2018届高考数学二轮复习第三部分讲重点解答题专练作业23_24解析几何理.docx

解析几何专练1(2017成都诊断二)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1(ab0)，圆O：x2y2r2(0r0，x1x2，x1x2，代入(*)式，得0，即m2(a2b2)a2b2a2b2k20.又由(1)，知m2(1k2)r2，(1k2)(a2b2)r2a2b2(1k2)，.故a，b，r满足.2(2017福建质检)已知曲线C上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线C的方程；(2)过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点，交圆F：x2(y1)21于M，N两点(A，M两点相邻)若，当，时，求k的取值范围；过A，B两点分别作曲线C的切线l1，l2，两切线交于点P，求AMP与BNP面积之积的最小值解析(1)设Q(x，y)为曲线C上任意一点，因为曲线C上的点Q(x，y)到点F(0，1)的距离比它到直线y3的距离小2，所以点Q到点F的距离等于它到直线y1的距离，所以曲线C是以F为焦点，直线y1为准线的抛物线，其方程为x24y.(2)依题意，知直线l的方程为ykx1，代入x24y，得x24kx40，(4k)2160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.因为，所以(x2，1y2)(x1x2，y1y2)，所以1.212，即4k221，因为，所以1，1，又函数f(x)x在，1上单调递减，所以4k222，即k，所以k的取值范围是，设P(x，y)，因为x24y，所以y，y.所以切线PA的方程为y(xx1)，切线PB的方程为y(xx2)，由，得x(x1x2)2k，y1，所以P(2k，1)因为点P到直线AB的距离d2，SAMP|AM|d，SBNP|BN|d，所以SAMPSBNP|AM|BN|d2.因为|AM|AF|1y1，|BN|BF|1y2，所以|AM|BN|y1y21，所以SAMPSBNP1k2，即当且仅当k0时，SAMPSBNP取得最小值1.3(2017太原一模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D(1，)在椭圆C上，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，P两点，与x轴，y轴分别相交于点N和M，且|PM|MN|，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆C于点B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)由题意得解得椭圆C的方程为1.(2)存在这样的直线l.ykxm，M(0，m)，N(，0)，|PM|MN|，P(，2m)，则Q(，2m)，直线QM的方程为y3kxm.设A(x1，y1)，由得(34k2)x28kmx4(m23)0，x1，x1，设B(x2，y2)，由得(336k2)x224kmx4(m23)0.x2，x2，点N平分线段A1B1，x1x2，k，P(2m，2m)，1，解得m，|m|0)，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，OAB面积的最小值为8.(1)求抛物线C的标准方程；(2)过焦点F作垂直于直线l的直线交抛物线C于点D，E，记AB，DE的中点分别为M，N.()证明：直线MN过定点；()求以AB，DE为直径的两圆公共弦的中点的轨迹方程解析(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y22px，直线l的方程为xmy.由得y22pmyp20.所以y1y22pm，y1y2p2.|AB|2p(m21)因为点O到直线l的距离d，所以OAB的面积S|AB|dp2，当m0时，Sminp28，所以p4.所以抛物线C的标准方程为y28x.(2)()由y1y28m，得x1x2m(y1y2)48m24，所以M(4m22，4m)易知m0，把m换成，得N(2，)当直线MN的斜率不存在时，4m222，得m1，此时直线MN：x6；当直线MN的斜率存在时，得直线MN：mx(m21)y6m0，过定点(6，0)()由()得以AB为直径的圆M的方程为(x4m22)2(y4m)216(m21)2易得m0，把m换成得以DE为直径的圆N的方程为(x2)2(y)216(1)2得两圆的公共弦所在直线的方程为(m21)xmy0，当直线MN的斜率存在时，将直线MN的方程mx(m21)y6m0与公共弦所在直线方程联立，消去m，得两圆公共弦中点的轨迹方程为x2y26x0(x0)当直线MN的斜率不存在时，直线MN与公共弦的交点为(6，0)，满足方程x2y26x0，故所求公共弦中点的轨迹方程为x2y26x0(x0)2(2017青岛质检一)已知椭圆：y21(a1)的左焦点为F1，右顶点为A1，上顶点为B1，过F1，A1，B1三点的圆P的圆心坐标为(，)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：ykxm(k，m为常数，k0)与椭圆交于不同的两点M和N.