第18章 图形的相似.doc

第18章 图形的相似218.1相似的图形218.2 相似图形的特征4阅读材料7黄金分割718.3相似三角形81相似三角形82相似三角形的识别93相似三角形的性质124相似三角形的应用13阅读材料15线段的等分1518.4画相似图形16阅读材料17数学与艺术的美妙结合分形1718.5图形与坐标191. 用坐标来确定位置192图形的运动与坐标20小结22复习题22 第18章 图形的相似你瞧,那些大大小小的图形是那么的相像!日常生活中,我们经常会看到这样相似的图形,那么它们有什么主要特征与关系呢?18.1相似的图形观察图18.1.1，你会发现右边的照片是由左边的照片放大得来尽管它们大小不同，但形状相同 图18.1.1图18.1.2是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状（包括地图中所描绘的各个部分）肯定是相同的 图18.1.2日常生活中我们会碰到很多这样形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形（similar figures） 同一底片印出来的不同尺寸的照片也是相似图形放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像，都是彼此相似的 图18.1.3所示的是一些相似的图形 (1) (2) (3) 图18.1.3观察图18.1.4中的三组图形，看起来每组中的两个图形具有一些相像的成分，其实形状是不相同的，这样的图形就不是相似形. 图18.1.4试一试如图18.1.5,左边格点图中有一个四边形,请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形,和你的伙伴交流一下,看看谁的方法又快又好.图18.1.5练 习1观察你周围的一切，举出几个相似图形的例子.2你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？习题18.11. 试着用本书最后所附的格点图把下面的图形放大.（第1题）2. 观察下面的图形(a)(g),其中哪些是与图形(1)、(2)或（3）相似的？（第2题）18.2 相似图形的特征两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要特征呢？做一做 图18.2.1是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形，设在大地图中有A、B、C三地，在小地图中的相应三地记为A、B、C，试用刻度尺量一量两张地图中A （A）、B（ B）两地之间的图上距离、B（ B）与C（ C）两地之间的图上距离. 图18.2.1AB=_cm，BC=_cm；AB=_cm，BC=_cm显然两张地图中AB和AB、BC和BC的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段AB、BC与AB、BC的长度相比都“同样程度”地缩小了计算可得 _，_. 我们能发现. 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 （或abcd），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments） 上面地图中AB、AB、BC、BC这四条线段就是成比例线段实际上，上面两张相似的地图中的对应线段都是成比例的 这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？ 图18.2.2中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？图18.2.2再看看图18.2.3中两个相似的五边形，是否与你观察图18.2.2所得到的结果一样？图18.2.3概 括由此可以得到两个相似多边形的特征：对应边成比例，对应角相等实际上这也是我们识别两个多边形是否相似的方法，即如果_，那么这两个多边形相似例在图18.2.4所示的相似四边形中，求未知边x、 y的长度和角度a的大小解 由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以解得 x31.5，y27a360（7783117）83思 考两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？练 习1.（1）根据图示求线段比:、；（第1题） （2）试指出图中成比例的线段.2等腰三角形两腰的比是多少？直角三角形斜边上的中线和斜边的比是多少？3. 下图是两个等边三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示. (第3题)4根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由. (第4题)5如图，正方形的边长a=10，菱形的边长b=5，它们相似吗？请说明理由. (第5题)习题18.21. 所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？2. 在比例尺为15 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际距离是多少？3. 判断下列各组长度的线段是否成比例？（1）2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；（2）1.5厘米，2.5厘米，4.5厘米，6.5厘米；（3）1.1厘米，2.2厘米，3.3厘米，4.4厘米；（4）1厘米，2厘米，2厘米，4厘米4. 两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为多少？5. 如图所示的两个矩形是否相似？ 6. 在本书最后所附的格点图中画出两个相似的三角形、四边形、五边形阅读材料黄金分割两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前408前355年）发现：将一条线段（AB）分割成大小两条线段（AP、PB），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则可得出这一比值等于0.618.这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点.为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点.自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，而广泛地用于神殿和雕刻中.但在比古希腊还早2000年以上所建的金字塔中，它就已被采用了.文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔的高与底面的边长的比都接近于0.618.不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见.如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好.有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比也接近黄金比.就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618.还有黄金矩形、黄金三角形（顶角为36的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割.去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！18.3相似三角形1相似三角形在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar triangle）图18.3.1相似用符号“”来表示，读作“相似于”如图18.3.1所示的两个三角形中，AA， BB，CC， 即ABC与ABC相似，记作 ABCABC，读作“ABC相似于ABC”如果记k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比做一做 如图18.3.2，ABC中，D为边AB上任一点，作DEBC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断ADE与ABC是否相似.我们知道，根据两直线平行同位角相等，则ADEABC， AEDACB，而AA通过度量，还可以发现它们的对应边成比例，所以ADEABC.如果取点D为边AB的中点，那么上题中ADE和ABC的相似比就为k.当k1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形（congruent triangles）全等三角形是相似三角形的特例.练 习1 判断下面两个三角形是否相似，简单说明理由：2如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？