数学建模(1对变化进行建模).pdf

1 主讲人 何旭彪 引言引言 数学模型数学模型 实际问题的数据 模型 预测 解释 数学结论 实际问题的数据 模型 预测 解释 数学结论 简化简化 分析分析 阐明阐明 验证验证 数学模型可以看作是为了研究一种特定的实际系统而设计 的数学结构 从模型中 可以得出一些数学结论 帮助决策 者规划未来 数学模型可以看作是为了研究一种特定的实际系统而设计 的数学结构 从模型中 可以得出一些数学结论 帮助决策 者规划未来 简化 简化 定义 两个变量定义 两个变量y和和x是成比例的 如果一个变量总是另一 个变量的常数倍 即 如果对某个非零常数 是成比例的 如果一个变量总是另一 个变量的常数倍 即 如果对某个非零常数k 有 记为 两个变量成比例的验证方法 图形近似位于 通过原点的直线上 多数模型对实际问题进行了简化 一般情况下 模型只能近 似表示现实对象 一种强有力的简化关系是比例性 有 记为 两个变量成比例的验证方法 图形近似位于 通过原点的直线上 多数模型对实际问题进行了简化 一般情况下 模型只能近 似表示现实对象 一种强有力的简化关系是比例性 例1 测试的比例性 关于弹簧的伸长和弹簧末端 质量 收集到如下数据 例1 测试的比例性 关于弹簧的伸长和弹簧末端 质量 收集到如下数据 m 50100150200250 e11 882 753 254 38 300350400450500550 4 885 686 507 258 008 75 e 拟合出k 0 01625 于是建立估算模型 e 0 01625m 弹簧伸长对于末端的质量的散点图是过原点的一条近似直线 比例的假设是合理的 然后把该模型的直线图形画到散点图上 观察拟合效果 图中显示这个简化的比例模型是合理的 拟合出k 0 01625 于是建立估算模型 e 0 01625m 弹簧伸长对于末端的质量的散点图是过原点的一条近似直线 比例的假设是合理的 然后把该模型的直线图形画到散点图上 观察拟合效果 图中显示这个简化的比例模型是合理的 未来值 现在值 变化 变化 未来值 现在值 而对于变化 先可以按照如下公式来研究 未来值 现在值 变化 变化 未来值 现在值 而对于变化 先可以按照如下公式来研究 对变化进行建模对变化进行建模 离散时间离散时间 差分方程 连续时间 差分方程 连续时间 微分方程 预测未来的范例是 也就是说 根据现在知道的东西加上变化 可以预测未来 根据收集的数据 识别出变化趋势的模式 就可以预测未来值 这两者都是描述和预测行为变化的强有力的方法 本章学习差分方程 微分方程 预测未来的范例是 也就是说 根据现在知道的东西加上变化 可以预测未来 根据收集的数据 识别出变化趋势的模式 就可以预测未来值 这两者都是描述和预测行为变化的强有力的方法 本章学习差分方程 6 1 对变化进行建模对变化进行建模 1 1 用差分方程对变化进行建模用差分方程对变化进行建模 1 4 差分方程组差分方程组 1 2 差分方程近似描述变化差分方程近似描述变化 1 3 动力系统的解法动力系统的解法 定义 数列定义 数列 一阶差分是一阶差分是 对于正整数对于正整数n 第 第n个一阶差分是个一阶差分是 差分表示在一个时间周期里考察对象的变化量 差分表示在一个时间周期里考察对象的变化量 下标下标n通常代表时间通常代表时间 n 1 n 一个时间周期一个时间周期 1 1 用差分方程对变化进行建模用差分方程对变化进行建模 通过表示或近似表示从一个周期到下 一个周期的变化 可以构建差分方程 通过表示或近似表示从一个周期到下 一个周期的变化 可以构建差分方程 例1 储蓄存单 考虑一开始价值为1000 美元的储蓄存单在月利率为 1 的条件下的累积价值 下面的数列表示该储蓄存 单逐月的价值 A 1000 1010 1020 10 1030 30 在离散时间段上的变化的建模 an an 1 an 0 01an an 1 an 0 01an 1 01 an 有了初值 于是就得到了动力系统动力系统模型 如果要从账户中每月提款50 美元 怎么办 数学建模 1对变化进行建模 ppt 兼容模式 1 8 例2 抵押贷款买房 