RtBCD，求得符合条件的点为 过C作CP2AC交x轴正半轴于P2，可知RtP2CA RtCOA RtBCD，求得符合条件的点为P2（9，0） 符合条件的点有三个：O（0，0），P2（9，0）.类型二 结论开放型问题例题4（2010四川眉山）如图，RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F（1）证明：ACEFBE；（2）设ABC=，CAC =，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由解答：（1）证明：RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的， AC=AC ，AB=AB ，CAB=C AB CAC =BAB ACC =ABB 又AEC=FEBACEFBE （2）解：当时，ACEFBE 在ACC中，AC=AC ， 在RtABC中， ACC+BCE=90，即， BCE= ABC=， ABC=BCE CE=BE 由（1）知：ACEFBE， ACEFBE例题5（2010安徽蚌埠）已知过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作的切线交轴于点。 求的值； 如图，设与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点不重合），连接并延长、交于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。yHADOOCPFyGDExB解答： （2）试探索的大小怎样变化，请说明理由.解：当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变过点作于，并延长交于，连接，交于。因为为等腰三角形， ，所以平分所以弧BN=弧CN，所以， 所以 所以=即当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变。S（米）t（分）BOO3 60015A例题6某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程S（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：（1）求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式；（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？解答： 从函数图象中“读图找点”，由点的坐标找数量，利用列算式或方程求解，也可以“见形想式”，通过建立函数关系式，利用函数求解。【解答】（1）解法一：从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟 设小明步行的速度为x米/分，则小明父亲骑车的速度为3x米/分依题意得：15x+45x=3600 解得：x=60所以两人相遇处离体育馆的距离为6015=900米所以点B的坐标为（15，900）设直线AB的函数关系式为S=kt+b（k0）由题意，直线AB经过点A（0，3600）、B（15，900）得：解之，得直线AB的函数关系式为： 解法二：从图象可以看出：父子俩从出发到相遇花费了15分钟 设父子俩相遇时，小明走过的路程为x米依题意得：，解得x=900，所以点B的坐标为（15，900），以下同解法一（2）解法一：小明取票后，赶往体育馆的时间为： 小明取票花费的时间为：15+5=20分钟2025 小明能在比赛开始前到达体育馆 解法二：在中，令S=0，得 解得：t=20即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为20分钟，因而小明取票的时间也为20分钟 200)，则，解得，(舍去)点B的横坐标是(2) 当，时，得(3) 以下分两种情况讨论情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，OyxCBA(甲)11-1-1由此，可求得点C的坐标为(，)，点A的坐标为(，)，A，B两点关于原点对称，点B的坐标为(，)OyxCBA(乙)11-1-1将点A的横坐标代入()式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入()式右边，计算得，即等于点B的纵坐标在这种情况下，A，B两点都在抛物线上情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)经计算，A，B两点都不在这条抛物线上(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)存在m的值是1或-1(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1m1当m=1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上因此当m=1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)【技巧提炼】因探索型问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，因而解题的策略是将其转化为封闭性问题探索条件的开放题的解题策略是：分析时，把问题的结论作为条件（假设问题的结论成立），借此探索相关的关系；解答时，把探索的关系作为条件，证明此时结论成立。务必要注意这类问题的书写形式。不能把结论当着条件来使用，只能以探索的条件作为条件说明此时结论的正确性。探索结论的开放题的解题策略是：直接从已知条件入手，通过推理或猜想得出结论。在探索过程中可从特殊情景入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，再就一般情形去认证结论。这里的关键是抓住命题的条件及特点归纳总结出一般结论。特别要注意题目的具体要求，有些问题只要求探索到满足条件的某种情况，只要给出答案就可以，有些问题要探索出满足条件的所有可能情况，这时就必须考虑全面。也有些问题要求给出全部的答案，但不要求每种情况都给出严谨的证明或完整的探讨过程，解答时务必要看清题目具体的要求，正确的解答。【体验中考】1（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，1)的一个函数关系式 2（2010湖北随州）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.3（2010辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由4（2010山东临沂）如图1，已知矩形，点是边的中点，且.(1)判断的形状，并说明理由；(2)保持图1中的固定不变，绕点旋转所在的直线到图2中的位置（当垂线段、在直线的同侧）.试探究线段、长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2 中的固定不变，继续绕点旋转所在的直线到图3中的位置（当垂线段、在直线的异侧）.试探究线段、长度之间有什么关系？