()当直线l过E(1，0)，且20时，求直线l的方程；()当坐标原点O到直线l的距离为时，求MON面积的最大值解析(1)A1(a，0)，B1(0，1)，A1B1的中点为(，)，A1B1的斜率为.A1B1的垂直平分线方程为ya(x)圆P过点F1，A1，B1三点，圆心P在A1B1的垂直平分线上，a()，解得a或a(舍去)，椭圆的方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由可得(3k21)y22mym23k20，y1y2，y1y2.()由题可知直线l的斜率存在直线l过点E(1，0)，km0.20，(x11，y1)2(x21，y2)(0，0)，从而y12y20.由可得k1，m1或k1，m1.直线l的方程为yx1或yx1.()坐标原点O到直线l的距离为，m2(k21)，结合式|MN|y2y1|，由得|MN|，SMON|MN|.令3k21t(1，)，则SMON，当，即3k212，k时，MON面积的最大值为.3(2017东北四市二模)已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A1，A2是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是(，0)，求线段AB长的取值范围解析(1)由已知2a2，a，设点P(x0，y0)，在PA1A2中，O，M分别为A1A2，PA2的中点，OMPA1，kOMkPA1，kPA2kOMkPA2kPA1.又P(x0，y0)在椭圆上，1.kPA2kOM，b21，椭圆的方程为y21.(2)设直线l：yk(x1)，k0，联立消去y得(2k21)x24k2x2k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理可得可得y1y2k(x1x22)，故AB中点Q(，)，直线QN的方程为y(x)，即yx，N(，0)，由题知0，02k21，|AB|(1)，b0)的离心率为，点P(1，)在椭圆E上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点(1)求E的方程；(2)在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由解析(1)由题意得，1，又a2b2c2，解得a，b1，故椭圆E的方程为y21.(2)假设存在符合题意的定点M，由直线AB过椭圆右焦点F(1，0)，当直线AB不与x轴重合时，可设直线AB的方程为xmy1，代入椭圆方程，并整理得(2m2)y22my10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，设M(a，0)，则(x1a)(x2a)y1y2(my11a)(my21a)y1y2(1m2)y1y2m(1a)(y1y2)(1a)2(1a)2为定值，则2a24a12(a22)，解得a.故存在定点M(，0)，使得为定值，经检验，当直线AB与x轴重合时也成立，在x轴上存在一个定点M(，0)，使得为定值.5(2017石家庄一模)如图，已知椭圆C：y21的左顶点为A，右焦点为F，O为坐标原点，M，N是y轴上的两个动点，且MFNF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点(1)求MFN的面积的最小值；(2)证明：E，O，D三点共线解析(1)方法1：设M(0，m)，N(0，n)，MFNF，mn1.SMFN|MF|FN|.1.当且仅当|m|1，|n|1且mn1时等号成立MFN的面积的最小值为1.方法2：设M(0，m)，N(0，n)，MFNF，mn1，SMFN|MN|OF|MN|，且|MN|2|mn|2m2n22mnm2n222|mn|24，当且仅当|m|1，|n|1且mn1时等号成立，|MN|min2，(SMFN)min|MN|1.故MFN的面积的最小值为1，(2)A(，0)，M(0，m)，直线AM的方程为yxm，由得(1m2)x22m2x2(m21)0，设E(xE，yE)，D(xD，yD)，由xE，得xE，同理可得xD，mn1，xD.由可知xExD，代入椭圆方程可得yE2yD2.MFFN，N，M分别在x轴两侧，yEyD，故E，O，D三点共线1(2017长沙二模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，抛物线E：y24x的焦点恰好是椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在的直线l1，l2，l1交椭圆C于点A，B，l2交椭圆C于点G，H，若|AF|是|AH|FH|与|AH|FH|的等比中项，求|AF|FB|GF|FH|的最小值解析(1)依题意得椭圆C的右焦点F的坐标为(1，0)，即c1，又e，a2，b23，故椭圆C的标准方程为1.(2)|AF|是|AH|FH|与|AH|FH|的等比中项，|AF|2|AH|2|FH|2，即|AF|2|FH|2|AH|2，直线l1l2.又直线l1，l2的斜率均存在，两直线的斜率都不为零，故可设直线l1：xky1(k0)，直线l2：xy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)，由消去x，得(3k24)y26ky90，同理得|AF|FB|(1k2)|y1y2|，|GF|FH|(1)|y3y4|，|AF|FB|GF|FH|(1k2)|y1y2|(1)|y3y4|(1k2)(1)9(1k2)()，又k20，k22，当且仅当k21时取等号，故|AF|FB|GF|FH|的最小值为.2(2017云南统一检测二)已知抛物线E的顶点为原点O，焦点为圆F：x2y24x30的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A，D两点，交圆F于B，C两点A，B在第一象限，C，D第四象限(1)求抛物线E的方程；(2)是否存在直线l，使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)根据已知设抛物线E的方程为y22px(p0)圆F的方程为(x2)2y21，圆心F的坐标为(2，0)，半径r1.2，解得p4.