专题函数的奇偶性讲义(教师用).doc

函数的奇偶性一、函数奇偶性 设函数的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且，那么这个函数叫做奇函数设函数的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且，那么这个函数叫做偶函数奇函数的图象关于原点成中心对称图形 偶函数的图象关于轴成轴对称图形二、方法归纳1.函数的定义域是关于原点的对称点集（即对就有），是其具有奇偶性的必要条件2.在公共定义域内：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积、 商是偶函数； 偶函数与奇函数的积、商是奇函数3.判断函数的奇偶性应把握： 若为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域的对称性和变换中的等价性 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性 4.定义在关于原点的对称点集上的任意函数，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和即，其中为偶函数， 为奇函数5.奇（偶）函数性质的推广：若函数的图象关于直线对称，则；F 提 示对任意实数x都成立若函数的图象关于点对称，则；三、典型例题精讲例1（1）函数 的图象( )A关于x轴对称B关于y轴对称 C关于原点对称D关于直线x1对称 解析：由， 是奇函数，图象关于原点对称答案：C【技巧提示】用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数F 提 示分段函数的奇偶性判断须注意各段中解析式的作用范围（2）分段函数奇偶性的判定又例：函数的奇偶性解析：当时，；当时，是奇函数例2已知是偶函数而且在(0，)上是减函数，判断在(，0)上的增减性并加以证明解析：函数在(，0）上是增函数设x1x20，因为是偶函数，所以，由假设可知x1x20，又已知在(0，)上是减函数，于是有，即，由此可知，函数在(，0)上是增函数【技巧提示】具有奇偶性的函数，其定义域关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间内的单调性具有对应性“偶函数半增半减，奇函数一增全增” 例3定义在区间(，)上的奇函数为增函数，偶函数在区间0，)上的图象与的图象重合，设0，给出下列不等式： （1）f()f()g()g()； （2）f()f()g()g()； （3）f()f()g()g()； （4）f()f()g()g() 其中成立的是（ ） A (1)与(4) B (2)与(3) C (1)与(3) D (2)与(4) 解析：根据函数、的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f()f()g()g()； （2）f()f()g()g()； （3）f()f()g()g()； （4）f()f()g()g() 再由题义，有 显然（1）、（3）正确，故选C【技巧提示】具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性，因而往往与不等式联系紧密F 提 示抽象函数常常集函数性质、图象、定义域与值域等问题于一身，既能考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力，并且概念抽象、构思新颖、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高，它在高中数学教材中虽很少涉及到，但在各类高考模拟试题中常常见到，也是近年来高考试题中的新宠又例：偶函数在定义域为R，且在（，0上单调递减，求满足 的的集合解析：偶函数在（，0上单调递减，在0，）上单调递增根据图象的对称性，等价于解之，满足条件的的集合为（1，）例4设是(，)上的奇函数，当0x1时，则等于( )A0.5 B 0.5 C 1.5 D 1.5解析： 0.5答案：B【技巧提示】 这里反复利用了和，后面的学习我们会知道这样的函数具有周期性又例：如果函数在R上为奇函数，且在(1，0)上是增函数，试比较，的大小关系_解析：为R上的奇函数， ，又在(1，0)上是增函数且1 ， 答案：例5函数的定义域为，且满足对于任意，有 （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明；解：（1）令，得； （2）令，得，令，得 ，即为偶函数 【技巧提示】赋值法是解决抽象函数问题的切入点常赋值有0，1，1，2，2，等等例6已知函数在(1，1)上有定义，1，当且仅当0x1时0，且对任意x、y(1，1)都有，试证明： (1) 为奇函数；(2) 在(1，1)上单调递减证明：(1) 由，令xy0，得0，令yx，得0， 为奇函数(2)先证在(0，1)上单调递减令0x1x21，则f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f()0x1x21，x2x10，1x1x20，0，又(x2x1)(1x2x1)(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1，01，由题意知f()0，即f(x2)f(x1)在(0，1)上为减函数，又为奇函数且f(0)0在(1，1)上为减函数【技巧提示】这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如等等，一般的求解最为常见赋值技巧常为令或等。本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧；对于(2)，判定的范围是解题的焦点四、练习1.函数 上述函数中为奇函数的是（）A. B. C. D.2.（2011年安徽理科卷）设是定义在上的奇函数，当时，则（ ）3 1 1 33.如果奇函数在区间3，7上是增函数且最小值是5，那么在区间7，3上（ ）A.是增函数且最小值为5 B.是增函数且最大值是5 C.是减函数且最小值为5 D.是减函数且最大值是54.已知函数= x5a x3b x8，且0，则等于（ ）A.16 B.18 C.10 D.105.若在5，5上是奇函数，且，则（ ）A. B. C. D. 6.已知函数，则 的奇偶性依次为（ ）A奇函数，偶函数，奇函数 B非奇非偶函数，奇函数，偶函数 C奇函数，奇函数，奇函数 D奇函数，非奇非偶函数，奇函数7.（2011年广东理科卷）设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是是偶函数 是奇函数 是偶函数 是奇函数8.（2009年陕西文科卷）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有则 （ ）A 9.（2009年四川文科卷）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ( ) A. 0 B. C. 1 D. 10.设与的