《高等数学基础》1-2章讲义.doc

第1章 函数一、理解函数的概念；主要内容： 集合、函数的概念、性质、初等函数本章重点：正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象 本章难点： 反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的复合函数的关系式掌握函数中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同【函数 定义：】P91.1设D是一个非空的数集,如果有一个对应规则f,使得对每一个xD,都能对应与唯一的一个数y,则此对应规则f称为定义在集合D上的一个函数,并把数x与相应的数y之间的对应关系记为：并称x为自变量,y为因变量或函数值,D为定义域。例题1：下列各对函数中，（）是相同的例题1：下列各函数对中，（C）中的两个函数相等A BC D解：A, D两个选项中的每对函数的定义域都不同，B选项中,虽然定义域相同，但是对应规则不同，而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确例题2：设，则解：设，则，得故例题3：函数，则 。解：当时，例题4：函数的定义域是解：对函数的第一项，要求且，即且；对函数的第二项，要求，即取公共部分，得函数定义域为例题5：求下列函数的定义域：；解：对，要求，即；对，要求且，即且；取公共部分，得函数定义域为对，要求，即，得函数定义域为对，要求，即，得函数定义域为例题6：已知函数f(x)的定义域为0,1，则f(x+a)的定义域是（ ）。A.0，a B.-a，0 C.a，1+a D.-a，1-a解：f(x)的定义域为0,1，f (x+a)的定义域是，所以选项D是正确的。二、了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性函数的几种属性：1、 有界性：f(x)2、 奇偶性：若对任意，有，则称为偶函数，偶函数的图形关于轴对称若对任意，有，则称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称3、 周期性：f(xT)f(x)4、 单调性：对于任意的x1、x2（a，b）且当x1x2时，恒有f(x1) f(x2)，则称f(x)单调增加；对于任意的x1、x2（a，b）且当x1x2时，恒有f(x1) f(x2)，则称f(x)单调减少；例题1：设函数 的定义域为，则函数的图形关于（D）对称A ， B ， C 轴， D 轴，解：设，则对任意有即是偶函数，故应填：图形关于轴对称例题2：函数的图形是关于（ ）对称。A. y=x B. x轴 C. y轴 D. 坐标原点解： 所以是偶函数，所以选项C是正确的。例题3：判断下列函数的奇偶性：；解：对任意有可知是奇函数对任意有可知是奇函数对任意有可知是偶函数（11）试证：奇函数与奇函数的和是奇函数；奇函数与奇函数的乘积是偶函数；证明：设和都是奇函数，即对任意有：；令：；则：即： （12）试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数 证明：设是偶函数，是奇函数，即对任意 有；令 ，则对任意有 由此可知是奇函数，证毕三、熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形基本初等函数指以下几种类型：（见P19P23）并指出它在今后学习中的重要性。 常数函数： 幂函数： 指数函数： 对数函数： 三角函数： 反三角函数：例题1：函数的反函数是（ ）。A. y=lnx+1 B. y=ln(x+1) C. y=lnx-1 D. y=ln(x-1)四、了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数【定义：设两个函数，若，那么就是与的复合函数。是中间变量。 简单地说：复合函数就是函数的函数】如函数可以分解，分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积例题1：已知，求解：方法一：设，则，得即，由此得方法二：将看作新的变量，得，同理五、会列简单的应用问题的函数关系式 说明函数在以后学习的作用例题1：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，求体积与底半径或高的关系。解：设圆柱体高为h，底半径为r 又因为圆柱体体积为 或 例题1：某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的表面积与底半径或高的关系是什么？解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为 因为 所以 所以 或【本章重点内容】函数的概念、函数的定义域和函数值、六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形第2章 极限与连续主要内容：P451、数列极限的 定义，函数极限的定义，函数的左右极限。 2. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。 