抛物线E的方程为y28x.(2)假设存在符合题意的直线l，2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项，|AB|CD|4|BC|42r8.|AD|AB|BC|CD|10.若l垂直于x轴，则l的方程为x2，代入y28x，得y4.此时|AD|y1y2|810，即直线x2不满足题意则l不垂直于x轴，设l的斜率为k，由已知得k0，l的方程为yk(x2)设A(x1，y1)，D(x2，y2)，由得k2x2(4k28)x4k20.x1x2.抛物线E的准线为x2，|AD|AF|DF|(x12)(x22)x1x24.410，解得k2.当k2时，k2x2(4k28)x4k20，化为x26x40.(6)24140，x26x40有两个不相等实数根k2满足题意，即直线y2(x2)满足题意存在满足要求的直线l，它的方程为2xy40或2xy40.3(2017郑州预测二)已知椭圆x22y2m(m0)，以椭圆内一点M(2，1)为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点(1)求椭圆的率心率；(2)试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由解析(1)将方程化成椭圆的标准方程1(m0)，易得e.(2)由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为yk(x2)1，代入x22y2m(m0)，消去y，得(12k2)x24k(12k)x2(2k1)2m0(m0)所以x1x24，k1，此时，由0，得m6.则直线AB的方程为xy30，直线CD的方程为xy10.由得3y22y1m0，y3y4，故CD的中点N为(，)由弦长公式，可得|AB|x1x2|.|CD|y3y4|AB|，若存在圆，则圆心在CD上，因为CD的中点N到直线AB的距离为.|NA|2|NB|2()2()2，又()2()2，故存在这样的m(m6)，使得A，B，C，D在同一个圆上4(2017石家庄质检二)设M，N，T是椭圆1上三个点，M，N在直线x8上的射影分别为M1，N1.(1)若直线MN过原点O，直线MT，NT的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)若M，N不是椭圆长轴的端点，点L的坐标为(3，0)，M1N1L与MNL的面积之比为51，求MN中点K的轨迹方程解析(1)设M(p，q)，N(p，q)，T(x0，y0)，则k1k2，又故0，即，所以k1k2，为定值(2)设直线MN与x轴相交于点R(r，0)，SMNL|r3|yMyN|，SM1N1L5|yM1yN1|.因为SM1N1L5SMNL且|yM1yN1|yMyN|，所以5|yM1yN1|5|r3|yMyN|，解得r4(舍去)，或r2，即直线MN经过点F(2，0)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，当MN垂直于x轴时，MN的中点为F(2，0)；当MN与x轴不垂直时，设MN的方程为yk(x2)，则(34k2)x216k2x16k2480.x1x2，x1x2.x0，y0.消去k，整理得(x01)21(y00)综上所述，点K的轨迹方程为(x1)21(x0)5(2017合肥质检二)如图，抛物线E：y22px(p0)与圆O：x2y28相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程解析(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2，2)，代入y22px，解得p1.(2)设C(，y1)，D(，y2)，y10，y20，切线l1的斜率为k，则切线l1：yy1k(x)，代入y22x得ky22y2y1ky120，由0解得k，l1的方程为yx，同理l2的方程为yx.联立，得解得易知CD的方程为x0xy0y8，其中x0，y0满足x02y028，x02，2，联立，得即x0y22y0y160，则代入可得M(x，y)满足可得代入x02y028，并化简，得y21，考虑到x02，2，知x4，2，动点M的轨迹方程为y21，x4，26(2017福建八校联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上(异于椭圆C的左、右顶点)，过右焦点F2作F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且|OQ|2(O为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：xmy4(mR)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A，直线AB交x轴于D，求当三角形ADB的面积最大时，直线l的方程解析(1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4ab4，得ab2.