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这道经典题目的结论和解答都是错误的!判断两个增函数(减函数)图象的公共点个数时要慎重甘志国(该文已发表 数学教学2010(7):23-24,封底)苏州市20092010学年度高一(必修1+必修4)上学期期末统考测试题第11题是如下一道选择题:若方程且恰有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案是D(没有解答过程),笔者猜测这道经典题目的传统解法是这样的:解 当时,可以画出函数与的图象(草图)如图1所示,此时“方程恰有三个不相等的实数根”即“这两个函数的图象恰有三个不同的交点”,得即;当时,可以画出函数与的图象(草图)如图2所示,此时得即.所以所求的取值范围是,选D.图1图2下面对以上解答提出异议.有以下结论成立:结论1 增函数与减函数的图象公共点个数只能是0或1(因为两者公共点的个数即方程解的个数,而是增函数).结论2 增函数与增函数的图象公共点个数可以是任意自然数,并且也可以是无数个(比如两个增函数与的图象公共点个数即方程解的个数,是无数个).结论3 减函数与减函数的图象公共点个数可以是任意自然数,并且也可以是无数个(由结论2可得).若用草图1来解答本题中的情形,还须证明当时下面四点均成立(而以上解答认为它们是显然成立的):(1)在时两者有唯一公共点;(2)在时两者有唯一公共点;(3)在时两者有唯一公共点;(4)在时均有.由结论1及连续函数的性质(根的存在定理)可证得(1)、(3)两点均成立.怎么证明(2)、(4)呢?虽说可以验证当时均有,但不能说在时均有(如图3).当然,由结论3也可知(2)、(4)两点不是显然的事实.下面来试着证明这两点. 图3要证明(4),可以只证明时比下降的速度快,即证,这种证法即先证,再得出是上的减函数,所以.但这条路行不通,因为,而最后一式在时不可能恒成立:.为什么会产生此种情形呢?仔细观察图1可得,当自变量在7的左侧无限接近于7时下降的速度接近于0,下降的速度大于0,所以此时.欲证明(4),只需证明时,即证,等价于恒成立.可以用几何画板作出函数的图象如图4所示,由此可以看出(事实上,用计算器可算出),由此说明欲证的(4)不可能成立.可以再用几何画板作出函数的图象如图5所示,由此可以看出(事实上,用计算器可算出),由此也直接说明结论(4)不成立.图4图5若用草图2来解答本题中的情形,还必须证明当且时均有.这也是不成立的:可用几何画板作出函数的图象如图6所示,由此可以看出(事实上,用计算器可算出).图6虽然笔者已经发现以上一道经典题目的结论及解法均是错误的,但如何求解,笔者认为难度甚大,不知由以下思路能否求解:当时,如图1,设时曲线与相切,设切点为,得 须由此方程组求出,猜测此时所求的取值范围是.当时,如图2,设时曲线与相切,设切点为,得 须由此方程组求出,猜测此时所求的取值范围是.所以猜测该题的答案是,其中分别由、确定.我们要牢记华罗庚(19101985)先生说过的箴言“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合千般好,数形分离万事休”,通过画草图(受画图工具的限制不可能画出精细准确的图形)来解题时,一定要注意“形缺数时难入微”,并且要注意图形所反映的特性.判断两个增函数(减函数)图象的公共点个数时要
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