3 右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案.2相似三角形的识别我们现在识别两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例那么是否存在识别两个三角形相似的简便方法呢？观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30与60，或45与45）的三角尺看起来是相似的这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了，确实这样吗？探 索如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？试一试如图18.3.3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角对应相等用刻度尺量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例你能得出什么结论？我们可以发现，它们的对应边成比例，即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形而根据三角形内角和定理，我们知道如果两个三角形有两对角对应相等，那么第三对角也一定对应相等于是，我们可以得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似思 考如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？例1如图18.3.4所示，在两个直角三角形ABC和ABC中，CC90，AA，判断这两个三角形是否相似 解 因为CC90（已知），AA（已知），所以ABCABC（如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似）例2如图18.3.5，ABC中，DEBC，EFAB，试说明ADEEFC.解 因为 DEBC，EFAB（已知）， 所以ADEBEFC（已知），AEDC.（两直线平行，同位角相等）所以 ADEEFC. （如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似）练 习1.找出图中所有的相似三角形.2.图中DGEHFIBC,找出图中所有的相似三角形. 观察图18.3.6，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使ADE与ABC相似呢？图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE_AC时，ADE与ABC相似此时 _探 索 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？做一做 利用刻度尺和量角器画两个三角形,使它们的两条对应边成比例,并且夹角相等.量一量第三条对应边的长,计算它们的比与前两条对应边的比是否相等?另两个角是否对应相等?你能得出什么结论? 我们可以发现这两个三角形相似这样我们又有了一种识别两个三角形是否相似的方法： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 例3判断图18.3.7中AEB和FEC是否相似？解 因为AEBFEC（对应角相等）， 而 1.5（已知）， 1.5（已知），故 ，所以 AEBFEC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似） 三条边都对应成比例，那结果又如何呢？感觉上应该是能“相似”了探 索 如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？做一做 在图18.3.8的方格上任画一个三角形,再画出第二个三角形,使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数.画完之后,用量角器比较两个三角形的对应角,你发现了什么结论?大家的结论都一样吗? 我们可以发现这两个三角形相似即： 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 例4在ABC和ABC中，已知：AB6 cm， BC8 cm，AC10 cm，AB18 cm，BC24 cm， AC30 cm试判定ABC与ABC是否相似，并说明理由 解 因为 =（已知）， =（已知）， =（已知），所以 =因此ABCABC（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）练 习依据下列各组条件,判定ABC和ABC是否相似,并说明理由.(1) AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, AB=16cm, BC=12.8cm, AC=25.6cm;(2) A=80, C=60, A=80, B=40;(3) A=40,AB=8,AC=15, A=40, AB=16, AC=30.3相似三角形的性质两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果例如，在图18.3.9中，ABC和ABC是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、AD分别为BC、BC边上的高，那么AD、 AD之间有什么关系？ ABD和ABD都是直角三角形，而BB，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似那么 由此可以得出结论： 相似三角形对应高的比等于相似比 图18.3.10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似（2）与（1）的相似比_，（2）与（1）的面积比_;（3）与（1）的相似比_，（3）与（1）的面积比_.从上面可以看出当相似比k时，面积比k2数学上可以说明，对于一般的相似三角形也具有这种关系由此可以得出结论： 相似三角形的面积比等于_思 考图18.3.11中，ABC和ABC相似，AD、AD分别为对应边上的中线，BE、BE分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？可以得到的结论是_想一想： 两个相似三角形的周长比是什么？可以得到的结论是_练 习1.如果两个三角形相似,相似比为35,则对应角的角平分线的比等于多少?2.相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为_,对应角的角平分线的比为_,周长的比为_,面积的比为_.3.如图,在正方形网格上有A1B1C1和A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出A1B1C1和A2B2C2的面积比.4相似三角形的应用人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度例 5古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图18.3.12所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒OB，比较棒子的影长AB与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB如果OB1，AB2，AB274，求金字塔的高度OB. 解 由于太阳光是平行光线，因此OABOAB又因为 ABOABO90所以 OABOAB， OBOBABAB， OB（米），即该金字塔高为137米 例6如图18.3.13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使ABBC，然后，再选点E，使ECBC，用视线确定BC和AE的交点D此时如果测得BD120米，DC60米，EC50米，求两岸间的大致距离AB 解 因为 ADBEDC， ABCECD90，所以 ABDECD，那么 ，解得AB 100（米） 答： 两岸间的大致距离为100米 这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法练 习在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?习题18.31. 判断下面各组中两个三角形是否相似，如果相似，写出它们的对应边的比例式.（1） 如图，DEBC，ABC与ADE；（2） 如图，AEDC，ABC与ADE.（第1题）2. 已知：ABC的三边长分别为5、12、13，和ABC相似的的最大边长为26，求的另两条边长和周长.3. 使用三角尺画一个三角形，其中一个角为60，一个角为45，再画一个与它相似的三角形.4. 依据下列各组条件，判断ABC和是不是相似，并说明理由.（1）A70，B46，70，64；（2）AB10厘米，BC12厘米，AC15厘米，150厘米， 180厘米，225厘米；（3）BC8，AC7，A87，16，14，87.5. 