六年前 你的父母筹措月利率为1 每月还款为 880 87 美元的20 年贷款资金80000 美元买了房子 他们已经还款72 个月 他们还欠多少抵押贷款 每个周期欠款额因要付的利息而增加 又因每月还 款而减少 bn bn 1 bn 0 01bn 880 87 动力系统模型 bn 1 bn 0 01bn 880 87 b0 80 000 序列 B 80000 79919 13 79837 45 定义 一个序列序列就是定义域为全体非负整数集合上 的一个函数 其值域为实数的一个子集 一个动力 系统 动力 系统就是序列各项之间的一种关系 数值解数值解就是满 足该动力系统的一张数值表 课堂习题 课堂习题 1 代入n 0 1 2 3 写出由下列动力系统表示的前四个 代数方程 an 1 2an 6 a0 0 2 对变化进行建模 你的信用卡上有月付利息1 5 的欠款500美元 你每月偿还50美元并且不再有新的欠款 在大多数应用问题中 数学地描述变化不会像储蓄 存单和抵押贷款案例中那样有确切的步骤 一般情 况下 我们必须画出变化 观察模式 然后用数学 术语来近似描述变化 变化 a 某个函数f 离散变化对连续变化离散变化对连续变化 差分方程表示了离散时间区间情形中的变化 连续变化用微分方程表示 简化 可用差分方程来近似描述连续变化 1 2 差分方程近似描述变化差分方程近似描述变化 例例1 酵母培养物的增长酵母培养物的增长 下表数据是从测量酵母培养物增长的试验中收集来的 时间时间n 小时小时 酵母数 量 酵母数 量pn 数量变化数量变化 pn 1 pn 09 68 7 118 310 7 229 018 2 347 223 9 471 148 0 5119 155 5 6174 682 7 7257 3 pn 生物变化量生物变化量 生物量 生物变化对生物量 生物量 生物变化对生物量 图形显示 种群变化与种群大小 成比例 图形显示 种群变化与种群大小 成比例 p n 关于关于p n 大致成线性关系大致成线性关系 1 问题分析 问题分析 2 模型建立 模型建立 由散点图可知 p n 关于p n 大致成线性关系 线性关系 由此建立模型 p n k p n b 3 求解模型求解模型 关键是求出参数k和b 方法是通过曲线拟合曲线拟合的方法找出一条最满足 p n 和p n 的的直线 从而求出参数k和b 曲线拟合的调用格式和功能 Matlab p polyfit x y n 是曲线拟合命令 其中x是自变量 y是因变量 n是要拟合的阶数 功能是将采样值x y拟合为一个n次的多项式 它返回的值是多项式的系数 y1 ployval p x 功能是采样值x对应的拟合后的y值 用y1标记 曲线拟合画法 MATLAB求解代码 p 9 6 18 3 29 0 47 2 71 1 119 1 174 6 diff p 8 7 10 7 18 2 23 9 48 0 55 5 82 7 kb polyfit p diff p 1 tp1 0 20 180 x1 polyval kb tp1 plot tp1 x1 p diff p xlabel 生物量 ylabel 生物量变化 title 曲线拟合 kb 输出 kb 0 4495 斜率 5 2730 截距 带入最初的模型 p n k p n b得 p n 0 4495 p n 5 2730 即p n 1 p n 0 4495 p n 5 2730 最终的模型为 p n 1 1 4495 p n 5 273 4 模型分析 这个模型预测的酵母的数量总是增加的 如果 时间足够长 酵母的数量将无穷大 这是可疑 的 因为环境所能承受的种群的数量是有限的 会出现这种情况原因主要是观察的次数 抽样 的次数 太少 8次 5 模型的改进 书例2 再论酵母培养物的增 加 1 选取更多的抽样点 书例2 提供的19次 数据 2 画出p n 随时间n变化的趋势图 数学建模 1对变化进行建模 ppt 兼容模式 2 8 模型的改进模型的改进 对出生 死亡和资源的建模对出生 死亡和资源的建模 极限值或 容纳量为 极限值或 容纳量为 665 如何建模 如何建模 npn 09 