并给予证明.5（2010江苏宿迁）已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC，过点O作直线OEBC交抛物线的对称轴于点E求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q，使得OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由6（2010安徽蚌埠）如图1、2是两个相似比为：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。 在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与交于点，如图4。求证：； 若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于，试问线段、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。7（2010福建泉州）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.（1）直接判断并填写：不论取何值，四边形的形状一定是 ;（2）当点为时，四边形是矩形，试求、和有值；观察猜想：对中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？（3）试探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.8（2010福建南平）如图1，在ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作APCD，AC与PD相交于点E，已知ABC=AEP=（090）.（1）求证：EAP=EPA；（2）APCD是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到MEN（点M、N分别是MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.图1ABDCEP图2ABDCEPMNF9（2010江苏无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE（下面请你完成余下的证明过程）图1图2（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）10是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE如图（a）所示，当点D在线段BC上时 （1）求证：；（2）探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；AGCDBFE图（a）答案：1【答案】y=-x或y=-或y=x2-2x，答案不唯一2【答案】（1）a1，b2，c0（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MPMFPF1，故MPF为正三角形.（3）不存在.因为当t，x1时，PM与PN不可能相等，同理，当t，x1时，PM与PN不可能相等.3【答案】（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A（0，4），B（6，4），C（8，0） OMNHACEFDB8(6，4)xy（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A（0，4）， 则抛物线关系式为 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 解得所求抛物线关系式为：（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA （ 04） 当时，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 （4）当时，GB=GF，当时，BE=BG4【答案】（1）ABC是等腰直角三角形。如图（1）在矩形ABED中，因为点C是边DE的中点，且AB=2AD,所以AD=DC=CE=EB,D=E=90.RtADCRtBEC.AC=BC, 1=2=45.ACB=90.ABC是等腰直角三角形。（2）DE=AD+BE.如图（2），在RtADC和RtBEC中，1=CAD=90, 1+2=90.CAD=2.又AC=BC, ADC=CEB=90,RtADCRtCEB.DC=BE,CE=AD.DC+CE= BE+AD,即DE=AD+BE.（3）DE=BE-AD.如图（3），在RtADC和RtCEB中，1+CAD=90, 1+2=90，CAD=2.又ADC=CBE=90,AC=CB, RtADCRtCBE.DC=BE,CE=AD.DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD.5【答案】（1）求出：，抛物线的对称轴为：x=2 (2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BEOBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），BOE= OBD= OEBD四边形ODBE是梯形 在和中，OD= ，BE=OD= BE四边形ODBE是等腰梯形 (3) 存在， EFQ1Q3Q2由题意得： 设点Q坐标为（x，y），由题意得：=当y=1时，即， ， ，Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) 当y=-1时，即， x=2，Q点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）使得= NFMEBDAC6【答案】 在图4中，由于，将绕点旋转，得， 、。连接 在中有 又垂直平分 代换得 在图5中，由，将绕点旋转，得 连接 在中有 又可证，得V代换得 (3)将绕点瞬时针旋转，得，且 因为的周长等于正方形周长的一半，所以 化简得从而可得，NFMEBDACG 推出 此时该问题就转化为图5中的问题了。由前面的结论知：，再由勾股定理的逆定理知：线段、可构成直角三角形。 7【答案】（1）平行四边形（2）点在的图象上，过作，则在中，=30又点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，点B、D关于原点O成中心对称OB=OD=四边形为矩形，且； 能使四边形为矩形的点B共有2个；（3）四边形不能是菱形.法一：点、的坐标分别为、四边形的对角线在轴上.又点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.对角线与不可能垂直.四边形不能是菱形法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线ACBD，且AC与BD互相平分，因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上.所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三