延长F2Q交直线F1P于点R，因为F2Q为F1PF2的外角平分线的垂线，所以|PF2|PR|，Q为F2R的中点，所以|OQ|a，所以a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)将直线l和椭圆的方程联立得消去x，得(3m24)y224my360，所以(24m)2436(3m24)144(m24)0，即m24.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，由根与系数的关系，得直线AB的斜率k，所以直线AB的方程为yy1(xx1)，令y0得xD4，故xD1，所以点D到直线l的距离d，所以SADB|AB|d18.令t(t0)，则SADB18，当且仅当3t，即t2m24，即m24，m时，三角形ADB的面积最大，所以直线l的方程为3x2y120或3x2y120.7(2017湖北4月联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且与直线yx2相切(1)求椭圆C的方程；(2)设点A(2，0)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA|BP|，求四边形OPAB(O为坐标原点)面积的最小值解析(1)由题意知，离心率e，所以ca，ba，所以x23y2a2，将yx2代入得4x212x12a20，由12244(12a2)0，得a，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)设线段AP的中点为D，因为|BA|BP|，所以BDAP，由题意得直线BD的斜率存在且不为零，设P(x0，y0)(0x0b0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21可得a2，a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)由题易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xP，从而yP，点P的坐标为(，)同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)依题意可知APAQ，0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)11(2017浙江温州十校联合体期末)椭圆1(ab0)的离心率为，左焦点F到直线l：x9的距离为10，圆G：(x1)2y21.(1)求椭圆的方程；(2)若P是椭圆上任意一点，EF为圆G：(x1)2y21的任一直径，求的取值范围(3)是否存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得圆M上任意一点N作圆G的切线，切点为T，都满足？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由解析(1)由题意得解得所以椭圆的方程为1.(2)设P(x，y)，21(x1)2y21(x1)2(8x2)1(x3)21.因为3x3，所以3，15，即的取值范围是3，15(3)设圆M：(xm)2(yn)2r2(r0)，其中1，则x2y22mx2nym2n2r2.由于，则(x1)2y22(x1)2y21，即x2y26x10，代入x2y22mx2nym2n2r2，得2(m3)x2nym2n2r210对圆M上任意点N恒成立只要满足即经检验满足1.故存在符合条件的圆M，它的方程是(x3)2y210.12(2017山西5月联考)已知椭圆1(ab0)经过点M(2，)，且其右焦点为F2(1，0)(1)求椭圆的方程；(2)若点P在圆x2y2b2上，且在第一象限，过P作圆x2y2b2的切线交椭圆于A，B两点，问：AF2B的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由解析(1)方法1：由题意，得解得椭圆的方程为1.方法2：设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2(1，0)，c1，F1(1，0)，又点M(2，)在椭圆上，2a|MF1|MF2|6，a3，b2，椭圆的方程为1.(2)方法1：由题意，设AB的方程为ykxm(k0)，直线AB与圆x2y28相切，2，即m2，由得(89k2)x218kmx9m2720，设A(x1，y1)(0x13)，B(x2，y2)(0x23)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.又|AF2|2(x11)2y12(x11)28(1)(x19)2，|AF2|(9x1)3x1，同理|BF2|(9x2)3x2.|AF2|BF2|6(x1x2)6，|AF2|BF2|AB|66，即AF2B的周长为定值6.方法2：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1(0，且|x0|，x01，两边平方并化简整理得y024x0，即曲线T的轨迹方程为y24x.方法2：由方法1可知圆心C到点(1，0)的距离与圆心C到直线x1的距离相等，圆心C的轨迹为以点(1，0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，即1，p2，曲线T的轨迹方程为y24x.(2)假设在曲线T上存在点P满足题设条件，