68 7 118 310 7 229 018 2 347 223 9 471 148 0 5119 155 5 6174 682 7 7257 393 4 8350 790 3 9441 072 3 10513 346 4 11559 735 1 12594 834 6 13629 411 4 14640 810 3 15651 14 8 16655 93 7 17659 62 2 18661 8 绘图代码绘图代码 n 0 18 p 9 6 18 3 29 0 47 2 71 1 119 1 174 6 257 3 350 7 441 0 513 3 559 7 594 8 629 4 640 8 651 1 655 9 659 6 661 8 scatter n p xlabel n ylabel p n title 酵母培养物的增长 如何估计如何估计k 近似过原点 的直线 因为当 于是建议如下模型 近似过原点 的直线 因为当 于是建议如下模型 时 时 做出做出和和的图形 近似于一条直线的图形 近似于一条直线 3 建模及求解模型 建模及求解模型 绘图代码绘图代码 后文字表示注释后文字表示注释 p 665 p存放的是存放的是 665 p n p n 的值的值 p 665 p 621 84 11834 61 18444 00 29160 16 42226 29 65016 69 85623 84 104901 21 110225 01 98784 00 77867 61 58936 41 41754 96 22406 64 15507 36 9052 29 5968 69 3561 84 diff p存放的是 存放的是 p n 的值的值 diff p 8 7 10 7 18 2 23 9 48 0 55 5 82 7 93 4 90 3 72 3 46 4 35 1 34 6 11 4 10 3 4 8 3 7 2 2 xishu的值为拟合所得直线的系数 斜率和截距的值为拟合所得直线的系数 斜率和截距 xishu polyfit p 665 p diff p 1 拟合后 拟合后 p n 的值的值 diff p1 polyval xishu p 665 p 在同一个坐标系中绘制原曲线和拟合曲线在同一个坐标系中绘制原曲线和拟合曲线 plot p 665 p diff p p 665 p diff p1 xlabel p n 665 p n ylabel p n 1 p n title 受资源限制的增长受资源限制的增长 xishu 输出xishu 0 000805 0 3081 斜率斜率k截距 略 p n 0 000805 665 p n p n 模型结果 模型结果 p n 1 p n 0 000805 665 p n p n 4 验证新模型 由由p n 1 p n 0 000805 665 p n p n 初值初值p 0 9 6可求出一系列预测值 可求出一系列预测值 py 1 9 6 for n 1 18 py n 1 py n 0 0008 665 py n py n end format short g py 输出一系列预测值输出一系列预测值 py 9 6 14 665 22 342 33 901 51 124 75 388 112 58 162 65 228 42 308 7 397 24 482 86 553 66 603 28 633 26 649 44 657 57 661 5 663 37 p 9 6 18 3 29 0 47 2 71 1 119 1 174 6 257 3 350 7 441 0 513 3 559 7 594 8 629 4 640 8 651 1 655 9 659 6 661 8 预测值 观测值 此动力系统为非线性的 一 般不能给出解析解 但可用迭 代的方法给出数值解 此动力系统为非线性的 一 般不能给出解析解 但可用迭 代的方法给出数值解 7 模型评价 模型评价 新的模型很好的抓住了观测值的的变化趋势 使预测值和 观测值的拟合度较高 因此具有较高的可信度和使用价值 新的模型很好的抓住了观测值的的变化趋势 使预测值和 