已知在等腰ABC和中，A、分别是顶角.（1）如果A，那么ABC和是否相似？请说明理由；（2）如果B（或C），那么ABC和 相似吗？请说明理由.6. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.阅读材料线段的等分将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情.例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，就是将一条线段五等分.你知道下面这个简单的分法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六条横线.现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段.如果你没有练习本，那也没有关系.让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事情.如图2，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连结BA5，再过A1、A2、A3、A4分别画BA5的平行线，这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等份.你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了.现在，你会画了吗？请你再试试看，将一条线段7等分.18.4画相似图形相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，保持形状不变 下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法 现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍，即新图与原图的相似比为1.5我们可以按下列步骤画出图18.4.1: 1. 任取一点O； 2. 以点O为端点作射线OA、OB、OC、； 3. 分别在射线OA、OB、OC、 上，取点A、B、 C、，使OAOAOBOBOCOC1.5； 4. 连结AB、BC、，得到所要画的多边形ABCDE做一做 用刻度尺和量角器量一量,看看上面的两个多边形是否相似?图18.4.1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似（homothety），点O叫做位似中心.放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种位似关系利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图18.4.2，作直线OA、OB、OC、OD，在点O的另一侧取点A、B、C、D，使OAOAOBOBOCOCODOD2，也可以得到放大到2倍的四边形ABCD实际上，如图18.4.3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便图18.4.3练 习任意画一个五边形,再把它放大到原来的3倍.习题18.4任选一种方法,按下列相似比画出一个三角形的位似图形.(1)相似比为; (2)相似比为2.5阅读材料数学与艺术的美妙结合分形雪花是什么形状呢?科学家通过研究发现:将正三角形的每一边三等分,而以其居中的那一条红段为底边再作等边三角形.然后以其两腰代替底边.再将六角形的每边三等分,重复上述的作法.如图1所示,如此继续下去,就得到了雪花曲线.雪花曲线的每一部分经过放大都可以与它的整体形状相似,这种现象叫自相似.只要有足够细的笔,这种自相似的过程可以任意继续表现下观察图2中的图形,这也是通过等边三角形绘制的另一幅自相似图形.图3是五边形的一幅自相似图形. 自然界中其实存在很多自相似现象,如图4所示树木的生长,又如雪花的形成、土地干旱形成的地面裂纹等.现在已经有了一个专门的数学分支来研究像雪花这样的自相似图形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家芒德布罗创立的分形几何.如图5，通过计算机可以把简单的图形设计成美丽无比的分形图案，人们称为分形艺术. 图518.5图形与坐标1. 用坐标来确定位置夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图18.5.1所示，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标是： （1， 2）、（3， 5）、（4，5）、（0，3） 目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地请你在图中画出目的地的位置试一试图18.5.2是某乡镇的示意图试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置现实生活中我们能看到许多这种方法的应用： 如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等 左图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置?又如何描述A、B、C的位置? 我们还可以用其他方式来表示物体的位置 例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息： “悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方； “明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2.4千米的地方； “321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1.1千米的地方 根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图： 看来，用一个角度和距离也可以表示一个点的位置这种方式在军事和地理中较为常用练 习小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如下图），试借助刻度尺、量角器解决如下问题：（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示假山、游戏车、马戏城的位置；（2）填空：九曲桥在假山的北偏东_度的方向上，到假山的距离约为_米；喷泉在假山的北偏西_度的方向上，到假山的距离约为_米.2图形的运动与坐标在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？例图18.5.4中，AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到AOB三个顶点的坐标有什么变化呢？解 AOB的三个顶点的坐标是A（2， 4）、O（0， 0）、B（4，0）平移之后的AOB对应的顶点是 A（5，4）、O（3，0）、B（7，0） 沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3思 考 在图18.5.5中，AOB关于x轴的轴对称图形是AOB对应顶点的坐标有什么变化？试一试请在图18.5.6的直角坐标系中画一个平行四边形，写出它的四个顶点的坐标，然后画出这个四边形关于x轴的对称图形，写出对称图形四个顶点的坐标，观察对应顶点的坐标有什么变化 图18.5.7表示AOB和它缩小后得到的COD，你能求出它们的相似比吗？ 习题18.51. 已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，-1），（2，-1），（1，-3），（0，-1），（-1，-3），（-2，-1），（-1，-1），（-3，0），（3，2），（-2，3），（0，0）.2. 将图中的ABC作下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化.（1） 沿y轴正向平移2个单位；（2） 关于y轴对称；（3） 以B点为位似中心，放大到2倍.小结一、 知识结构二、 概括本章介绍了相似图形、相似多边形以及相似三角形的概念.相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形的一种基本变换.本章中，相似三角形的识别方法及相似三角形的有关性质是重点内容，要求能掌握相似图形的基本特征与性质，能运用相似三角形的知识解决一些实际问题.本章还介绍了用直角坐标系来描述物体的位置，用坐标的方法研究图形的运动变换，以便让学生体会数与形间的关系.复习题A组1. 地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1:1 000 000，那么两地间的实际距离是多少米？2. 在右边网格纸中描出左边图形的放大图形.3. 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？为什么？4. 所有的正方形都相似吗？所有的菱形都相似吗？为什么？