3极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。 4极限存在的两个准则与两个重要极限， 两个准则：（1）、单调有限准则（P64）：单调有界数列一定有极限 （2）、夹逼定理（P61）：（两边夹法则）：重要极限：5函数的连续性概念和间断点的类型 6闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。 本章重点：1. 建立极限概念与理解 N方法, 函数极限的概念与 方法 2. 无穷小的概念与性质 3. 单调有界法则与两个重要极限及其应用 4. 初等函数的连续性及其应用本章难点：1.N, 极限定义证明法2. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别3. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机4.闭区间上连续函数的几条性质学习任务与要求：一、知道数列极限的“”定义；了解函数极限的描述性定义二、理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较无穷小量的性质主要有： 有限个无穷小量的代数和是无穷小量； 有限个无穷小量的乘积是无穷小量； 无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量 一、数列的极限P48【定义1：（N）,设有数列和数，如果对于任意的两个给定的正数0，总存在自然数，使得当时，不等式恒成立，则称数是数列的极限，记为： 如： ， 一个数列可以看成是自变量取正整数值的函数二、函数的极限P521、时函数的极限【定义2：给定一个函数和一个常数，设函数在区间（）内有定义，（为固定的数或），如果对于任意给定的正数0，总存在一个正数0，使得当时，不等式恒成立，则称当时函数以常数为极限，记为：，或，当时】2、时函数的极限【定义3：（）给定一个函数和一个常数，如果对于函数在的一个邻域内有定义（在处不一定有定义），如果对于任意给定的正数0，总存在一个正数，使得满足不等式0的任何x，均有则称数常数是函数当时的极限，记为：，】左、右极限：p56存在的充分必要条件是和（即：右极限）存在且相等三、极限的运算法则：P57四、熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，两个重要极限，函数的连续性等方法求极限有几种典型的类型（1）（2）（3）例题1：极限。解：例题2：计算下列极限：解： 题给极限式分子的最高次项为分母的最高次项为，由此得五、熟练掌握两个重要极限：P61， 重要极限的一般形式： 或 利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如例题1：例题2：例题3：求 (为非零常数)解：对任意的，由重要极限得六、理解无穷小量、无穷大量的定义；P70【定义2.5: 极限为零的量 称为无穷小量】【定义2.6: 当(或)时,的值无限地增大,则称为无穷大量】无穷大量的倒数是无穷小量, 无穷小量的倒数是无穷大量 无穷小量的阶数p72 同阶无穷小量：C (C为非零常数)等阶无穷小量：1高阶无穷小量：0. 是 的高阶无穷小量是 的高阶无穷小量 例题1：下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。A.； B.；C. ；D.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。例题2：函数在点处（）A.有定义且有极限； B.无定义但有极限；C.有定义但无极限； D.无定义且无极限解：在点处没有定义，但由无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量故选项B正确。例题3：当时，变量（c）是无穷小量(A) （） (B) （）(C) (D) （）七、理解函数连续性的定义；P74函数连续性的定义：在点的一个邻域内有定义，且：成立则称在点处连续，x0 称为函数的连续点。P751、函数在一点的左连续、右连续以及连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；2、间断点的分类：已知点是的间断点若在点的左右极限都存在，则称为的第一类间断点；若在点的左右极限有一个不存在，则称为的第二类间断点X0 X0 X0X0 X0 X03、闭区间上连续函数的性质：【定理2.3: 最大值、最小值存在定理：在闭区间连续的函数必定在该区间达到此函数的最大值和最小值】0b2a=1xy【定理2.4:零点定理：设函数在区间a，b上连续，且f（a）f（b）0，则必有a，b满足f（）0】0BAabxy 0Cf（a）f（b）Babxy【定理2.4:推论介值定理：设函数在区间a，b上连续，则对于任一介于f（a）与f（b）之间的常数C，必有a，b，满足f（）C】例题1：函数的间断点是。解：由得，由得，即得。故函数的间断点为。例题2：函数 的间断点是 。解：由于 所以 x=0 是第一类间断点，函数 的间断点是0【解：】函数的间断点，必须是函数的不连续点，根据极限是否存在，可以检测函数在某点处的左、右极限是否与函数值相等但是：2，0，此在处，函数左、右极限