观测值的拟合度较高 因此具有较高的可信度和使用价值 8 模型应用 模型应用 求预测求预测n 11 56 120 229小时时酵母的数 量 小时时酵母的数 量 解 解 Matlab代码求解代码求解 py 1 9 6 for n 1 300 py n 1 py n 0 000805 665 py n py n end py 11 py 56 py 120 py 229 ans 397 24 ans 665 ans 665 ans 665 例例2 血流中地高辛的衰减 地高辛用于治疗心脏病 医生开的处方上的剂量应能保持血 流中的地高辛的浓度高于有效水平而低于安全水平 对于初 始剂量为 血流中地高辛的衰减 地高辛用于治疗心脏病 医生开的处方上的剂量应能保持血 流中的地高辛的浓度高于有效水平而低于安全水平 对于初 始剂量为0 5毫克的病人毫克的病人n天后血流中地高辛的剩余量 天后血流中地高辛的剩余量 n012345678 0 5000 3450 2380 1640 1130 0780 0540 0370 026 0 155 0 107 0 074 0 051 0 035 0 024 0 017 0 011 及每天的变化及每天的变化 如下 用直线拟合出 如下 用直线拟合出 得出模型 得出模型 给定初始剂量给定初始剂量0 5毫克 差分方 程模型为 毫克 差分方 程模型为 数学建模 1对变化进行建模 ppt 兼容模式 3 8 课堂思考 课堂思考 1 社会学家识别出一种称为社会扩散的现象 即 在人群中传播一段信息 一项技术革新或者一种文 化时尚 人群可以分为两类 知道该信息的人和不知 道该信息的人 在人群数目已知的情形下 可以合理 地假设扩散率与知道该信息的人数和不知道该信息 的人数的乘积成比例 然后记an 为总数为N的人群在 n 天后已经知道该信息的人数 构建一个能近似表 示人群中已经知道该信息的人数变化的动力系统 2 把一罐冷冻饮料放在房间里 测量房间的温度并周 期性地测量饮料的温度 构建预测饮料温度变化的模 型 从你的数据估计比例常数 什么是你的模型中的 误差来源 从一个初值开始从一个初值开始 并对后面的值迭代充分多次并对后面的值迭代充分多次 以确 定有关 模式 以确 定有关 模式 猜测法猜测法 1 观察模式 2 猜测动力系统解的形式 3 用代入法来测试该猜测 4 接受或拒绝该猜测取决于在代入和代数运算后结果是 否满足该动力系统 为了接受该猜测 代入的结果必须是 恒等式 1 3 动力系统的解法动力系统的解法 线性动力系统线性动力系统an 1 ran r 为常数为常数 寻找模式 猜测 对于k 1 2 3 动力系统an 1 ran中的项ak为 ak rka0 测试猜测an 1 ran an 1 rn 1a0 an rna0 代入代入rn 1a0 r rna0 rn 1a0 恒等式恒等式 例例1 再论储蓄存单再论储蓄存单 储蓄存单一开始有1000美元 每月按结存1 付给利息 如果既不存 款也不取款 那么10年后 30年后该帐户余额各为多少 建立动力系统模型an 1 1 01 an a0 1000 1 寻找模型 a1 1010 00 1 01 1000 a2 1020 10 1 01 1010 1 01 1 01 1000 1 012 1000 a3 1030 30 1 01 1020 10 1 01 1 012 1000 1 013 1000 2 猜测 对于k 1 2 3 动力系统an 1 r an中的项ak为 ak 1 01 k 1000 3 测试猜测 将 代入动力系统 an 1 1 01 an 1 01 n 1 1000 1 01 1 01 n 1000 1 01 n 1 1000 4 结论 动力系统的解为ak 1 01 k 1000 由此10年后 由此10年后 a120 1 01 120 1000 33303 90 30年后 30年后 a360 1 01 360 1000 35949 64 恒等式恒等式 定理定理1 对 对r为任何非零常数的线性动力系统为任何非零常数的线性动力系统 an 1 ran 它的解为 它的解为 ak rka0 