高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11.1 导数与函数的单调性课件 理 北师大版.ppt

第二章函数 导数及其应用 第十一节导数的应用 最新考纲1 了解函数的单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 j基础知识自主学习 1 函数的单调性与导数 1 函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 在这个区间上是 若f x 0 则f x 在这个区间上是 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常函数 2 单调性的应用若函数y f x 在区间 a b 上单调 则y f x 在该区间上 增加的 减少的 不变号 2 函数的极值 1 极大值在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都 x0点的函数值 称 为函数y f x 的极大值点 其函数值 为函数的极大值 2 极小值在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都 x0点的函数值 称 为函数y f x 的极小值点 其函数值 为函数的极小值 与 统称为极值 与 统称为极值点 大于或等于 点x0 f x0 小于或等于 点x0 f x0 极大值 极小值 极大值点 极小值点 3 导数与极值 3 函数极值与最值的求法 1 求可导函数y f x 极值的步骤 求出导数f x 解方程f x 0 对于方程f x 0的每一个解x0 分析f x0 在x0左 右两侧的符号 即f x 的单调性 确定极值点 若f x 在x0两侧的符号 则x0为极大值点 若f x 在x0两侧的符号 则x0为极小值点 若f x 在x0两侧的符号 则x0不是极值点 2 求函数在闭区间 a b 上的最值可分两步进行 求y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与区间 a b 端点处的函数值f a f b 比较 其中 为最大值 为最小值 左正右负 左负右正 相同 极值 最大的一个 最小的一个 判一判 1 f x 0是f x 为增函数的充要条件 解析错误 若f x 0 则f x 为增函数 但f x 为增函数时 应有f x 0 如函数y x3 2 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 解析错误 可能有多个极大值也可能没有极大值 3 函数的极大值不一定比极小值大 解析正确 4 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 解析错误 例如函数f x x3 在x 0处的导数为0 但f 0 不是它的极值 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 解析正确 当函数在区间的端点处取得最值时 该最值就不是极值 3 如图是f x 的导函数f x 的图像 则f x 的极小值点的个数为 解析由题意知在x 1处f 1 0 且其左右两侧导数符号为左负右正 1 4 已知f x x3 ax在 1 上是增函数 则a的最大值是 解析f x 3x2 a 0 即a 3x2 又 x 1 a 3 即a的最大值是3 3 第一课时导数与函数的单调性 r热点命题深度剖析 例1 2015 兰州 张掖联考 已知函数f x lnx g x f x ax2 bx 其中g x 的函数图像在点 1 g 1 处的切线平行于x轴 1 确定a与b的关系 2 若a 0 试讨论函数g x 的单调性 规律方法 导数法证明函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 1 求f x 2 判断f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 提醒 研究含参数函数的单调性时 需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 变式训练1 2015 广东卷 节选 设a为实数 函数f x x a 2 x a a a 1 1 若f 0 1 求a的取值范围 2 讨论f x 的单调性 2 求函数f x 的单调区间 所以当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 规律方法 用导数求函数的单调区间的 三个方法 1 当不等式f x 0 或f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 2 当方程f x 0可解时 确定函数y f x 的定义域 求导数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义区间内的一切实根 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 3 当不等式f x 0 或f x 0 及方程f x 0均不可解时 确定函数y f x 的定义域 求导数并化简 根据f x 的结构特征 选择相应基本初等函数 利用其图像与性质确定f x 的符号 得单调区间 2 若函数f x 在区间 1 2 上为单调函数 求a的取值范围 规律方法 已知函数单调性 求参数范围的两个方法 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 转化为不等式的恒成立问题来求解 即 若函数单调递增 则f x 0 若函数单调递减 则f x 0 提醒 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 0 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 2 若f x 在 3 上为减函数 求a的取值范围 s思想方法感悟提升 1个提醒 函数的定义域求函数的单调区间应遵循定义域优先的原则 2个条件 函数在区间 a b 上单调的条件 1 在某区间内f x 0 f x 0 是函数f x 在此区间上为增 减 函数的充分不必要条件 2 可导函数f x 在 a b 上是增 减 函数的充要条件是 对 x