其中其中a0是给定的初值是给定的初值 线性动力系统线性动力系统an 1 ran r 为常数时的长期行为为常数时的长期行为 r 0常数解以及在0处的平衡点 r 1所有初值都是常数解 r 0振荡 r 1无限增长 an 1 r an r为常数时的长期行为为常数时的长期行为 an 1 r an的长期行为的长期行为 r 0 r 1 r 0 r 1 常数解以及在0处的平衡点 所有初值都是常数解 振荡 衰减到极限值0 无限增长 无限增长 r 1 a0 0 负的无限增长 r 1 a0 0 衰减 0 r0衰减 0 r 1 a0 0 振荡增长 r0 振荡衰减 1 r0 动力系统动力系统an 1 ran b 其中 其中r和和b均为常数均为常数 定义 当定义 当a0 a时 如果对所有的时 如果对所有的k l 2 3 有有ak a 则将数 则将数a称为动力系统称为动力系统an 1 f an 的平衡点或不动点的平衡点或不动点 即 即 ak a是该动力系统的常数解是该动力系统的常数解 例例2 地高辛处方 地高辛在血流中存在的 衰减问题 如何使地高 辛浓度保持在可接受 地高辛处方 地高辛在血流中存在的 衰减问题 如何使地高 辛浓度保持在可接受 安全而且有效安全而且有效 的水平的水平 an 1 0 5an a0 推论 推论 a是动力系统 的不动点当且仅当 是动力系统 的不动点当且仅当时时 1 0 2是一个平衡点 一旦达到 了这个值 系统永远停留在 是一个平衡点 一旦达到 了这个值 系统永远停留在0 2处处 2 不管起始值低于或高于平衡点 最终都会趋向于平衡点 不管起始值低于或高于平衡点 最终都会趋向于平衡点 绘图比较 MATLAB代码 三个方框中为一个程序 ABC nananan 8 9 10 11 12 13 14 15 0 199 609 38 0 199 804 69 0 199 902 34 0 199 951 17 0 199 975 59 0 199 987 79 0 199 993 90 0 199 996 95 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 200 781 25 0 200 195 31 0 200 097 66 0 200 048 83 0 200 024 41 0 200 012 21 0 200 006 10 0 200 003 05 a 1 0 1 for n 1 15 a n 1 0 5 a n 0 1 end n 1 16 scatter n a bo hold on a 1 0 2 for n 1 15 a n 1 0 5 a n 0 1 end n 1 16 scatter n a rs hold on a 1 0 3 for n 1 15 a n 1 0 5 a n 0 1 end n 1 16 scatter n a g ABC nananan 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 0 15 0 175 0 1875 0 193 75 0 196 875 0 198 437 5 0 199 218 75 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 3 0 25 0 225 0 215 0 212 5 0 206 25 0 203 125 0 201 56 25 数学建模 1对变化进行建模 ppt 兼容模式 4 8 例例3 投资年金投资年金 养老金养老金 现在考虑月利率为现在考虑月利率为1 以及月提款额为以及月提款额为1000元的情形 动力系统为 元的情形 动力系统为 假定初始投资为 假定初始投资为 ABC nananan 090000100000110000 189900100000110100 289799100000110201 389697100000110303 489594100000110406 589490100000110510 689385100000110615 789279100000110721 889171100000110829 989063100000110937 1088954100000111046 1188843100000111157 1288732100000111268 1388619100000111381 1488505100000111495 1588390100000111610 1 10000是一个平衡点 一旦达到这个值 系统 以后的值都取它 是一个平衡点 一旦达到这个值 系统 以后的值都取它 2 起始值高于平衡点 系统会无限增长 起始值 低于平衡点 存款以不断增加的速率被取尽 起始值高于平衡点 系统会无限增长 起始值 低于平衡点 存款以不断增加的速率被取尽 3 此时称该平衡点是不稳定的 此时称该平衡点是不稳定的 例4 活期账户存款例4 活期账户存款 假定你有一个无息账户 总额是3000美元 而且每月你只支付宿 舍租金300美元 如何确定该账户总额在几个月后用尽 动力系统 an 1 an 300 考虑初始值a0 3000 绘图代码 a 1 3000 for n 1 10 a n 1 a n 300 end n 1 11 scatter n a g hold on plot n a r 由图可见 无平衡点 如何获得平衡点 如何获得平衡点 定理定理2 动力系统动力系统an 1 ran b r 1的平衡点就是的平衡点就是 a b 1 r 如果如果r 1而且而且b 0 那么每个数都是平衡点 如果 那么每个数都是平衡点 如果r 1而而b 0 那么不存在平衡点 平衡点存在的条件 那么不存在平衡点 平衡点存在的条件 动力系统 r的值长期趋势 r 1不稳定平衡点 例3 r 1没有平衡点 例4 动力系统 r的值长期趋势 r 1不稳定平衡点 例3 r 1没有平衡点 例4 36 定理定理3 对某个对某个 依赖于初始条件的依赖于初始条件的 常数常数c 动力系统 动力系统 an 1 ran b r 1的解的解 ak rkc b 1 r 证明 证明 恒等式恒等式 例例5 再论投资年金 月利率 再论投资年金 月利率1 月提款 月提款1000元 需 要多少初始投资才能保证 元 需 要多少初始投资才能保证20年 年 240月 才把它用尽 解 该动力系统 月 才把它用尽 解 该动力系统的平衡点的平衡点10000 要求 要求 即 初始投资即 初始投资90819 42元就能使元就能使20年里从账 户每月提取 年里从账 户每月提取1000元 元 20年底账户存款被取尽年底账户存款被取尽 动力系统的长期趋势对初始值及参数动力系统的长期趋势对初始值及参数r的值可能很敏 感 的值可能很敏 感 an 1 r 1 an an 38 振荡振荡 非线性动力系统 混沌非线性动力系统 混沌 看酵母菌生物量的模型 看酵母菌生物量的模型 振荡振荡 周期为2循环 振荡振荡 周期为4循环 振荡振荡 周期为8循环 混沌系统混沌系统 总结 对于一个由差分建立的动力系统 我们要 求出平衡点 然后从平衡点附近的起始值进行探究 从一个靠近平衡点的起始值开始 我们要知道该系 统是否 总结 对于一个由差分建立的动力系统 我们要 求出平衡点 然后从平衡点附近的起始值进行探究 从一个靠近平衡点的起始值开始 我们要知道该系 统是否 a 仍然靠近平衡点 仍然靠近平衡点 b 趋近于该平衡点 平衡点附近会发生什么将提供对该系统的长期趋势 的洞察 趋近于该平衡点 平衡点附近会发生什么将提供对该系统的长期趋势 的洞察 c 不再靠近平衡点 不再靠近平衡点 b 建模中用到的比例常数的微小变化 敏感吗 例如 该动力系统有周期行为吗 有震荡行为吗 由数值解描述的长期趋势 对 建模中用到的比例常数的微小变化 敏感吗 例如 该动力系统有周期行为吗 有震荡行为吗 由数值解描述的长期趋势 对 a 初始条件 初始条件 数学建模 1对变化进行建模 ppt 兼容模式 5 8 课堂习题 课堂习题 1 求下列问题中差分方程的解 a an 1 3an a0 1 b an 1 2an 1 a0 3 2 求下列问题中的平衡点 如果它存在的话 把平衡 点分类为稳定的或不稳定的 a an 1 1 1an b an 1 0 9an c an 1 an d an 1 0 9an 3 你的祖父母有一笔年金 年金按前一个月的余额每 月付给1 的利息而增长着 他们每月提取1000美元 作为生活费 目前 他们的年金为50000美元 用动力 系统建立模型 求平衡点 在这个问题中 平衡点表示 什么意思 通过计算数值解来确定何时年金将用尽 1 4 差分方程组差分方程组 例例1 汽车租赁公司汽车租赁公司 一家汽车租赁公司在奥兰多和坦帕都有分公司 游客可 以在一个城市租车而在另一个城市还车 该公司想确定最初应该在两个城市置放多少辆车 题意题意 保证每个城市都有足够的车辆 但过多的车辆将增加额外的成本 两个城市置放的汽车的数量应按什么比例分配 求解目标求解目标 如何确定最初在两个城市置放的车辆数 即确定系统的起始值 而理想的起始值必须使系统能处于 平衡状态 求平衡点 动力系统模型动力系统模型 令n 表示营业天数 On 第n 天营业结束时在奥兰多的车辆数 Tn 第n 天营业结束时在坦帕的车辆数 On 1 0 6 On 0 3 Tn Tn 1 0 4On 0 7 Tn 平衡点平衡点 O 0 6 O 0 3 T T 0 4 O 0 7 T 解 O 3 4 T 43 研究系统对起始值的敏感性和系统的长期行为研究系统对起始值的敏感性和系统的长期行为 奥兰多坦帕 情形 奥兰多坦帕 情形17000 0 情形情形2 5000 2000 情形情形32000 5000 情形情形4 0 7000 MATLAB计算代码 O 1 7000 初始值可调节初始值可调节 T 1 0 初始值可调节初始值可调节 for n 1 7 计算一周内每天的计算一周内每天的O n 和和T n O n 1 0 6 O n 0 3 T n T n 1 0 4 O n 0 7 T n end format short g 格式控制格式控制 O T n 1 8 scatter n O rd hold on 保持当前图形 以便继续画到当前图上保持当前图形 以便继续画到当前图上 scatter n T gs xlabel 天数 天数 在在x轴上加注轴上加注 ylabel 车辆数车辆数 在在y轴上加注轴上加注 取四个不同的初始值 做数值计算 以预测系 统对初始值的敏感性和 系统的长期行为 取四个不同的初始值 做数值计算 以预测系 统对初始值的敏感性和 系统的长期行为 45 结果暗示平衡点是稳定的而且对起始值是不敏感的结果暗示平衡点是稳定的而且对起始值是不敏感的 模型评价 结论 由四种情形一周的数值解和图形分析 可知 每一种情 形 在一周内都是和平衡点 O T 3000 4000 很接近 即使在一个城市没有车的情形下 这暗示了平衡点是稳定的平衡点 也反映了系统对起始值是不敏感的 应该按3 4的比例在奥兰多和坦帕分配车辆 例例2 特拉法尔战斗特拉法尔战斗 1805年法国 西班牙联军和英国海军作战 一开始 法西联军有 年法国 西班牙联军和英国海军作战 一开始 法西联军有33艘战舰 英国有艘战舰 英国有27艘战舰 在每一次 遭遇战中 每一方的战舰损失都是对方战舰的 艘战舰 在每一次 遭遇战中 每一方的战舰损失都是对方战舰的10 动力系统模型 动力系统模型 n表示战斗过程中遭遇战的阶段表示战斗过程中遭遇战的阶段 表示第表示第n阶段英军的战舰数阶段英军的战舰数 表示第表示第n阶段法西联军的战舰数阶段法西联军的战舰数 n英法英法 12733 223 730 3 320 6727 93 417 87725 863 515 290724 0753 612 883222 5462 710 628521 2579 88 502820 1951 96 483219 3448 104 548818 6965 112 679118 2416 经过11次战斗后 法西联军有18艘战舰 而 英军有3艘战舰且至少一艘重伤 数学建模 1对变化进行建模 ppt 兼容模式 6 8 分割并各个击败战略 分割并各个击败战略 法军33艘战舰分为3个战斗编组 一字排开 B 17 A 3 C 13 英军战略 用13艘迎战法军A组 另外14艘备用 然后用战斗后存留下来的加上备用的迎战B组 最后所有剩下的迎战C组 加设每次损失对方战舰数的5 增加